Áreas de Figuras Planas: Mais Alguns Resultados. Nono Ano. Autor: Prof. Ulisses Lima Parente Revisor: Prof. Antonio Caminha M.

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1 Mtril Tório - Módulo Árs d Figurs Plns Árs d Figurs Plns: Mis lguns Rsultdos Nono no utor: Prof Ulisss Lim Prnt Rvisor: Prof ntonio minh M Nto 6 d novmro d 08 Portl d OMEP

2 fórmul d Hrão Nst ul, prsntrmos lgums fórmuls qu nos prmitm nontrr árs d lguns polígonos Tis fórmuls dpndm pns ds mdids dos ldos dos polígonos om o ojtivo d motivr dsort dsss fórmuls, iniimos om o sguint Prolm omo lulr ár do triângulo slno ddo n figur ixo, ujos ldos mdm, 0 7 ntímtros? 7 solução do prolm im pss plo sguint rsultdo, qu forn um fórmul, onhid omo fórmul d Hrão, proálulodárdumtriânguloqulqur m função ds mdids d sus ldos Pronunido d msm, rordmos qu o smiprímtro d um triângulo é smissom ds mdids d sus ldos Torm (Hrão S é um triângulo d ldos,, smiprímtro p, ntão ( = p(p (p (p Prov Suponhmos iniilmnt qu o triângulo é utângulo (vj figur sguir, sjm H o pé d ltur rltiv o ldo, θ mdid do ângulo x mdid do sgmnto H θ x H h 0 Portl d OMEP Osrvndo s rzõs trigonométris no triângulo rtângulo H, tmos qu osθ = x Por outro ldo, li dos ossnos plid o triângulo nos dá = + osθ, d sort qu osθ = + Igulndo os vlors d osθ otidos ns dus rlçõs im, otmos x = + ou, ind, x = + gor, plindo o Torm d Pitágors o triângulo H, otmos x +h =, logo, h = x ( = + = ( + 4 = 4 ( + 4 = ( ( + 4 prtir d últim xprssão im, utilizndo ftorção u v = (u+v(u v lgums vzs, otmos ( ( + = = ( +( + ( ( + =( ++ ( ( + = ( (+ ( ( =(++(+ (+( ( ( =(++(+ (+ (+ Por fim, notndo qu p = ++ rrt + = p = (p, nlogmnt, + = (p + = (p, podmos srvr Então, ( ( + = =(++(+ (+ (+ =p (p (p (p =6p(p (p (p h = 6p(p (p (p 4, ou, o qu é o msmo, Portnto, h = p(p (p (p ( = h = p(p (p (p rgumntos nálogos mostrm fórmul d Hrão pr o so m qu o triângulo possui um ângulo otuso m (vj próxim figur ixmos prov dst so rgo do litor mtmti@omporgr

3 h H x θ Finlmnt, s θ = 90 o, ntão, ns notçõsd disussão im, o Torm d Pitágors forn + = ss form, tmos trivilmnt ( = ( ( +, lgrismos nálogos os do primiro so fornm ( ( + = 6p(p (p (p Portnto, o qu nos dá ( = 6p(p (p (p, ( = = p(p (p (p Podmos, gor, voltr o Prolm : pondo =, = 0, = 7, tmos p = 9, d sort qu ( = 9(9 (9 0(9 7 = = 8 9 Rzão ntr árs d triângulos om um ângulo omum Sjm triângulos smlhnts om rzão d smlhnç igul k (vj figur ixo Pondo = =, otmos = k Portl d OMEP h h Sndo H H os pés ds lturs d m rlção os ldos, rsptivmnt, é imdito qu H H tmém são smlhnts (por trm dois ângulos rsptivmnt iguis dmis, rzão d smlhnç ontinu sndo k, um vz qu ss é rzão ntrosomprimntosd Portnto,dnotndo porhh sltursd mrlçãoosldos, rsptivmnt, tmos ss modo, onluímos qu ( ( = h h h h = k = h h = h h = k k = k, rsultdo qu nunimos m plvrs dizndo qu s dois triângulos são smlhnts, ntão rzão ntr sus árs é o qudrdo d rzão d smlhnç gor, suponh qu os triângulos E possum pns um ângulo omum, digmos, omo mostrdo n figur ixo: θ E Nst so, fórmul do sno pr ár d triângulos, studd ntriormnt, nos dá (E ( = E E = snθ snθ Utilizmos ss idi pr rsolvr o sguint Exmplo O triângulo, dsnhdo n figur sguir, tm ár igul 0m Sndo M o ponto médio do ldo, N o ponto médio do ldo G o rintro d, lul ár dos triângulos: ( G ( MN ( GM (d GMN ( mtmti@omporgr

4 M G Solução omo M =, plindo rlção ( os triângulos M (os quis têm o ângulo m omum, otmos: ou sj, (M M = ( = =, (M = ( = 0 = 60 gor, um vz qu G é o rintro d, smos d studos ntriors qu G = M í, osrvndo qu os triângulos G M têm o ângulo m omum, sgu novmnt d ( qu ssim, (G (M = G M = M M = (G = (M = 60 = 40 o msmo modo qu mostrmos qu (M = 60m, podmos mostrr qu (N = 60m, mis um vz invondo rlção ( (dst vz plid os triângulos M N, otmos: (MN M N = ( = = = 4 Então, (MN = 4 ( = 0 = 0 4 ntímtros qudrdos, dí, N Portl d OMEP (MN = ( (N (MN = = 0 plindo o msmo rioínio im os triângulos GM MN (qu têm o ângulo m omum, otmos: (GM (MN = G M N M = N N =, pois G = N (lmr-s d qu G é o rintro d ssim, (MG = (MN = 0 = 0 Finlmnt, osrvndo o ângulo N omum os triângulos MN GMN, otmos: d modo qu (GMN (MN = NG NM N NM = N N =, (GMN = (MN = 0 = 0 ntímtros qudrdos fórmul d rhmgupt Iniimos st sção prsntndo lgums idntidds trigonométris qu srão útis pr os dsnvolvimntos qu prtndmos fzr N figur ixo, é um triângulo rtângulo m é um triângulo rtângulo m, om hipotnus = β α Invondo s rzõs trigonométris m m, tmos qu snβ = osβ = = = snβ, = = osβ, snα = = = snα = snαosβ osα = = = osα = osαosβ gor, omo mostrdo n próxim figur, sjm F o pé d prpndiulr pssndo por E o pé d prpndiulr F psndo por mtmti@omporgr

5 Fzndo α = β m ( (, otmos rsptivmnt: β α F lulndo s rzõs trigonométris no triângulo rtângulo F, tmos: sn(α+β = F = F = sn(α+β os(α+β = F = F = os(α+β Vj, ind, qu E são prllos, pois E EF é um pr d ângulos ltrnos intrnos d msm mdid (são mos rtos í sgu qu EĈ = ÂF = α, d sort qu E o = 90 EĈ = EĈ = α ssim, s rzõs trigonométris no triângulo E fornm snα = E = E = E = snα snβ snβ osα = E = E = E = snβ osα snβ Sustituindo s xprssõs pr F, E m otmos E F = F = E, os(α+β = osα osβ snα snβ ( Portl d OMEP msm form, prtir d iguldd fimos om F = E +EF, sn(α+β = snα osβ +snβ osα ( s fórmuls im são onhids omo o ossno d som o sno d som, rsptivmnt os(α = os α sn α (4 sn(α = snα osα, (5 fórmuls onhids omo o ossno do ro duplo o sno do ro duplo, tmém rsptivmnt Fzndo α = α m (4 (om o uxílio d Rlção FundmntldTrigonomtrisustituindosn por os, hgmos ( osα = os α = os sn = sn sn = sn, dond otmos sn = osα (6 modo nálogo, ms gor sustituindo os por sn, otmos ( osα = os α = os sn = os ( os = os, d ond onluímos qu os = +osα (7 om os prliminrs trigonométrios im à noss disposição, podmos finlmnt prsntr um fórmul qu prmit lulr ár d quádrilátros insrtívis m função ds mdids d sus ldos Tl fórmul é onhid omo Fórmul d rhmgupt, pod sr vist omo um gnrlizção d fórmul d Hrão No ntnto, frismos qu, ontrrimnt à fórmul d Hrão, qu é válid pr todo triângulo, fórmul d rhmgupt só é válid pr qudrilátros insritívis Torm 4 (rhmgupt Sj um qudrilátro insritívl, om =, =, = = d Sndo p o smiprímtro d, tmos ( = (p (p (p (p d Prov Iniilmnt, osrv qu idntidd p = +++d 4 mtmti@omporgr

6 rrt d ++d = p = (p, ++d = p = (p, ++d = p = (p ++ d = p d = (p d gor, dnotmos α = Â x = (vj figur ixo x 80 o α omo é insritívl, tmos qu Ĉ = 80o α, logo, ( = ( + ( α = snα+ sn(80 o α = d snα+ snα = d+ snα Esrvndo (5 om α no lugr d α, otmos ( snα = sn α = sn os Logo, d Portl d OMEP ( = d+ snα = d+ sn = (d+ sn os os Elvndo mos os mmros d últim iguldd o qudrdo, otmos: [(] = (d+ sn os (8 Por outro ldo, plindo Li dos ossnos sussivmnt os triângulos, otmos: x = +d d osα x = + os(80 o α = + + osα (ond, n últim qução, utilizmos idntidd os(80 o α = osα í, sgu qu +d d osα = + + osα, iguldd qu rsolvid pr os α forn filmnt osα = +d (d+ gor, utilizndo idntidd (6, otmos: sn = osα = +d 4(d+ = d+ d + + 4(d+ = ( + + ( +d d 4(d+ = (+ ( d 4(d+ = (++ d(+ +d 4(d+ = (p d (p 4(d+ = (p d(p d+ nlogmnt, utilizndo idntidd (7 prfzndo lgrismos similrs os fitos im, otmos: os = +osα = + +d 4(d+ = (p (p d+ 5 mtmti@omporgr

7 Finlmnt, sustituindo m (8 s xprssõs otids im pr sn ( os α, fimos om: [(] = (d+ sn sn = (d+ (p (p (p d(p d+ d+ = (d+ (p (p (p (p d (d+ = (p (p (p (p d Extrindo rízs qudrds, sgu fórmul d rhmgupt: ( = (p (p (p (p d is pr o Profssor Romndmos qu sjm utilizds plo mnos três sssõs d 50min pr xpor todo o ontúdo dst mtril Sugrimos os profssors qu, nts d disutirm om sus lunos prov d fórmul d Hrão prsntd qui, omntm om os msmos sor outr dmonstrção, qul onst do módulo Lis dos Snos dos ossnos Expliqu om todos os dtlhs s idntidds trigonométris utilizds pr mostrr fórmul d rhmgupt, pois ls srão muito útis m outrs osiõs Em prtiulr, omnt qu ls srão rtomds d form mis grl no módulo sor Trigonomtri, do primiro no do Ensino Médio Tmém é importnt hmr tnção dos lunos, trvésd xmplos, pr o fto d qu fórmul d rhmgupt não vl pr qudrilátros m grl, isto é, não insritívis Um xmplo simpls é fornido plo trpézio rtângulo d ss 7 ltur, o qul tm o outro ldo não prllo d mdid 5 s rfrênis sguir ordm o mtril qui runido m mior profundidd trzm vários outros xmplos rsolvidos prolms propostos Sugstõs d Litur omplmntr Portl d OMEP minh Tópios d Mtmáti Elmntr, Volum : Gomtri Eulidin Pln Rio d Jniro, Editor SM, 0 O ol, J N Pompo Fundmntos d Mtmáti Elmntr, Volum 9: Gomtri Pln São Pulo, Editor tul, mtmti@omporgr