Material Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo.

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1 Mtril Tórico - Módulo Triângulo Rtângulo, Li dos Snos ossnos, Poĺıgonos Rgulrs Rzõs Trigonométrics no Triângulo Rtângulo Nono no utor: Prof Ulisss Lim Prnt Rvisor: Prof ntonio min M Nto Portl d OMEP

2 1 Rzõs trigonométrics m triângulos rtângulos Ddo um ângulo gudo qulqur, d mdid, podmos construir um triângulo rtângulo, rtângulo m, tl qu o ângulo md S um outro triângulo rtângulo é tl qu mdid do ângulo é tmbém igul, ntão os triângulos são smlnts (bst obsrvr corrspondênci, ) c Dss smlnç, sgu qu b c b = b c, = c b c = b c ssim, s rzõs b = b, c = c b c = b c, indpndm do triângulo rtângulo considrdo Por tl rzão, s dnominmos, rspctivmnt, d sno, cossno tngnt d, dnotmos sn, cos tg, tmbém rspctivmnt Dssmodo, indnsnotçõsdfigurcim, tmos sn = b, cos = c tg = b c No triângulo rtângulo d figur, os ldos são dnomindos ctto oposto ctto djcnt o ângulo =, rspctivmnt ssim, podmos dizr, quivlntmnt, qu b Portl d OMEP mdid do ctto oposto sn = ; mdid d ipotnus cos = tg = mdid do ctto djcnt ; mdid d ipotnus mdid do ctto oposto mdid do ctto djcnt Not qu plo Torm d Pitágors,tmos = b +c Então: ( b ) ( c sn +cos b = + = ) + c = b +c = = 1 idntidd sn + cos = 1 é concid como rlção fundmntl d Trigonomtri Obsrv, ind, qu s β são os dois ângulos intrnos gudos d um triângulo rtângulo, isto é, s β são complmntrs, ntão: sn = cosβ, cos = snβ tg = 1 tgβ om fito, isso dcorr do fto qu o ctto oposto é djcnt β o ctto djcnt é oposto β (vj figur bixo) Rzõs trigonométrics d ângulos notávis onsidrmos um triângulo, rtângulo m isóscls, cujos cttos mdm 1 cm (vj próxim figur) Então, cd um dos ângulos Ĉ md 45o lém disso, plo Torm d Pitágors, tmos: = + = = 1 +1 β = = = = Dí, obtmos: sn45 o = 1 = 1 =, cos45 o = 1 = tg45 o = 1 1 = 1 ttp://mtmticobmporgbr/ 1 mtmtic@obmporgbr

3 45 o 45 o gor, tommos um triângulo quilátro d ldo 1 (vj figur bixo) Sj H o pé d ltur rltiv o ldo Sbmos qu ltur d um triângulo quilátro d ldo l é dd por l ; portnto, ltur H md cm gor, como todo triângulo quilátro é m prticulr isóscls (com rspito qulqur ldo), o sgmnto H, lém d sr ltur rltiv o ldo, tmbém é bisstriz intrn rltiv o vértic omo Ĉ = 60o (pois m um triângulo quilátro cd ângulo intrno md 60 o ), sgu qu HĈ = 0o 60 o 0 o H 60 o Obsrvndo o triângulo H, rtângulo m H, podmos concluir qu sn0 o = 1 1 = 1, cos0o = tg0 o = 1 1 = = 1 = Portl d OMEP omo H H são ângulos complmntrs, obsrvção fit n Sção 1 sobr s rzõs trigonométrics d ângulos complmntrs grnt qu: sn60 o = cos0 o =, cos60o = sn0 o = 1 tg60 o = 1 tg0 o = 1 1 = Exmplos Nst sção, prsntmos lguns xmplos título d ilustrção dos concitos dsnvolvidos té qui Exmplo 1 lcul s mdids dos ldos d um triângulo, rtângulo m, sbndo qu ltur rltiv à ipotnus md = 8 cm = 0 o Solução Dnotndo por H o pé d ltur rltiv o ldo, tmos qu o triângulo H é rtângulo m H (vj figur sguir) Dí, sgu qu 0 o H HÂ = 90o HĈ = 90 o Ĉ = = 0 o Logo, clculndo o cossno do ângulo H, obtmos: cos0 o = = = 8 = = 16 = = 16 = 16 = = 16 gor, clculndo primirmnt o sno dpois o cossno do ângulo, obtmos: sn0 o = = 1 16 = = = cos0 o = = = = = = = 16 ttp://mtmticobmporgbr/ mtmtic@obmporgbr

4 Exmplo O topo d um torr vrticl é visto d um dtrmindo ponto no solo sob um ângulo d 0 o lém disso, distânci do ponto à bs d torr é igul 100 m ssumindo como irrlvnt o dsnívl ntr o ponto bs, clcul ltur d torr Solução O obsrvdor, o topo bs d torr formm um triângulo, rtângulom Um vz qu o topo d torr é visto plo obsrvdor sob um ângulo d 0 o, tmos Ĉ = 0o Dí, obtmos: tg0 o = = = 100 = = o 100 m TORRE Exmplo Um obsrvdor vê um prédio, construído m um trrno plno, sob um ângulo d 45 o proximndo-s 100m do prédio, o obsrvdor pss vê-lo sob um ângulo d 60 o Qul é ltur do prédio? Solução Dnotmos o obsrvdor por, no momnto m qu l vê o prédio sob um ângulo d 45 o, por, no momnto m qu l vê o prédio sob um ângulo d 60 o (vj próxim figur) Dnotmos bs o topo do prédio por D, rspctivmnt gor, cmmos d ltur do prédio d x distânci d (vj novmnt figur sguir) Portl d OMEP Dss modo, podmos clculr s tngnts dos ângulos D D pr obtr, rspctivmnt, 1 = tg45 o = = = x+100 x o 60 o D 100 m x tg60 o = x = = x = = x+100 x = x = x+100 Finlmnt, obtmos: = x( 1) = 100 = x = = x = = x = 100( +1) = x = 50( +1) = x+100 = 50( +1)+100 = 50( +1+) = 50( +) Dics pr o Profssor Rcomndmos qu sjm utilizds dus sssõs d 50min cd pr discutir o contúdo prsnt nss mtril, sndo um dsss sssõs utilizd pr prsntr s sçõs 1, outr sssão pr prsntr os xmplos contidos n sção Dpois d xpor s rzõs trigonométrics m triângulos rtângulos, comnt com os lunos qu sss concitos podm sr vistos d modo mis grl, d form qu não contmplm somnt ângulos gudos, ms qu isso srá fito postriori ttp://mtmticobmporgbr/ mtmtic@obmporgbr

5 s rfrêncis colcionds sguir contém muitos problms xmplos rlciondos o contúdo do prsnt mtril Sugstõs d Litur omplmntr 1 min Tópicos d Mtmátic Elmntr Volum : Gomtri Euclidin Pln, Edição Rio d Jniro, SM, 01 G Izzi Os Fundmntos d Mtmátic Elmntr, Volum : Trigonomtri, 9 Edição São Pulo, tul Editor, 01 Portl d OMEP ttp://mtmticobmporgbr/ 4 mtmtic@obmporgbr