VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS. Vamos agora analisar em detalhe algumas variáveis aleatórias discretas, nomeadamente:

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1 98 99 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Vamos agora analisar m dalh algumas variávis alaórias discras, nomadamn: uniform Brnoulli binomial binomial ngaiva (ou d Pascal) gomérica hirgomérica oisson mulinomial hirgomérica gnralizada DISTRIBUIÇÃO UNIFORME Diz-s qu uma v.a. discra m disribuição uniform s a sua função d robabilidad for dada or: ( ) $,,3,...,n n # ouros valors A v.a. assum ois um conjuno finio d valors quirovávis. O arâmro qu caracriza sa disribuição é n, um valor iniro osiivo qualqur. O valor srado a variância d são rscivamn: E n & i i ( ) % ( ) Var i... ( ) E ( )' E ( ) n & i i N % N N ' % N ' - N + +, N + * ( ) ( N + )( N + ) ( N + ) DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI Sucssão d rovas d Brnoulli 6 Dá-s o nom d rovas d Brnoulli a um rocsso ou riência caracrizado or ridas rovas qu êm lugar nas sguins condiçõs: m cada rova só há dois rsulados ossívis, muuamn clusivos, dnominados sucsso insucsso. a robabilidad d sucsso, dsignada or, maném-s consan d rova ara rova. A robabilidad d insucsso é dsignada or q '. as rovas são indndns, iso é, os rsulados obidos numa cra rova ou squência d rovas não afcam os rsulados da(s) rova(s) subsqun(s). ' 4

2 Eism muias siuaçõs rais qu rsiam, mbora muias vzs d forma aroimada, as hióss subjacns a um rocsso d Brnoulli. Considr-s uma rova d Brnoulli uma v.a. qu só assum dois valors: o valor quando o rsulado da rova é insucsso o valor quando o rsulado da rova é sucsso. Ao sucsso sá associada a robabilidad ao insucsso a robabilidad ' q, fias. Diz-s qu a v.a. discra m disribuição d Brnoulli s a sua função d robabilidad for dada or: ( ) # ( ' ) ' $ %, ouros valors Esa disribuição m um só arâmro qu saisfaz a condição: < <. O valor srado a variância são rscivamn: E ( ) ( ) q Var % Nsas condiçõs a v.a. com disribuição d Brnoulli od dfinir-s m rmos gnéricos como: númro d sucssos numa rova d Brnoulli DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL A disribuição binomial assna ambém no concio d rovas d Brnoulli é sm dúvida uma das disribuiçõs d robabilidad discras mais largamn uilizada como modlo órico adquado a uma grand varidad d siuaçõs obsrvávis na ráica. Esa disribuição é ambém imoran na oria da amosragm. A disribuição binomial aarc associada ao sguin io d roblma: drminar a robabilidad d, m n rovas d Brnoulli, srm obidos sucssos (corrsondndo à ralização d um cro aconcimno A) orano n insucssos (não ralização d A). ( ) A sguin sucssão d n rovas d Brnoulli é uma sucssão favorávl ao objcivo m causa: n rovas A AA...A...A A AA...A...A sucssos n ' insucssos A robabilidad associada a sa sucssão é Rconhc-s facilmn qu odas as sucssõs favorávis - n * são quirovávis o su númro é + ( (as difrns, ) maniras d obr sucssos orano ( n ' ) insucssos m n rovas d Brnoulli). q n '.

3 3 Diz-s qu a v.a. discra dfinida como: númro d sucssos m n rovas d Brnoulli m disribuição binomial scrv-s: ~ b (n,) s a sua função d robabilidad for dada or: n - n * & (, ) n ' ( ) E( ) + ( ' ) ( % + q ) n m qu q ' ( ) $ - n * + (, ) # ( ' ) n ',,,...,n ouros valors ASPECTO RÁFICO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (m função dos arâmros n ) Os arâmros qu caracrizam sa disribuição são n. O arâmro n corrsond ao númro d rovas d Brnoulli a fcuar, sndo n um iniro osiivo qualqur. O arâmro corrsond à robabilidad associada ao sucsso < <. Noar qu s ~ b (n,) não Y n é ambém binomial mas, Y ~ b (n,q). O valor srado a variância ara sa disribuição são rscivamn: ( ) n E % ( ) n % q Var % Esas rssõs odm sr obidas la dfinição ou : rcorrndo à função gradora d momnos, ( )

4 4 ara,5 a disribuição binomial é simérica, qualqur qu sja o valor d n. ara <,5 a disribuição é assimérica osiiva ou nvisada à squrda. ara >,5 a disribuição binomial é assimérica ngaiva ou nvisada à diria. quano mais afasado sivr d,5 mais nvisada é a disribuição. Msmo ara valors d difrns d,5 quano maior for n, mais róima da simria sará a disribuição. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL NEATIVA Considr-s uma sucssão d rovas d Brnoulli. Sja a v.a. númro d rovas a ralizar, aé s obrm sucssos. Admiamos não qu s ralizam rovas m qu ocorrm sucssos orano ( ) insucssos; a - ésima rova é smr um sucsso. Rrsnando o sucsso or A o insucsso or A mos o sguin squma: ( ' ) rovas A A A A AA...AA A ( ' ) sucssos qu salina o faco d nas rimiras ( ) rovas ocorrrm ( ) sucssos na -ésima rova ocorrr smr o úlimo sucsso rndido. Es squma rrsna anas uma das maniras d obr ( ) sucssos m ( ) rovas. O númro d maniras difrns d obr ( ) sucssos m ( ) rovas é dado or: - ' * + (, ' ) ( ' ) ( ' )( ' ) As robabilidads associadas ao sucsso ao insucsso são rscivamn: P(A) P(A) q Em rsumo, diz-s qu a v.a. discra dfinida como: númro d rovas a ralizar aé s obrm sucssos m disribuição binomial ngaiva scrv-s: ~ bn (,) s a sua função d robabilidad for dada or: ( ) $ - ' * + (, ' ) # ( ' ) ', +,... ouros valors Os arâmros qu caracrizam sa disribuição são. O arâmro é um iniro osiivo fiado à arida corrsond ao númro d sucssos rndidos. O arâmro corrsond à robabilidad associada ao sucsso < <. 5

5 O valor srado a variância ara sa disribuição são rscivamn: ( ) E Var ( ) % ( ' ) % q 6 Esas rssõs odm sr obidas la dfinição ou : rcorrndo à função gradora d momnos, ( ). - + ' * & (, ) ( ) E( ) + ( ' ) 4 3 % ' % (dmonsração...) ( ' ) / DISTRIBUIÇÃO EOMÉTRICA ' ( % ) %( ' q% ) m qu q ' Esa disribuição é um caso aricular da binomial ngaiva quando, iso é, considr-s uma sucssão d rovas d Brnoulli sja a v.a. númro d rovas a ralizar, aé s obr o rimiro sucsso. Enão a caracrização dsa variávl obém-s a arir da anrior fazndo. Em rsumo, diz-s qu a v.a. discra dfinida como: númro d rovas a ralizar aé s obr o rimiro sucsso m disribuição gomérica scrv-s: ~ g () s a sua função d robabilidad for dada or: ' ( ) ( ' ) %,,... O arâmro corrsond à robabilidad associada ao sucsso < <. O valor srado a variância ara sa disribuição são rscivamn: ( ) E ( ) ( ' ) Var q Esas rssõs odm sr obidas la dfinição ou : rcorrndo à função gradora d momnos, ( ). ' ( ) E( ) ( ' ) % ' % & ( ' ) ' q% % m qu q ' 7