MATRIZES E DETERMINANTES LISTA 5

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1 RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Crlos MATRIZES E DETERMINANTES LISTA 5 RESUMO TEÓRICO Mriz rl Sjm m n dois númros iniros. Um mriz rl d ordm m n é um conjuno d mn númros ris, disribuídos m m linhs n coluns, formndo um bl qu s indic m grl por n n digonl scundári n n nn nn digonl principl i-ésim linh i m i m i m j j mj j-ésim colun n n in mn m n Mriz rnspos Sj A M R por. A mriz rnspos d A, indicd mn A (ou A ), é mriz i,,,,n j,,,,m. nm, ond b A (b ), Em ours plvrs, dnominmos mriz rnspos d A à mriz n m cujs coluns coincidm ordndmn com s linhs d A. Obsrvçõs: ou mn Drminns Só s clcul drminn d um mriz A s ss for qudrd. Vmos às rgrs práics:. Cd um dos númros ris d um mriz A é chmdo lmno, nrd ou rmo d mriz mm A. O rmo é o rmo grl d A.. S A é um mriz, não: mm A é chmd mriz qudrd d ordm n s, somn s, m n. A é chmd mriz rngulr s, somn s, m n. A é chmd mriz linh s, somn s, m mriz colun s, somn s, n.. Sj A um mriz qudrd d ordm n, não dfinimos: digonl principl d A: é sqüênci d rmos d mriz A qu prsnm msmos índics, ou sj, /i j,,,, nn ; digonl scundári d A: é sqüênci d rmos d mriz A is qu som d sus índics é igul n, ou sj, /i j n,,,,.,n,n,n n, Rgrs práics pr o cálculo dos drminns Como dfinição d drminns é d difícil comprnsão pr o lior, o uso d lgums rgrs práics pr o cálculo dos drminns d ordm n n N n é fio. Drminn d ordm d.. Drminn d ordm (Rgr d Srrus) d IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) LISTA 5

2 RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Crlos Algums propridds dos drminns Sj M um mriz rl qudrd d ordm n, nxn n N *. Assim, vlm s propridds sguir. Propridds: ) S odos os lmnos d um linh (ou colun) d M form nulos, não d M 0. ) S mriz M ivr dus linhs iguis (ou dus coluns iguis), não d M 0. ) S mriz M ivr dus linhs proporcionis (ou dus coluns proporcionis), não d M 0. 4) Sj N um mriz obid prir d um mriz M pns rocndo d posição, nr si, dus linhs (ou dus coluns) d M. Enão d N d M. 5) Sj N um mriz obid prir d um mriz M pns muliplicndo-s um ds linhs (ou um ds coluns) d R. Enão d N.dM. M por 6) Sj N um mriz R l qu N M. Enão n d M d M, ond n é ordm d mriz M. 7) Sj M mriz rnspos d M. Enão d M dm. EXERCÍCIOS. Indicr xplicimn os lmnos d mriz A l qu i j. x Dds A, B, clculr: ) A B B A. (ESAF/MPU) A mriz S s, d rcir ordm, é mriz rsuln d som ds mrizs B (b ). Sbndo-s qu i j qu A ( ) b i rzão nr os lmnos s s d mriz S é igul ) 4 6 j, não 4. Clculr: ) S A, clcul A (ESAF/CGU) Sjm s mrizs A B 4 sj x o lmno gnérico d um mriz X l qu X (A.B), iso é, mriz X é mriz rnspos do produo nr s mrizs A B. Assim, rzão nr x x é igul ) / / 6. Clcul os sguins drminns: ) IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) LISTA 5

3 RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Crlos 7. (CESPE) Com rlção à álgbr linr, julgu o im bixo. S um mriz qudrd A = m dimnsão x é l qu, si j i j, si j, não o drminn d A é um númro srimn posiivo. 8. Drmin mriz invrs d A (ESAF/AFC) Considrndo-s s mrizs 4 A B, som dos lmnos d digonl principl d mriz D, dfinid como o produo d mriz rnspos d A pl mriz invrs d B, é igul : ) Clcul os sguins drminns ) (ESAF/SEFAZ-SP) O drminn d um mriz x é igul x. S muliplicrmos os rês lmnos d linh por os rês lmnos d colun por -, o drminn srá: ) x x x x 4x. (ESAF/MPOG) Um mriz X d quin ordm possui drminn igul 0. A mriz B é obid muliplicndo-s odos os lmnos d mriz X por 0. Dss modo, o drminn d mriz B é igul : ) (ESAF/MPU) Considr s mrizs X Y b 6 ond os lmnos, b c são númros 5 c nuris difrns d zro. Enão, o drminn do produo ds mrizs X Y é igul : ) 0 b c b c 4. (ESAF/MPOG) A rnspos d um mriz qulqur é qul qu s obém rocndo linhs por coluns. Sbndo-s qu um mriz qudrd d sgund ordm possui drminn igul, não o drminn do dobro d su mriz rnspos é igul : ) - -/ (ESAF/AFC-STN) Considr dus mrizs qudrds d rcir ordm, A B. A primir, sgund rcir coluns d mriz B são iguis, rspcivmn, à rcir, à sgund à primir coluns d mriz A. Sbndo-s qu o drminn d A é igul x, não o produo nr os drminns ds mrizs A B é igul : ) x x x (ESAF/MPOG) O mnor complmnr d um lmno gnérico x d um mriz X é o drminn qu s obém suprimindo linh colun m qu ss lmno s locliz. Um mriz Y y, d rcir ordm, é mriz rsuln d som ds mrizs i j qu. Sbndos qu A B b b complmnr do lmno y é igul : ) i, não o mnor IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) LISTA 5

4 RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Crlos 7. (ESAF/Rci Fdrl) Sj um mriz qudrd 4 por 4. S muliplicrmos os lmnos d sgund linh d mriz por dividirmos os lmnos d rcir linh d mriz por -, o drminn d mriz fic: ) Muliplicdo por -. 6 Muliplicdo por 8 Muliplicdo por Muliplicdo por 6 8 Muliplicdo por 8. (ESAF/AFC) D form gnrlizd, qulqur lmno d um mriz M pod sr rprsndo por m, ond i rprsn linh j colun m qu ss lmno s locliz. Um mriz S s, d rcir ordm, é mriz rsuln d som nr s mrizs A B b sj, S A B. Sbndo-s qu, ou i j qu b i j, não som dos lmnos d primir linh d mriz S é igul : ) (ESAF/ANA) O drminn d mriz 0 B b c é: 4 b c ) 0 b - c + b + c b + c bc + c - 0. (ESAF/CGU) Gnricmn, qulqur lmno d um mriz M pod sr rprsndo por m, ond "i" rprsn linh "j" colun m qu ss lmno s locliz. Um mriz X = x, d rcir ordm, é mriz rsuln d som ds mrizs A = ( ) B=( b ). Sbndo-s qu i qu b i j x x é igul : ) , não o produo dos lmnos. (ESAF/MPU) O drminn d mriz X = b b ond b são iniros posiivos is qu > b >, é igul ) b (b-60).. (ESAF/MPU) Sbndo-s qu mriz A 0 qu n n n n não o drminn d mriz A A é igul : ) - 0 n n -. (CESGRANRIO/Probrás) Considr s rês mrizs bixo. 0 A ; B ; C 0 Pod-s firmr qu ) não é possívl somr s mrizs B C. mriz B é siméric. mriz C é um mriz idnidd. mriz C é invrs d B. 8 o produo d mrizs BA é igul 8 4. (ACEP/BNB) Simbolizmos por P, P P insumos produzidos m rês fábrics F, F F. N mriz M bixo, nrd n i-ésim linh n j-ésim colun indic o cuso uniário m ris do produo Pj n fábric Fi, ond i j vrim no conjuno {,, }: 0, 60, 075, 0 M 0, 40 0, 45 0, 60 0,80 0, 50, 00 A qunidd ol d unidds dos insumos d modo qu os cusos ois ns fábrics F, F F sjm, rspcivmn, d R$ 60,00, R$ 00,00 R$ 90,00 é d: ) IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) LISTA 5 4

5 RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Crlos 5. ( ESAF/MTE) Sj y um ângulo mdido m grus l qu 0º y 80º com y 90º. Ao muliplicrmos mriz bixo por, sndo 0, qul o drminn d mriz rsuln? gy gy cos y sn y cos y ) cos y g y sn y 0 sn y 6. A som d odos os lmnos d mriz dfinid por i j, é igul : ) (UFBA) S P rnspos d P Q é: A,, Q, mriz (FGV) Considr s mrizs A 7 B 0 4. A som dos lmnos d primir linh d A.B é: ) (MACK) S A é mriz 4 B um mriz n m, não: ) xis A B s, somn s, n 4 m ; xis AB s, somn s, n 4 m ; xis AB BA s, somn s, n 4 m ; xism, iguis, A B B A s, somn s, A B; xism, iguis, AB BA s, somn s, A B.. (UF VIÇOSA) Considr s mrizs: ) A ( ), 4, dfinid por i j ; ) B (b ), 4, dfinid por ) C (c ), C A B. O lmno c é: b i j ; ) ) (FUVEST) Considr s mrizs: ) A ( ), 4 7, dfinid por i j ; ) B (b ), 7 9, dfinid por b ) C (c ), C AB. O lmno c 6 i; x 8. (FGV) Dds s mrizs A z 4 x y C z w ) x y z w x y z w 0 x y z w 0 x y z w x y z w y, w sndo A B C, não x 6 B w ) é ; é 8; é 9; é ; não xis.. (CESGRANRIO) S M 0 MN NM é: ) N, não IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) LISTA 5 5

6 RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Crlos (PUC) S 0 I, é igul : 0 ) A, não 4 A 5. (UF UBERLÂNDIA) S mriz A é igul não mriz ) (A ) é igul : A I, ond, 6. (PUC) São dds s mrizs A B b qudrds d ordm com C A B, não ) C é igul :, i 4j b 4i j. S (CESGRANRIO) Muliplicndo b 0 4 obmos. O produo dos lmnos b d primir 0 mriz é: ) (MACK) Dds s mrizs 0 B is qu 0 0 rspcivmn: ) 7 4; 7 ; 6 4; 6 ;. x 9. Dds s mrizs A vrificr qu iguldd AB BA : b A 4 A.B, não b vlm, ) é válid x; é válid s x 0; é válid s x ; é válid só pr x ; não s vrific pr nnhum vlor d x. 40. (MACK) S A B são mrizs is qu B. Enão mriz ) x 0 x x x x 4 Y A.B srá nul pr: 0 B, podmos x A x IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) LISTA 5 6

7 RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Crlos 4. (UNESP) Sj x um númro rl. S s mrizs A, B C são scolhids nr s lisds bixo 0 (x ),,, x x 0 x 0 s AB C é um mriz nul, não x é igul ) (FGV) Dds s mrizs: A B. A 4 mriz X l qu X AX B m como som d sus lmnos o vlor ) (PUC) S A, um mriz colun 4 qu AX X, é: ) (UC SALVADOR) S 0 C, não mriz ) A, 0 A B C é igul : x X, l y B 45. (UE) Dd mriz A mn, ond som d odos os lmnos qu compõ mriz ) IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) LISTA 5 7 mn n m, A é igul : 46. (UC SALVADOR) S A B são mrizs d ipo, qul ds sguins oprçõs não pod sr fud? ) A B A B y x B.A A.B 47. (UF VIÇOSA) A mriz X, l qu AX B, ond A B, é: ) 0 X 0 X X 0 0 X X (SANTA CASA) Sjm s mrizs x B C y ) x y x y xy 0 y x y x A,. A iguldd AB C é vrddir s:

8 RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Crlos 49. (PUC) Sbndo qu yz é: ) x y 5 0, o vlor d z w 0 x y x 4y x y x 4y x 4y y x [ xy] p 50. Sjm s mrizs M mriz nul, não pq é igul : ) n.r.. T q. S MT é 5. (UFPR) Dd qução mricil x 0 4 8, o vlor do produo xyz é igul : y z ) x 8 5. (UFBA) M y 6, N 7 6 P 0 y x 4 são mrizs qu sisfzm iguldd M N P ; logo, y x é: 55. (UFPA) Sj A B 0,clculr A.B. ) (FATEC) Dds s mrizs A 0 0 conclui-s qu mriz: ) AB é nul; A é nul; A B é nul; BA é não nul; B é nul. 0 0 B, 0 ) (FATEC) Sb-s qu s ordns ds mrizs A, B C são, rspcivmn, r, s. S mriz (A B) C é d ordm 4, não r s é igul : ) x 54. (ABC) Ach D. 4 y 57. (PUC) Dds s mrizs não AB BA é igul : ) A 4 B, 0 ) x y x 4y IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) LISTA 5 8

9 RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Crlos 58. (CESPE) São mrizs rspcivmn opos 6 7 rnspos d : 4 0 ) ; ; ; ; (CESPE) A mriz opos d mriz, dfinid por i j, i j é: i j, i j ) (UFT) S b. 0 0, os vlors d, c d 0 0 b, c d, nss ordm, são: ),, ;,, 4 ;,, 4 ;,, (UFT) Sj A um mriz d ordm m n B um mriz d ordm r s. Pr qu o produo A B xis é ncssário qu: ) m r n r m s n s m r 6. (UDF) S A é um mriz do ipo AB é do ipo 5, não B é um mriz do ipo: ) (CESGRANRIO) O sism rprsnção mricil: ) x y x y x y x y x y x y x y m 64. (FC CHAGAS) A mriz rnspos d mriz qudrd A d ordm com i, i, j, é: ) (MACK) Sndo A, 0 mriz rnspos d A, não o vlor d ) j B 0 A.B é: A IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) LISTA 5 9

10 RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Crlos (PUC) S, não mriz 5 b b é: ) (MACK) A é um mriz m n B é um mriz m p. A firmção fls é: ) A B xis s, somn s, n p. A A implic m n( A rnspos d A). A.B xis s, somn s, n p. A B xis s, somn s, n p. A B smpr xis. 70. (MACKENZIE) O vlor d um drminn é 4. S dividirmos primir linh por 7 muliplicrmos primir colun por, o vlor do novo drminn srá: ) (VIÇOSA) A B são mrizs qudrds d ordm B c A, sndo c um númro rl não nulo. S o drminn d A é o drminn d rnspos d B é 8, não o vlor d c é: ) (UFGO) Qul o vlor d um drminn d qur ordm, sbndo-s qu muliplicndo dus d sus linhs por dividindo sus coluns por obém-s o númro 7? ) 4/ (CESPE/SEDU-ES) O Imposo sobr Propridd d Vículos Auomoors (IPVA), d compênci dos sdos do Disrio Fdrl, foi insiuído m subsiuição à Tx Rodoviári Únic (TRU), cobrd nulmn no licncimno dos vículos. A bl bixo mosr, hipoicmn, vlors do IPVA, srm pgos m 008, pr lguns vículos d cordo com no d fbricção mrc. 68. (PUC) Dds s mrizs X Y, o drminn d mriz produo XY vl: ) (VUNESP) S o drminn d um mriz qudrd A, d ordm, é 5, não o drminn d mriz 4A é igul : ) Considr mriz M, 4 4, m qu o lmno d i- ésim linh j-ésim colun é o vlor do IPVA sr rcolhido plo propriário do vículo d mrc Ai fbricdo no no 00j. Com bs nsss informçõs, julgu os ins sguir. Considr qu dsps d um mprs com o pgmno d IPVA d sus vículos no no d 008 é igul R$.70,6 qu l possu vículos d mrc A, um fbricdo m 00 o ouro, m 00. Nss siução, é possívl qu ss mprs possu mis d um vículo d mrc A. IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) LISTA 5 0

11 RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Crlos Considr qu odos os vículos d um mprs são d mrc A 4 : fbricdos m 00, m 00 m 004. Nss siução, o vlor d dsps dss mprs com o IPVA d sus vículos, no no d 008, corrspond o lmno obido o s muliplicr mriz M pl rnspos d 4, mriz [0 ] GABARITO ) D 0. C. C. E. A 4. C 5. A 6. B 7. C 8. A 9. E 40. E 4. A 4. B 4. B 44. D 45. C 46. E 47. C 48. C 49. D ) 4 5. A D 5. C 5. B 5. B 54. A 55. A 56. B 57. B 58. C 59. D 7. E 4 8. A 5 9. B 0. ) C. D. A 4. D 5. B 6. C 7. E 8. D 9. A 60. B 6. B 6. D 6. E 64. C 65. B 66. A 67. C 68. E 69. A 70. C 7. C 7. D 7. C C 0. D. A. C. E 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 9. E IGEPP RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) LISTA 5

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