Capítulo 5 Transformadas de Fourier

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1 Capíulo 5 Trasformadas d Fourir 5. Aális da composição d sismas aravés da rsposa m frquêcia 5. Trasformadas d Fourir propridads

2 Capíulo 5 Trasformadas d Fourir 5. Aális da composição d sismas aravés da rsposa m frquêcia 5. Trasformadas d Fourir propridads

3 5. Aális da composição d sismas aravés da rsposa m frquêcia A composição d sismas prmi-os obr sismas mais complxos Ao irligarmos SLITs, o sisma composo rsula ambém é um SLIT Cohcdo a rsposa m frquêcia d cada SLIT podmos drmiar a rsposa m frquêcia do sisma composo Iso prmi-os cosruir sismas complxos irssas aravés da irligação d blocos d compos simpls Esa composição aplica-s d modo idêico a sismas discros coíuos 3

4 5. Aális da composição d sismas aravés da rsposa m frquêcia Ligação m séri ou cascaa Sisma S Rsposa impulsiva h Rsposa m frquêcia H Sisma S Rsposa impulsiva h Rsposa m frquêcia H Sisma S rsula Rsposa impulsiva h=h *h Rsposa m frquêcia H=H.H 4

5 5. Aális da composição d sismas aravés da rsposa m frquêcia Ligação m parallo S y x + y Sisma S Rsposa impulsiva h Rsposa m frquêcia H S S y Sisma S Rsposa impulsiva h Rsposa m frquêcia H Sisma S rsula Rsposa impulsiva h=h +h Rsposa m frquêcia H=H +H 5

6 5. Aális da composição d sismas aravés da rsposa m frquêcia Ligação com rroacção Sisma S Rsposa impulsiva h Rsposa m frquêcia H Sisma S Rsposa impulsiva h Rsposa m frquêcia H Sisma S rsula Não é possívl calcular a rsposa impulsiva d uma forma dirca Rsposa m frquêcia H H H H 6

7 5. Aális da composição d sismas aravés da rsposa m frquêcia Exmplo: Cosidr um sisma discro com rroacção como a figura Cosidr S dfiido como y=0.9 x Cosidr S dfiido como y=x- H =0.9 H = - A rsposa m frquêcia do sisma é dada por 0.9 H 0.9 7

8 8 5. Aális da composição d sismas aravés da rsposa m frquêcia Exrcício: Drmi a rsposa m frquêcia do sgui sisma H H H H H H H H H H H H

9 Capíulo 5 Trasformadas d Fourir 5. Aális da composição d sismas aravés da rsposa m frquêcia 5. Trasformadas d Fourir propridads 9

10 5. Trasformadas d Fourir propridads As séris d Fourir dscrvm um sial priódico como uma soma d xpociais complxas S a rada do SLIT é uma soma d xpociais complxas, ão a rsposa m frquêcia do SLIT dscrv a rsposa a cada uma das compos xpociais Podmos calcular a rsposa do sisma a qualqur sial d rada priódico combiado as rsposas aos compos idividuais A rsposa d um SLIT a qualqur sial d rada pod sr obida como a covolução do sial d rada a rsposa impulsiva A rsposa impulsiva a rsposa m frquêcia dão-os a msma iformação acrca do sisma mas m formas difrs Vamos vr agora qu a rsposa impulsiva a rsposa m frquêcia são rlacioadas aravés da Trasformada d Fourir 0

11 5. Trasformadas d Fourir propridads Vimos ariorm qu sdo a rada dada por x= a saída iha a forma y=h Um SLIT com rsposa impulsiva h aprsa como saída y corrspod ao sial x S colocarmos a rada ds sisma x= obmos Comparado as duas xprssõs obmos m m x m h x h y Iiros, m m m m m h m h x h y Iiros, m m m h H Rais,

12 5. Trasformadas d Fourir propridads Trasformada d Fourir Discra Rais, H h A rsposa m frquêcia H é a Trasformada d Fourir da rsposa impulsiva A rsposa m frquêcia pod sr dscria como a soma podrada d xpociais complxas, cuos psos são as amosras da rsposa impulsiva

13 5. Trasformadas d Fourir propridads S h é ral ão H=H*- qu é a propridad da simria cougada Iso implica qu H- = H qu sigifica qu para qualqur SLIT com uma rsposa impulsiva ral, uma xpocial complxa com frquêcia sofr a msma alração d ampliud qu uma xpocial complxa com frquêcia - No ambém qu Rais, H+p= H ou sa qu a Trasformada d Fourir Discra é priódica com príodo p 3

14 5. Trasformadas d Fourir propridads Exmplo Cosidr um sisma qu provoca um araso d M amosras A rsposa impulsiva ds sisma é dada por Iiros, h=d-m Podmos obr a rsposa m frquêcia calculado a TF Rais, H m m M h m m d m M m Es rsulado mosra-os qu H =, dado qu um araso ão muda a ampliud apas alra a fas do sial d rada 4

15 5 5. Trasformadas d Fourir propridads Vimos ariorm qu sdo a rada dada por x= a saída iha a forma y=h Um SLIT com rsposa impulsiva h aprsa como saída y corrspod ao sial x S colocarmos a rada ds sisma x= obmos Comparado as duas xprssõs obmos d h H Rais, d x h x h y Rais, d h d h x h y Rais,

16 5. Trasformadas d Fourir propridads Trasformada d Fourir Coíua Rais, H h d A rsposa m frquêcia é a Trasformada d Fourir da rsposa impulsiva 6

17 5. Trasformadas d Fourir propridads Exmplo Cosidr um sisma qu provoca um araso d T sgudos A rsposa impulsiva ds sisma é dada por Rais, h=d-t Podmos obr a rsposa m frquêcia calculado a TF Rais, H h T d T d d Es rsulado mosra-os qu H =, dado qu um araso ão muda a ampliud apas alra a fas do sial d rada 7

18 8 5. Trasformadas d Fourir propridads Exmplo Cosidr o sgui rcâgulo discro A Trasformada d Fourir é dada por X m x X m m m m

19 9 5. Trasformadas d Fourir propridads Exmplo Cosidr o sgui rcâgulo coíuo A Trasformada d Fourir é dada por 0 / / si / / / / 0 X d d x X

20 0 5. Trasformadas d Fourir propridads Trasformadas ivrsas Ivrsa da Trasformada d Fourir discra Ivrsa da Trasformada d Fourir coíua p d X x p p 0 d X x

21 5. Trasformadas d Fourir propridads Cálculo da rasformada ivrsa Aravés da dfiição Divisão m fracçõs simpls Aravés da quivalêcia rlaiva a siais básicos Aravés das propridads

22 5. Trasformadas d Fourir propridads

23 5. Trasformadas d Fourir propridads 3

24 5. Trasformadas d Fourir propridads - Tmpo coíuo - Frquêcia ão priódica - Tmpo discro - Frquêcia Priódica Priódico o mpo Frquêcia discra k k 0 x X k X x m p k0 X k p m p 0 X k x k p p m0 0 x m 0 d mk 0 Não priódico o mpo Frquêcia coíua X x x p X x d X p d x X d p 0 4

25 5

26 6 5. Trasformadas d Fourir propridads Exrcício: Calcul a Trasformada d Fourir d: x= - u x=/ u Calcul a Trasformada d Fourir ivrsa d X 7 X

27 5. Trasformadas d Fourir propridads Trasformada d Fourir d siais fiios Cosidr um sial discro y qu é fiio Dfia-s um sial priódico x como od m Iiros, x y' mp Iiros, y y' 0 s [0, p ] ouros casos O sial x é priódico porao pod sr rprsado aravés da séri d Fourir O sial y é um sial discro gérico porao m rasformada d Fourir 7

28 8 5. Trasformadas d Fourir propridads 0 ' ', p y y Y Rais , p k p k k y p x p X Iiros k ', 0 k Y p X Iiros k k

29 5. Trasformadas d Fourir propridads Trasformada d Fourir para siais d fala 9

30 5. Trasformadas d Fourir propridads 30

31 5. Trasformadas d Fourir propridads 3

32 5. Trasformadas d Fourir propridads 3

33 5. Trasformadas d Fourir propridads Trasformada d Fourir d siais priódicos A rasformada d Fourir vai sr basada m fuçõs dla A séri d Fourir prmi-os rabalhar uma rprsação o domíio da frquêcia d um sial priódico sm lidar com as fuçõs dla d Dirac Supoha-s qu um sial x m rasformada d Fourir Rais, X= pd- 0 Usado a Trasformada d Fourir Ivrsa obmos 0 Rais, x pd 0 d p A séri d Fourir para x é m Iiros, X m 0 m ouros 33

34 5. Trasformadas d Fourir propridads Supodo agora qu x m múliplos dlas d Dirac a sua rasformada d Fourir, cada um com difrs psos, X p X m d m0 m Rais rsula aravés da Trasformada d Fourir Ivrsa m m 0 Rais, x X m Esa quação rlacioa para siais priódicos a Trasformada d Fourir as Séris d Fourir 34

35 5. Trasformadas d Fourir propridads Exmplo Cosidr o sial x dado por Rais, x cos 0 Por ispcção da Tabla vrificamos qu / m m Iiros, X m 0 ouros Exism apas dois coficis da Séri d Fourir ão ulos Rais, X pd 0 pd 0 35

36 5. Trasformadas d Fourir propridads Exmplo Cosidr a sgui oda quadrada Os coficis da Séri d Fourir são m Iiros, X m / m 0 0 m par m 0 / mp m ímpar 36

37 5. Trasformadas d Fourir propridads Exrcício Calcul a Trasformada d Fourir do sgui sial x

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