CMC INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE. Aulas: 3 e 4 SISTEMAS LINEARES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED)

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1 CMC-- - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Auls: 3 4 SISTEMAS LINEARES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED). Iroução Sisms, sisms físico sisms ghri Excição & rspos um sism Diâmic - Aális iâmic sus ságios: molos físicos molos mmáicos. Pom sr form um sism quçõs ifrciis ou sism quçõs igris ifrçs fiis rsolução o sism quçõs irprção os rsulos.. /4/4

2 . Iroução (co.) N rmiologi ális sisms m corol, sisms são frqum chmos pls ou procssos A xcição é cohci como sil r (ipu sigl) ou simplsm r (ipu) A rspos é cohci como sil sí (oupu sigl) ou simplsm sí (oupu). As rlçõs cus-fio são comum mosrs form igrms bloco, como sgu Er Sism (Pl, Procsso) Sí /4/4

3 Exmplo ilusrivo pr xcição (r) rspos (sí) F F g são xciçõs uo irção opos o movimo. As rsposs são V() (vloci) h ( ) v( ) h( & ) F (Forç rrso) Es figur mosr um sism ão corolo pois ão há hum forç plic por projo. As úics forçs us são mbiis: grviciol o rrso E Sí Sism h() F g Forc grviciol Suprfíci Trr Sism ão Corolo /4/4 3

4 Exmplo ilusrivo pr xcição impos por projo (T) S qurmos prscrvr um sí sj ão é cssário impor um r spcific submr o sism à r sj rvés um corolor. Ds form pomos impor um compormo prscrio o sism. V() (vloci) F (Forç rrso) F g Forc grviciol T, Empucho plico i Co Sis sí Sism m mlh br h() Suprfíci Trr /4/4 4

5 Exmplo ilusrivo pr xcição impos por projo (T) No qu o sism rior sí ão f r. S quisrmos qu o rro sí sj corrigio vi ipu ão um isposiivo mi (MD) é cosiro. A sí é compr com um vlor rfrci (c), gro o rro sí () qu r o corolor (c). Bso s rro o corolor forc o como (i) cssário pr ruzir o rro pr zro. Di i c c Ss Do V() (vloci) Aclrômro F (Forç rrso) F g Forc grviciol T, Empuxo plico MD (vic, iipu, ccorollr, ooupu, Mmsurig, DDsir) Sism m mlh fch h() Suprfíci Trr /4/4 5

6 . Iroução (Co.) Crcrísics Excição - Rspos São govrs pls lis Físic São scris por um sism prâmros (cocros ou isribuíos) O compormo os sisms scrios por prâmros cocros é govro por quçõs ifrciis oriáris. O compormo os sisms scrios por prâmros isribuíos são govros por quçõs ifrciis prciis. Ns quçõs ifrciis os prâmros prcm form coficis qu pom sr coss o mpo ou ão. Sisms ivris o mpo são quls os quis os coficis ão pm o mpo. Sisms vris o mpo são quls os quis os coficis são ps o mpo. /4/4 6

7 . Cocio Sism Lir Suprposição Sisms Lirs: liri é um propri o sism qu m profus implicçõs ális mmáic. Pr irouzir o cocio liri cosir o igrm blocos qu s sgu, o r() c() são r sí, rspcivm. r() Sism (Pl, Procsso) c() Cosir pr um msmo sism ois prs r sí, r (), c () r ( ), c (), rspcivm. r () Sism c () r () Sism (Pl, (Pl, Procsso) Procsso) c () /4/4 7

8 . Cocio Sism Lir (Co.) Agor pr o msmo sism, cosir um r r 3 () por um combição lir form r3( ) α r ( ) αr ( ) S sí c 3 pr s r for mbém combição lir msm form, iso é c3( ) α c( ) α c( ) ão o sism é lir. Por ouro lo s pr rfri combição lir r r 3 (3), sí for ifr c 3 (), ou sj ( ) α c ( ) c ( ) c3 α ão o sism é ão-lir. /4/4 8

9 . Cocio Sism Lir (Co.) Poro um sism lir é um sism qu m s propris um r r () prouz um sí c () um r r () prouz um sí c () um r r () r prouz um sí c c Cocluio: pr um sism lir s rsposs váris xciçõs ifrs pom sr cors sprm pois combis lirm pr s rmir rspos o sism o cojuo s váris rs. Es pricípio é cohcio como o pricípio suprposição é o pricipio mis impor ori os sisms lirs. Nos: Os sism lirs pom sr frqum rprsos por quçõs ifrciis. Um rmo lir é qul m qu vriávl p sus rivs são primiro gru. Um qução ifrcil lir possui som rmos lirs. /4/4 9

10 3. Equçõs Difrciis 3.. Cocios Equçõs ifrciis são iguls lgébrics ou rscis volvo ifrciis ou rivs. Por xmplo sgu Li Nwo sblc qu forç é igul x vrição o mpo qui movimo P. Poro é um qução ifrcil: F P (voril) ou F P (sclr) O P po sr scrio como P m v. Expio riv: F v m m v (voril) ou F v m m v (sclr) O v é vloci m é mss o corpo /4/4

11 Cosirmos ouro xmplo. A li Ohm po sr scri lrivm como um qução lgébric rlcioo são v, rsisêci R corr i. Sbmos qu corr i rprs x vrição o mpo crg q. Eão Li Ohm po sr scri form qução ifrcil: v Ri q R /4/4

12 3.. Equçõs Difciis Vris Ivris com rlção o mpo Os sisms iâmicos rprsos por ED s quis os coficis s rivs ão vrim o mpo são omios ivris o mpo. Sigific qu os coficis s rivs são coss com rlção o mpo. Sisms ED vris o mpo são quls os quis os coficis s rivs são ps o mpo ou sj os coficis s rivs são vris com rlção o mpo. Exmplo um sism corol vriávl o mpo é o sism corol um spçov qu cosom combusívl pois s cso mss o vículo vri o mpo. /4/4

13 Cosir sgu Li Nwo quo s m vrição mss F P ( m( )v( )) m( ) v( ) m( ) v( ) Cosir um corpo gir m oro um ixo. O orqu é o por T H ( Iω) I ω I ω O I é o momo iérci m oro o ixo roção. S o corpo quim combusívl quo gir, o momo iérci, qu é fução mss, vri com o mpo. /4/4 3

14 3.3. Equçõs Difrciis Lirs ão Lirs O cocio liri o pr sisms lirs s plic mbm pr sisms ED: um r r () prouz um sí c () um r r () prouz um sí c () um r r () r prouz um sí c c Um ED lir só possui rmos lirs (s vriávis ps sus rivs são primiro gru). Exmplos: x m θ x c kx g l θ As rivs são sgu orm ms gru s us ED. Tmos mbm um riv primir orm primir ED. To s rivs quo s vriávis são gru. Toos os rmos s ED são gru. /4/4 4

15 Um ED é ão lir s possui rmos sguo gru ou gru mis lo s vriávis ps sus rivs, s coêm fuçõs rscis ou s possui prouos vriávis. Exmplos O rmo riv sguorm é gru, poro ED é ão lir. θ g l sθ Aqui fução sq é ão lir poro ED é ão lir x x Aqui o x m gru ( x ) x x x x Asω No qui riv gru (sguo rmo /4/4 5

16 3.4. Cusli sisms fisicm rlizávis Um sism o qul o mpo é vriávl ip é chmo cusl s sí ul p ps os vlors prs pssos s rs, iso é, s () é sí, ão () p ps r x() pr vlors 3.5. Sisms Lirizos Lirs por Prs Nhum sism físico rl po sr scrio form x por um quço ifrcil lir ivri o mpo. Ero muios sisms pom sr rprsos rzovlm bm ro um fix limi oprção proximos por quçõs ifrciis lirs. Cosir por xmplo um sism mss-mol sm morcimo mosro sguir: /4/4 6

17 -x f() kx x x m -kx A ED o movimo é x m f ( x ) Ero s grz bsolu x ão xcr x, ão f(x)kx o k é um cos. Assumio hipós qu o slocmo x ão xc o vlor x mos um ED lir: x m kx váli pr x x /4/4 7

18 Supohmos gor qu o slocmo ulrpss x. Sj curv forç mol proxim por rês rs, sguo s EDs bixo x m kx váli pr x x x m ± F Quo x > x f() kx -x x -kx /4/4 8

19 Cosirmos o xmplo o pêulo plo A qução ão lir qu scrv o movimo pêulo é: θ g sθ l S for o irss o compormo o sism pr pquos âgulos o sism po sr lirizo m oro o poo quilíbrio q pr obr o sism lir ssocio: q l g θ g l θ /4/4 9

20 /4/ Opror Difrcil D Equção Crcrísic Sj ED lir -ésim orm, ivri o mpo (coficis coss) x L Sj D um opror ifrcil: D Pr -ésim orm D A ED -ésim orm po sr scri como: ( ) crcrísico poliômio é chmo ou D D D x D D D x D D D L L L é chm qução crcrísic D D D L

21 O orm fuml álgbr sblc qu qução crcrísic D D L D Tm soluçõs. C vlor D rprs um solução qução crcrísic. Por xmplo, cosir qução ifrcil: 3 x cujo poliômio crcrísico é D 3D A qução crcrísic é D 3D, qu possui us soluçõs : D /4/4

22 3.6. Ipêci Lir Cojuos Fumis Um cojuo fuçõs o mpo f ( ) f ( ) L f ( ), É chmo lirm ip s o úico cojuo coss c, c,, c, pr o qul c ( ) c f ( ) c f ( ) f L pr oo, for s coss c c L c Exmplo: sjm s fuçõs f ( ) f ( ) c c c ( c c ) Não xism coss qu sisfçm c s rlção. /4/4

23 Um qução ifrcil homogê -ésim orm i i i i prs plo mos um cojuo -soluçõs lirm ips. Qulqur cojuo soluçõs lirm ips um qução ifrcil orm é chmo um cojuo fuml soluçõs Não xis um cojuo fuml úico. Ouros cojuos fumis pom sr gros prir um o cojuo fuml. Cosir sgui écic pr implmr s iéi: /4/4 3

24 sj z ( ( ),z ( ), L,z ( ) ( ) ( ), z ( ) ( ), L,z ( ) i ), i i ( ) L ( ) um cojuo fuçõs z A A z um cojuo fuml soluçõs. Eão z i i i i : i ( ) O os ji são um cojuo coss. C () é um solução ED. O cojuo soluçõs é um cojuo fuml s o rmi i M M L L M L M /4/4 4

25 Exmplo: A qução pr o movimo hrmôico simpls ω Tm como cojuo fuml sω cos ω Um sguo cojuo fuml po ão sr gro com z jω cos ω jsω z cos ω jsω jω Rízs Disis Em grl, s solução qução crcrísic m rízs isis D, D,, D ão um cojuo fuml pr um ED homogê D D i é um cojuo fuçõs,,, L i D /4/4 5

26 Exmplo: A qução ifrcil 3 x cujo poliômio crcrísico é D 3D A qução crcrísic é D 3D, qu possui us soluçõs : D Um cojuo fuml pr s qução é /4/4 6

27 Múlipls rízs S qução crcrísic m rízs múlipls, ão pr c ríz D i muliplici i há i lmos o cojuo fuml Di Di,, L, D Exmplo: cosir qução ifrcil cujqução crcrísic é D D possuiorízs múlipls D Tm um cojuo fuml cosiuío /4/4 7

28 3.7. Solução Equçõs Difrciis Oriáris (EDO) Lirs com Coficis Coss. Sj clss EDO i m i i i i b i i x i s coiçõs Iiciis: ( ), L, < o x x(), é um r cohci () é sí procur. S s qução scrv um sism físico ão grlm m é orm EDO. A solução s ipo EDO po sr ivii m us prs: um rliv o movimo livr (solução homogê) our rliv o movimo forço (solução priculr - r ). A solução o sism é som s us soluçõs /4/4 8

29 Rspos Livr - Solução Homogê A solução homogê corrspo o cso o qul xcição (r) é zro. Sigfic qu solução homogê po sr obi iirm m rmos xcição iicil. Pr xcição zro pomos scrvr EDO form: i i i i Cuj solução p som s coiçõs iiciis Exmplo: Cosir EDO homogê primir orm: suji às coição iicil ( ) c A solução é ( ) c /4/4 9

30 A rspos livr po sr smpr scri form um combição lir os lmos um cojuo fuml. Poro s (), (),, () cosium um cojuo fuml soluçõs, ão qulqur rspos livr () EDO po sr rprso form ( ) c ( ) i i i o s coss c i são rmios m fução s coiçõs iiciis:, ( ),L, /4/4 3

31 Rspos Livr (co.) Pr o sism quçõs lgébrics i i i i, ci, L, c i i i ( ) c ( ) i A ipêci lir () gr qu um solução pr ss quçõs po sr obi pr c i, i,,,. /4/4 3

32 /4/4 3 Rspos livr () EDO ( ) 3 x suji s coiçõsiiciis Cosir o sgui xmplo: cuj solução po sr scri form c c ) ( c c são coficis rmir quo qu - - rprsm o cojuo fuml soluçõs. Como () v sisfzr s coiçõs iiciis mos: c c c c c c c c ou sj ) ( cuj solução forc c c -

33 Rspos Forç - Solução Priculr A rspos forç b um EDO é solução ED quo os s coiçõs iiciis são cosirs iicm uls ( ),, L, Es fiição implic qu rspos forç (xcição ) p ps r x(). A rspos forç pr um EDO coficis coss po sr scri m rmos um igrl covolução: b m i b i i ( ) w( τ) i τ O w( - ) é fução pso ED /4/4 33

34 A fução pso um EDO coficis coss po sr scri como ( ) w c i i i ( ) pr pr < o c, c,, c são coss o cojuo (), (),, () é um cojuo fuml ED. W() é um rspos livr ED, rquro coiçõs iciis pr compl spcificção. Ess coiçõs iiciis fixm os vlors s coss c i i,,,. As coiçõs iiciis qu os s fuçõs pso s ED lirs vm sisfzr são w w w w( ),, L,, /4/4 34

35 No sobr Igrl Covolução A rlção r r-sí um sism lir po sr scri form igrl ( ) w(, τ) x( τ ) o x() é r () é sí rsul. w (,) é fução pso o sism. A igrl form cim é chm igrl covolução. S um sism lir é scrio por um igrl covolução, ão sí () é um som por (um igrl o limi) os vlors r sobr o irvlo o ifiio givo pr o posiivo, ou sj, coribuição pr sí () r x(), o porção é proporcio por w(, ). /4/4 35

36 /4/4 36 Cosir o sgui xmplo: ( ) 3 x suji s coiçõsiiciis A fução pso pr s ED é um combição lir o cojuo fuml o por - - ou sj c c w ) ( As coss c c são rmis prir s coiçõs iiciis qu m us quçõs lgébrics: c c c c c c w c c w ou sj ) ( Forco c c - w() - - -

37 /4/4 37 Pr ( ) 3 ) ( x x suji s coiçõs iiciis ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) b x w τ τ τ τ τ τ τ ) ( ) ( A rspos forç é: Rspos ol: rspos ol um EDO lir coficis coss é som s rsposs livr (homogê) rspos forç (priculr): ( ) ( ) ( ) b ) ( ) ( ) (

38 3.8. Rspos o Sism: Escioário Trsiório A urz rspos p xcição m ição às crcrísics iâmics o sism m si msmo. Ns sio é covi isiguir r rspos so scioári rspos rsióri. Em grl rspos scioári é qul qul o sism ig um cro ipo quilíbrio, l como rspos cos ou rspos cíclic sm proximr zro ou sm crscr ifiim o mpo. O mpo pouco impor m rmos rgim scioário. Em grl o so scioário ocorr o cso xcição cos, hrmôic ou prióic. A rspos rsióri p form o mpo. Es rspos ormlm ocorr o cso xcição iicil ou xciçõs xrs ifrs s xciçõs ssocis o rgim scioário. A urz rspos f ão ps rspos o sism ms mbém scolh méoos pr rmir rspos. /4/4 38

39 No cso xcição hrmôic o méoo iico é o o blcmo hrmôico. A rspos é cohci como rspos m frquêci o suo s crcrísics rspos é rmi o omíio frquêci. No cso xcição rsióri o méoo rsform Lplc prc o mis rcomo. A ivsigção rspos rsióri é m grl fi o omíio o mpo. A rspos so scioário rspos rsióri cosium ouro pr quis cujsom é igul à rspos ol. A rspos so scioário é pr solução ol qu ão s proxim zro quo fi A rspos rsióri é pr solução ol qu s proxim zro quo fi No xmplo rior ( ) ( ) ( ) ( ) s b A rspos scioári é s Equo qu o rsiório Evolv o rmo -. No qu mi qu crsc solução o rgim scioário o por s. /4/4 39

40 3.9. Fuçõs Sigulrs No suo sisms corol s quçõs ifrciis qu os scrvm s fuçõs sigulrs são mplm uss formm bs ális os sisms lirs o omíio o mpo. A clss fuçõs sigulrs são crcrizs plo fo os s fuçõs sus rivs srm coíus o mpo xco pr lgum o vlor o mpo. As fuçõs sigulrs s crcrizm mbém plo fo qu são fuçõs qu pom sr rivs ums s ours por igrção ou ifrcição. /4/4 4

41 Impulso Uiário ou Fução Dl Dirc É um s fuçõs sigulrs mis impors mis comum cors. Mmicm o Impulso Uiário é fiio por δ ( ) δ( ), ε δ( ) ε Ár A fução Dl Dirc po sr i como rsulo um procsso limi. Em priculr fução é zro xco sobr um pquo irvlo mpo s vizihçs. Ns irvlo mpliu é muio gr igul /. Quo fi, o irvlo mpo s proxim zro mpliu ifiio moo mr r sob curv cos igul ui, í o rmo impulso uiário. A ui (- ) é o ivrso o mpo (sguos, s - ). /4/4 4

42 Impulso Uiário ou Fução Dl Dirc (Co) O impulso uiário po sr uso pr rprsr xciçõs impulsivs Amosrgm: Um propri fução Dl Dirc xrmm úil solução igris volvo fuçõs l. Mmicm ( ) δ( ) f ( ) δ( ) f ( ) f D moo qu igrl um fução f() por pl fução l Dirc uo m é simplsm fução f() vli m. Es propri é s vzs rfri como propri mosrgm. /4/4 4

43 Fução Dgru Uiário Mmicm fução gru uiário é fii como u() u ( ) pr < pr > O gru uiário é msiol O gru uiário é srim rlcioo com o impulso uiário. A fução gru uiário é igrl o impulso uiário o impulso uiário é riv mporl fução gru. Mmicm ( ) δ( ζ ) ζ ou δ( ζ ) u ( ) u /4/4 43

44 Fução Dgru Uiário (Co.) O fio s muliplicr um fução f() pl fução gru uiário é limir porção f() corrspoo < prsrvr porção corrspo >. Por xmplo, cosir fução f() sw o fio s muliplic-l por u() sω, > f ( ) ou f()u()sw, < f() f().u() /4/4 44

45 Fução Rmp Uiári: É fii como r ( ) pr > pr < r ( ) oumis compcm r ( ) ( ) u( ) A ui fução rmp uiári é sguos (s) A fução rmp uiári sá srim rlcio com fução gru. El é igrl o gru uiário fução rmp é riv fução rmp: r u ( ) u( ) ( ) r (( ) /4/4 45