Prova Escrita de Matemática A 12. o Ano de Escolaridade Prova 635/Versões 1 e 2

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1 Eam Nacional d 0 (. a fas) Prova Escrita d Matmática. o no d Escolaridad Prova 3/Vrsõs GRUPO I Itns Vrsão Vrsão. (C) (). () (C) 3. () (C). (D) (). (C) (). () () 7. () (D) 8. (C) (D) Justificaçõs:. P( ) = 0,8 P( ) = 0,8 P( ) = 0,8 P( ) = 0, 0, + P() P( ) = 0, P() P( ) = 0, Como são indpndnts, P( ) = P() P() plo qu: P() P() P()= 0, P() ( 0,) = 0, P() = 0,. Como é para scolhr 3 vértics ao acaso, o númro d casos possívis pod sr ; os únicos vértics do octadro prtncnts a um plano parallo ao plano d quação z = são, C, D E, plo qu o númro d casos favorávis é = P = 3. Um trmo qualqur d dsnvolvimnto d + 0 é 0 C p 0 p p. ssim, para qu no trmo «não ista», tm-s 0 p = p p =. o trmo pdido é 0 C 0 = = 80. lim n = a sucssão d trmo gral + n n aproima-s d por valors infriors a. lim g( n ) = lim ln ( ) = ln (0+ ) =. f é contínua m = π plo qu lim f() = f π π Limit notávl: sn y lim = y 0 y sn π sn π cos lim π = k 3 lim = k 3 lim ( ) = k 3 = k 3 k = π π π π π 0. Um dos zros d g é 0 o outro é um númro positivo: 0 + g + 0 _ 0 + g P.I. P.I. Tto

2 7. Um vtor normal a α é u(3,, 0), plo qu as altrnativas () (D) ficam dscartadas (já qu os vtors normais a sss planos são colinars a u). Um vtor prpndicular a u é (, 3, 0) (vtor normal aos planos d () d (C) mas o ponto prtnc ao plano d () ( = 0) não prtnc ao plano d (C) ( 0 +3 = 0). 8. Como as coordnadas dos pontos não são nm iguais nm simétricas, logo os argumntos dos complos não podm sr nm π nm 3 π, plo qu as opçõs () (D) são rjitadas. lém disso, os pontos da rgião sombrada ficam fora do círculo, plo qu também a opçao () é rjitada. GRUPO II. z = cis π = 3 + i = 3 + i z = 3 i Im(z) (3 + i i) i w = = = = 3 3 i + (3 + i) i + 3 i 3 i 3 i O R(z) a ára pdida é igual a = 9. cos α ± cos α z cos α ( cos cos αz + = 0 z = z = α) cos α sn α z = pois snα > 0, já qu α ]0, π[ cos α sn α cos α i sn α z = z = z = cos α + i sn α z = cos α i sn α z = cos α + i sn α z = cos ( α) + i sn ( α) z = cis α z = cis ( α).. o procsso: s primiras bolas são azuis há maniras d las ficarm juntas. P = = 3. o procsso: s bolas podm sr colocadas sm rstriçõs, sndo qu há maniras d as azuis ficarm juntas.!! P = = 3! 3. o procsso: das bolas (as azuis) podm sr colocadas, sndo qu há maniras d ssas azuis ficarm juntas. P = = 3 C Tto

3 . D ntr as 3 bolas qu sam, pod havr azuis ou ou 0, plo qu os valors d X são 0,. P(X = 0) = P(X = ) = P(X = ) = = Nnhuma das bolas é azul (isto é, são todas prtas) C = 3 C Uma bola é azul duas são prtas C = C Duas bolas são azuis uma é prta a tabla d distribuição pdida é: i 0 P (X = i ) D D cos α = = cos α m qu α = DÂ. D D D Sndo O o cntro da circunfrência (circunscrita ao pntágono rgular), sab-s qu a amplitud d um ângulo ao cntro é igual à amplitud do su arco corrspondnt. DÔC = π DÔ = π = π E O C Ora, qualqur ângulo inscrito numa circunfrência tm mtad da amplitud d um ângulo ao cntro com o msmo arco. π DÂ = = π = α α. D = cos π D = cos π = cos π sn π = sn π sn π = sn π c.q.d... ssíntotas vrticais ( = k): lim 0 ln 0 f() = = + = = 0 é a quação d uma assíntota vrtical do gráfico d f ( é a única, pois f é contínua no su domínio). ssíntotas não vrticais (y = m + b): m = lim f() = lim + ln( ) = + lim ln( ) ln y Limit notávl: lim = 0 y + y ln( ) = 0 + lim lim = = + ( ) b = lim (f() ) = lim + ln( ) = + lim + ln( ) ( ) = + 0 = y = é a quação d uma assíntota não vrtical do gráfico d f. as quaçõs pdidas são = 0 y =.. f é contínua m [, ] pois stá dfinida pla soma d duas funçõs contínuas (uma polinomial outra qu é o quocint ntr uma função logarítmica outra polinomial); ln f( ) = + = < f( ) = + ln = > stá ntr f( ) f( ) Plo torma d olzano, a condição f() = tm plo uma solução m ], [ c.q.d. Tto

4 ln( ) ln( ) ln( ).3 g() = + + g () = 0 + = g () = 0 ln( ) = 0 ln( ) = = = < 0 logo 0 0 g 0 + g Mín g é dcrscnt m ], ] crscnt m [, 0[ tm um mínimo rlativo d abcissa. PQ RQ. Ára do quadrilátro [PQRS] = Ára do [PQR] = = PQ RQ =? R RQ PQ Ora, sn α = RQ = sn α cos α = PQ = cos α PR PR ára do quadrilátro [PQRS] = sn α cos α = sn α cos α = (α) tg(θ) = () + = 9 = cos θ = cos θ =± 3 cos θ cos θ 9 Q α P Como θ 0, π, cos θ = 3 plo qu sn θ = cos θ = 8 9 8, logo sn θ = = 3 3 (θ) = 3 = Outro procsso (para calcular (θ)) (α) = sn α cos α = tg α cos α (θ) = 9 = 3 9. f(0) = 7 plo qu s tm (0, 7); s a rta tm dcliv a ordnada na origm é 7, ntão a quação rduzida dssa rta é y = + 7. Sja a abcissa positiva d. Como prtnc à rta ao gráfico d f, a quação a rsolvr é f() = = + 7 Sndo y = y = + 7, vjamos a intrsção ntr y y m [0, 0] [ 0, 30]: y y y 0 Na intrsção, obtém-s o valor 9,3 plo qu o valor pdido é 9,3 Obsrvação: outra manira d dtrminar a abcissa d sria: Sjam (, y) as coordnadas d ; como o dcliv da rta é, logo f() = = + 7 y 7 0 = y = + 7, plo qu a quação a rsolvr é Tto

5 condição univrsal 7. h () = 0 f() = 0 0 = = 3 mas não há mudança d sinal d f para =, plo qu h não tm um trmo m = (isto é, tm apnas um trmo); assim, conclui-s qu a afirmação I é falsa. pois é um zro f () h () = f() f ( ) h ( ) = f( ) 0 = 0 = 0 plo qu a afirmação II é vrdadira. 8 8 pois é um minimizant lim h() = 3, plo qu o gráfico d h tm uma assíntota d quação y = 3 (ou y 3 = 0) não y + 3 = 0, ou sja, a afirmação III é falsa. + Fim Tto

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