As fórmulas aditivas e as leis do seno e do cosseno

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1 ul 3 s fórmuls ditivs e s leis do MÓDULO 2 - UL 3 utor: elso ost seno e do cosseno Objetivos 1) ompreender importânci d lei do seno e do cosseno pr o cálculo d distânci entre dois pontos sem necessidde de medid diret. 2) Entender s fórmuls de dição como o resultdo fundmentl d Trigonometri. Introdução lei do cosseno éumfórmul importnte pr o cálculo d medid de um ldo de um triângulo qundo se conhecem s medids dos dois outros ldos e o cosseno do ângulo formdo por estes ldos. Vmos motivr com um situção rel. Um engenheiro necessit medir distânci entre os pontos e que definem lrgur l de um pântno P, segundo Figur 3.1. Pântno =? O Figur 3.1 Est éumsitução idel pr fórmul do cosseno. O engenheiro pós medir O e O e consultr um tbel de cossenos pode determinr medid l trvés d fórmul conhecid como lei dos cossenos: l 2 = O 2 + O 2 2 O. O. cos α. Eemplo 3.1 Se O =2, 5 km, O =3, 5 km e cosα =, 2então l 2 = 6, , , 5 3, 5, 2 = 18, 5 3, 5=15 l = 15 l 3, 9 km 35 EDERJ

2 Vmos provr fórmul do cosseno. Proposição 1 onsidere um triângulo cujos ldos medem, respectivmente,, b e c. Se α éoângulo entre os ldos de medids b e c, então 2 = b 2 + c 2 2.b.c. cos α. (3.1) Prov: onsidere que é o triângulo, tl que, e medem, respectivmente, c, b e equeα = Â. Temos dois csos: Primeiro cso: oângulo α do vértice é gudo ou reto. omo som dos ângulos internos é 18, pelo menos um dos outros ângulos ˆ ou Ĉ é gudo. Suponh que é gudo. Então o pé H d ltur do triângulo reltiv o vértice ci sobre o ldo b. Vejsdusfigurspossíveis, representds n Figur 3.2. c c h H b b- Figur 3.2 b b- Em qulquer ds possibiliddes, prtir dos triângulos H e H escrevemos c 2 = h e 2 = h 2 +(b ) 2. Eliminndo h 2,vemque c 2 2 = 2 (b ) 2. ou c 2 + b 2 2 b= 2. omo α éângulo gudo ou reto, no triângulo H vle = c cos α. Este resultdo substituído n equção nterior, implic que 2 = b 2 + c 2 2.b.c. cos α. EDERJ 36

3 MÓDULO 2 - UL 3 Segundo cso: Oângulo α é obtuso. Neste cso o pé dlturpelovértice ci for do ldo, vejfigur 3.3. h H c b Figur 3.3 Então nos triângulos H e H, encontrmos que 2 =(b + ) 2 + h 2, c 2 = h Donde, eliminndo h 2,vemque 2 = b 2 +2b+ c 2. (3.2) Ms no triângulo H, cos( α) = h.tmbém, cos( α) = cos α (lembr d tividde 2.1?) Então, cos( α) =h. Donde cos α = h. Substituindo em 3.2, encontrmos que 2 = b 2 + c 2 2.b.c. cos α. Neste ponto de nosso trblho estmos em condição de presentr demonstrções ds fórmulsditivsprsfunções seno e cosseno. Teorem 1 Pr quisquer números reis e y, vlem cos(y ) =cosy cos +seny sen, cos(y + ) =cosy cos sen y sen, sen(y ) =seny cos sen cos y e cos(y + ) =seny cos +sen cos y. Prov: onsidere ângulos α e β que representm s primeirs determinções dos rcos correspondentes e y. Podemos supor então, sem perd de generlidde que α β<2. Vmos provr fórmul cos(β α) =cosβ.cos α +senβ.sen α. (3.3) 37 EDERJ

4 Temos dois csos considerr: 1 o cso: β α<ou β α>;2 o cso: β α =. Vmos provr fórmul (3.3) no primeiro cso. Geometricmente, este cso pode ser representdo pels figurs seguir. Ns dus possibiliddes indicds, podemos epressr os pontos e em coordends retngulres como, =(cosα, sen α), =(cosβ,sen β). b b b- p b- p Figur 3.4 Por um ldo, usndo s coordends de e efórmul (2.1) que definde distânci entre os pontos e se epress como = (cos α cos β) 2 +(senα sen β) 2. Desenvolvendo, encontrmos que 2 =cos 2 α +cos 2 β 2cosα. cos β +sen 2 α +sen 2 β 2senα. sen β. Ou sej 2 =2 2(cos α. cos β +senα. sen β) (3.4) Por outro ldo, nos triângulos O d Figur 3.4, temosqueô = β α ou Ô =2 (β α). Em qulquer situção cos Ô =cos(β α). omo, lém disso, O = O = 1, plicmos lei dos cossenos pr encontrr que 2 = cos(β α) =2 2cos(β α). omprndo est equção com equção (3.4), deduzimos que cos(β α) =cosα. cos β +senα. sen β. Vmos o segundo cso, quele em que β α =. Então β = α + e um eme direto, vej Figur 3.5, mostr que cos β =cos(α + ) = cos α e senβ =sen(α + ) = sen α. EDERJ 38

5 MÓDULO 2 - UL 3 Tmbém, cos(β ) =cos = 1. om estes vlores cos α. cos β +senα. sen β = cos 2 α sen 2 α = 1 =cos(β ). Logo, tmbém nest situção, vle fórmul 3.3. Figur 3.5 Isto finliz prov d primeir fórmul de dição. Isto é, pr quisquer números e y, cos(y ) =cosy. cos +seny. sen. (3.5) s outrs fórmuls são conseqüêncis dest. Pois, cos(y + ) = cos[y ( )] = cosy. cos( )+ seny. sen( ) = cosy. cos sen y. sen. (3.6) ind, plicndo s fórmuls (3.5) e (3.6) obtemos que ( ) cos 2 ± z = sen z, pr qulquer z. Então, Logo Ms, [ ] cos (y ) =sen(y ). (3.7) 2 [ ] [( ) cos (y ) =cos 2( ) 2( y =cos 2 y. cos sen ( ) 2 y =seny cos sen 2 y sen ] + = ). sen = (3.8) ( ) [ ( )] sen 2 y =cos 2 2 y =cosy. (3.9) 39 EDERJ

6 Juntndo (3.7), (3.8) e (3.9) obtemos que sen(y ) =seny cos sen cos y. Está provd terceir fórmul do teorem. Tmbém, sen(y + ) = sen[y ( )] = sen y cos( ) sen( ) cosy = seny cos +sen cos y. Está provdo o Teorem 1. Lei dos senos O objetivo dest seção é provr lei dos senos pr um triângulo qulquer. Proposição 2 Em qulquer triângulo vle s igulddes: sen Ĉ = = sen ˆ sen Â. Prov: Você conhece do módulo 1, que todo triângulo está inscritonum círculo de centro O ederior. VejFigur 3.6. o Figur 3.6 Os ângulos α, β e γ são os ângulos centris correspondentes, respectivmente, os ângulos inscritos Â, ˆ e Ĉ.Então vle α =2Â, β =2ˆ e γ =2Ĉ. Vmos gor, prtird Figur 3.6, isolr o ldo oposto oângulo Â, como mostr Figur 3.7. O triângulo O éisósceles com bse. Logo, ltur OH étmbém bissetriz do ângulo Ô = α. EDERJ 4

7 MÓDULO 2 - UL 3 H Figur 3.7 Então ÔH = α =  e ssim no triângulo OH, H = R sen Â. Ousej, 2 1 = R sen Â. Finlmente encontrmos que 2 sen  =2R. iguldde que encontrmos vem do fto de trblhrmos com o ldo oposto o ângulo Â. Se trblhrmos igulmente com o ldo oposto o ângulo Ĉ ou o ldo oposto o ângulo ˆ, encontrrímos, respectivmente, sen Ĉ =2R e =2R. sen ˆ OrioR é um constnte e presente em tods s equções. Portnto vle sen Ĉ = = sen ˆ sen Â, que é lei dos senos. Gráfico ds funções seno e cosseno Usndo os vlores de seno e cosseno clculdos n tividde 1.2 d ul 1 e tividde 2.3 d ul 2 podemos construir gráficos pr esss funções. Vej s Figurs 3.8 e 3.9 pr os gráficos. y y Figur 3.8 : y =sen Figur 3.9 : y =cos 41 EDERJ

8 Eercícios 1. onhecendo que tg = 2, clcule cossec ( ) Sendo tg = 1 e > 3 2, descrev s soluções d equção. 3. lcule o vlor de ( sen 7 4 cos 3 4 )[ cos 17 4 tg ( 15 4 )]. 4. lcule o seno do ângulo  do triângulo sbendo que ˆ = 4 rd e Ĉ = 6 rd. 5. lcule sen( b), sendo que cos = 4 5 esen = onhecendo que tg =2 3eque y =, encontre tg y Determine medid do ângulo de um triângulo, onde os ângulos, e stisfzem tg +tg =sen 2 e cos. cos =sen. 8. lcule sen 12. EDERJ 42