Matemática B Superintensivo

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1 GRITO Mtemátic Superintensivo Eercícios 0) 4 m M, m 0 m N tg 0 = b = b = b = = cos 0 = 4 = = 4. =.,7 =,4 MN =, +,4 + MN =,9 m tg 60 = = =.. = h = + = 0 m 04) 0) D O vlor de n figur bio é: (Errt) 4 sen 4 = =. = D = 80. cm 0 Sej n o número de degru d escd. tg 0 = 0 l l = 0 cm n = 80 0 = cm 0 cm + = = 69 = 0) 0 D 0) 7 0. Verddeir. = 0 km. sen 0 = = = 0 0. Verddeir. D =, km. cos 60 = D = 60 0 b m h D = =, 04. Flso. D = km. sen 60 = D = D = Mtemátic

2 GRITO 08. Verddeir. O ângulo ÂD mede Verddeir. velocidde médi do brco é de km/h. tg 0 = D = D =. D = Vel = = km/h 08) No triângulo O, tem-se: r tg 0 = 4 = r 4 = r = 4 O O = = = = 8 cm. D 06) onsidere figur, sendo Q o pé d perpendiculr bid de P sobre G. P H 0 Q 4 Queremos clculr PQ omo PG Q = 4, segue PQ = QG. Desse modo, Q = 40 QG = 40 PQ. Portnto, do triângulo PQ, vem tg Q P = PQ Q = 40 PQPQ ( + ) PQ = 40 PQ = 40 + PQ = tg Q P = 0( ) m. 07) G 09) D sen 0 = D = D = 0 tg 0 = 0 = = 0. Áre = (0 ). (0) Áre = 00 onsidere figur. P r O O R r 0? 4 t É imedito que cos α = = r cos α r e sen α = = r sen α r Mtemátic

3 GRITO 0) sen 0 = sen 4. = 00. = 00 = 00 m 0 60 t z t w ) km 0. Fls. Pois sen 60 = = = 0 km. 0. Verddeir. Pois sen 0 = = = 0 km. 04. Verddeir. Pois o triângulo t t é isósceles, logo z = >. 08. Fls. Pois z = >. ) D 0,8 km 0 km Pel Lei dos ossenos, obtemos: = ² +... cos = (0,8) +. 0,8.. cos 0 = 0, ,8.,64 + 0,8.,7 Logo,,7 e, portnto, o resultdo é + 0,8 +,7 =,. 60 4) 60 0 onsidere figur, n qul = 6, = 0 e = 8. = = = 900 9,4 D ) D Do triângulo retângulo D, obtemos tg D = D D =. tg 0 D = 6. D = 0 lém disso, pelo Teorem do Ângulo Eterno, segue que D = D + D Mtemátic

4 GRITO ) D = D = 0 Portnto, pel Lei dos Senos, vem D 8 = 0 = send sen D sen α sen 0 sen α = 4 sen α = 4. sen α = 4 0. sen 60 plicndo Lei dos ossenos, obtemos = +... cos = = = 76 = 9 km 7) E Sej l o ldo do qudrdo. omo EFG é um qudrdo, segue que o triângulo é retângulo. Logo, = 60. lém disso, sbemos que D é bissetriz de e, portnto, D = D = 0. Dí, segue que D = 0. plicndo Lei dos Senos no triângulo D, obtemos D = = = 6 cm. send sen D 8) ssim, no triângulo, temos que cos = = 6. cos 60 = cm. Por conseguinte, do triângulo GF, vem tg D = GF G = l l l = ( ) cm. 6) 0 M E / N No ΔM: cos 0 = = = No ΔEN: cos 0 = = = E = = 0 plicndo o teorem dos cossenos no triângulo E, temos: E = +... cos 0 E = E = + E = 7 D 9) 0 00 m 00 m plicndo o teorem dos cossenos no triângulo ssinldo, temos: = (00 ) = = = 700 m O deslocmento do ponteiro ds hors, em minutos, é igul = 0'. Logo, como o ângulo entre s posições e 8 mede. 0 = 90, segue que = ' = 0 0'. P N E = 7 4 Mtemátic

5 GRITO 0) ) D ) = tg cos 0 sen 870 sec π = sen0 secπ = = = = = 0. = 6 + cos = cos = cos = ± 69 cos = ) D No terceiro qudrnte senos e cossenos são negtivos. Utilizndo relção fundmentl, temos: sen () + cos () = sen () + = sen² () = sen () = ± 69 sen () = ± omo o rco tem etremidde no terceiro qudrnte, temos: sen () =. lculndo tngente de. tg() = sen cos = + cos = cos = cos () = ± 69 cos = = 4) Vel = = km/h + ( ) s cos.cosec = + cos. sen = + sen cos cos = + sen cos = cos cos = = 0 ) 4 cos ec é: cossec = e é do primeiro qudrnte, 4 cossec = 4 sen = 4 sen = 4 Pel relção fundmentl cos = sec = tg = sen cos cos = = 4 9. (sec² + tg² ) = = = 4 = = 4 Mtemátic

6 GRITO 6) = 4 = 60 7) 0 b P N Q M 6 M cos 6 sen 6 figur N + b = π sen (b) = cos () cos (b) = sen () figur PN QM sen () sen (b) sen () cos () OP + OQ cos () + cos (b) cos () + sen () = cos π = 6 = sen π = 6 Portnto = 8) 96 cm sen = 0,6 = ² = (sen cos )² + (cos + sen )² ² = sen² sen. cos + cos² + cos². sen. cos + sen² ² = = 4 =. (²)² =. ² = 60 sen = Pel relção fundmentl cos = 4 00 cm sen () =. sen. cos sen () =.. 4 sen () = 4 h sen () = 00 = 4 h = h = 4. 4 h = 96 cm h 6 Mtemátic

7 GRITO 9) 0) D I. Flso. cos () = cos II. Verddeiro. ângulos complementres III. Verddeiro. cos + cos = 0 IV. Flso. cos () = cos² sen² π s(t) = cos πt + P = π π = Im = [ ; ] ) ) ) D Sbendo-se que ângulos suplementres têm cossenos simétricos, concluímos que: π π f() + f() + f() + f(7) = cos 0 + cos + cos + cos π = 70. f() = 4 + cos π 6, = 4 + cos π 6, = cos π 6 cos π 6 = π 6 = π π + k. π ou 6 = 4 π + k. π pr k inteiro Pr k = 0, temos = 4 ou = 8. Pr k =, temos = 6 (não convém) ou = 0h (não convém). Respost: 4h e 8h = tg Im = R π + πk π 4 + kπ Mtemátic 7

8 GRITO 4) 6 0. Flso. P = π = π 0. Verddeiro. cos² + sen. cos = cos cos² + sen² = 04. Flso. sen² + cos² = 0 cos² = sen² sen² + sen² = 0 sen² = Não eiste R que torne equção verddeir. 08. Verddeiro. 6) omo o triângulo equilátero, segue que = = ( ) + ( 00) 7) (0,8) 6 0 cos α = 8 0 = 4 (, 6) M M M (, ) D ( D, D) 8 6. Verddeiro. (, 4) ) z + + z = 80 + = 80 z sen ( + ) = sen (80 z) sen()cos() + sen()cos() = sen 80 cosz sen z cos80 sen 80 = 0 e cos 80 = sen()cos() + sen()cos() = 0 sen(z)() sen()cos() + sen()cos() = sen(z) (, ), (0, 9)e (0, ) M é o ponto médio do ldo M = , M = (6; 6) Então medid de M vle: d = ( 6 0) + ( 6 ) d = d = M é o ponto médio ds digonis do prlelogrmo d figur. N digonl temos: M = + 0 = M = = = 6 8) E Logo M(/, 6) N digonl D, temos: D = = D 6 = + 6 D D = 6 Logo, temos D(, 6) e + 6 = 9 ² = ² + ² = 9 ² = ² + ² = 6 8 Mtemátic

9 GRITO 9) 40) Logo P = P = = = 0 7 = = (0, 6) 0 4) lculndo distânci do ponto G o ponto. 4 d = 0 + = = 9 (, 4) = e = P(; ) e Q(b; b) + b + b = ( ) ; = 4 ( + b = 4; b = 8) + b= 4 b= 8 4 = 4 = b= P(; ) Q(; ) 4) 07 4) D 44) m = = Número negtivo, cujo módulo é um número pr. G G (4, ) d G Determinndo o ponto G (bricentro do triângulo ), temos: G = = G = = Logo G 4, 40 0 Fzendo = 0, temos + 0 = 0 = 40. Fzendo = 0, temos = 0 = 0. Logo, (40, 0) e (0, 0) 0 Y Mtemátic 9

10 GRITO 4) 46) D Determinndo o ponto : = = 80 = 0 0 = 0 Portnto, temos ponto ( 80, 0). Determinndo o ponto : = = 40 = = 60 Portnto, temos ponto (40, 60). m = k 4 4 = k = = + n 4 =. + n n = 0 k + n = 48) 49) 0) D + 7= 0 ) Verddeir Resolvendo o sistem, + + 7= 0 temos: = 7 e = 0. b) Fls pois. (). () c) Fls pois els se intersectm em 7, 0 d) Fls pois els se intersectm em 7, 0 r // s m = m n < 0, pois ret s intercept o eio bio d origem. O coeficiente ngulr d ret é ddo por m = = 0 0 = Então, como ret é perpendiculr à ret r, segue que m = = m l. Dí, como r e r são prlels, segue 47) Sejm = m r +h r equção d ret r. Do gráfico segue que h r =. lém disso, com o r intersect o eio no ponto de bsciss =, segue que: 0 = m r. ( ) + m r = Por outro ldo, como ret s intersect o eio em (, 0), e o ângulo que el form com esse eio é 4, temos que su equção é 0 = tg 4. ( ) = s coordwends do ponto I constituem solução do sistem formdo pels equções de r e de s: = + + = I = 8 I = = = Portnto, distânci pedid é dd por ( 6 8) + ( 9 ) = = 0 km que m = m =. Portnto, sbendo que o ponto (0, ) pertence à ret r, vem que b = e, ssim, m. b =. = ) 04 ) O ponto é intersecção ds rets = e = +. Logo, = + = = (, 4). O ponto é intersecção ds rets = + e = 7. ssim, + = 7 = = (, 7) O ponto D é intersecção ds rets = 7 e =. Desse modo, 7 = = 6 D = (6, 7) O ponto E é intersecção d ret = com o eio ds bscisss. Por conseguinte, = 0 = E =, 0. 0 Mtemátic

11 GRITO ) Portnto, áre pedid é dd por (DE) = 0 6 / = = 07 ) 6) = + I. Fls. t de vrição d função f é = 4 0 =. Logo, como f() = 0, segue que 0 =. + b b =. Dí f() = + ou + 6 = 0. Portnto, distânci do ponto (, ) té o segmento é dd por:.( ) +.( ) 6 = 7 = u.c. + u.c. II. Verddeir. áre compreendid entre o sefmento de ret e o eio ds bscisss é ( ).( ) = [ ( )].( 4 0) = u.. III. Verddeir. O domínio de f é igul à imgem de f, ou sej, { R 0 4}, enqunto que imgem de f é igul o domínio de f, isto é, { R }. IV. Verddeir. Sej f invers de f, temos que: = + = + = +. Portnto f () =. + = 0. Observção: Se f dmite invers, então eiste um únic função f tl que f (f()) = = f(f ()). 4) ) p = 8 e r = 4π imgem de f é dd por 6. [, ] = 6 [, ] = [4, 8], enqunto o período é π = 4π. Portnto p = 8 e r = 4π. b) De (), temos que m = 4, n = f(0) = 6. sen 0 = 6 e q = π. ssim, equção d ret que pss pelos pontos (0, 6) 6 e (π, 4) é = 4 6 ( 0) = π π 7) E 8) D (0, ) Determinndo o ponto (fzendo = 0) = 0 + = m logo = (0, ). Escrevendo equção d circunferênci com centro em (0, ) e rio, temos: ( 0)² + ( )² = ² ² + ² + = 4 ² + ² = 0. Verddeiro. Pois (4 )² + ( 4)² =. Fls. O rio é. Verddeir. Pois o centro (, 4) está n ret, pois 4 = 4.. Somente s firmtivs e são verddeirs. equção d circunferênci é dd por ( )² + ( )² = 9. Se ret = determin um cord n circunferênci, então s bscisss ds etremiddes dess cord são tis que: ( )² + ( )² = 9 ² ² 0 + = 9 ² = 0 = ou =. Logo (, 0) e (, ) são s etremiddes d cord e, portnto, o comprimento d mesm é ( ) + ( 0) = 9+ 9 = 9) D Pr que equção represente um circunferênci, Mtemátic

12 GRITO deve-se ter = e = 0. lém disso, sbendo que o rio d circunferênci mede 0 ² + ² = 0 ( + )² + ( )² =. = u.c, vem: 60) D Logo, = ² = 0 e portnto, = 0 ( 0) = 6) 6) 7 6) 0 0. Fls. No encontro: posição de = posição de, logo: 60t = t t = h e posição S = 0 m 0. Verddeir. Ponto médio de : M, 0 oeficiente ngulr d ret: = Fls. m t = 4 m s = 4 logo m t. m s = 6 (não são perpendiculres) Verddeir. Resolvendo um sistem com s equções ds circunferêncis, encontrmos os pontos P(, ) e Q(, ). 64) Verddeir. =, comprovdo por ( + 0) + ( 0) = ) + ( + ) 0. Verddeir. Igulndo s funções, temos ² + + = ² = 0, que dmite dus rízes reis e iguis; logo, r intercept o gráfico d função rel em pens um ponto. 04. Verddeir. Utilizndo form segmentári pr equção d ret, podemos escrever que 6 + = + 6 = 0. Logo, o rio R d circunferênci será ddo pel distânci do centro (0, 0) à ret r. R = equção d circunferênci por ² + ² = 6 = 6 e Mtemátic

13 GRITO 08. Fls. Observndo figur seguir, temos: 0 cm,70 m h m 0 sen 0 = =, m. Logo, ltur d árvire será dd por: H =, +,7 = 4,0 m 6) 09 Mtemátic

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