Material Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos Cossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Senos e Lei dos Cossenos - Parte 3

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1 Mteril Teório - Módulo Triâgulo Retâgulo, Leis dos osseos e dos Seos, Poĺıgoos Regulres Lei dos Seos e Lei dos osseos - Prte 3 Noo o utor: Prof Ulisses Li Prete Revisor: Prof toio ih M Neto 3 de julho de 018 Portl d OMEP

2 1 Relção de Stewrt O ojetivo desse teril é utilizr Lei dos osseos pr deostrr e exiir lgus plições do resultdo seguir, o qul é oheido oo Relção de Stewrt Teore 1 Sej u triâgulo ujos ldos, e ede, respetivete,, e Se é u poto sore o ldo, tl que, e x, etão + x +) 1) x Figur 1: relção de Stewrt Prov eotdo θ, teos 180 o θ vej figur ixo) θ x 180 o θ plido Lei dos osseos o triâgulo, oteos: x + xosθ í, segue que Portl d OMEP osθ x + ) x gor,lerdoqueos180 o θ) osθ, plios Lei dos osseos o triâgulo pr oter: x + xos180 o θ) x + +xosθ Logo, osθ x 3) x Iguldo s expressões ) e 3) pr osθ, hegos à iguldde ou sej, x + x x, x x + ) x ) Etão, distriuido os produtos e os os eros d iguldde i e usdo o fto de que +, u pouo de álger eleetr foree, suessivete, x + x x +x )x ++) + x + + x +) Oservção Vej que fórul 1) pode ser reesrit oo x + Se o âgulo for reto e x for ltur de reltiv o ldo que será hipoteus), etão, s otções d figur 1, s relções étris e triâgulos retâgulos foree e ssi, Relção de Stewrt pode ser esrit oo x +, fórul que té já oheeos do estudo de relções étris e triâgulos retâgulos seguir, ostrreos oo é possível lulr s edids de lgus evis de u triâgulo ddo, utilizdo Relção de Stewrt Exeplo 3 Sej u triâgulo o, e eotdo por M o poto édio do ldo, teos que edid d edi M é dd, e fução de, e, pel fórul: + ) 1 teti@oeporgr

3 M Figur : luldo s edis Prov o s otções d figur i, plido Relção de Stewrt o triâgulo, oteos: + + ) eldo u ftor e os os eros, fios o iguldde de sorte que Portto, ) + 4, 4 + ) 4 + ) Vle oservr que fóruls álogs vle pr s edis e reltivs os vérties e do triâgulo, respetivete Mis preisete, teos: e + ) + ) Portl d OMEP Exeplo 4 Sej u triâgulo o, e Sej, id,, e os oprietos ds edis reltivs os vérties, e, respetivete Mostre que Prov Utilizdo s fóruls dds o Exeplo 3 e oservção susequete, oteos: ) ) + + ) ) + + ) ) ) ) ) ) 3 4 Exeplo 5 Sej u triâgulo o, e Se é issetriz iter reltiv o vértive e, etão vle fórul: pp ), 4) + e que p ++ é o seiperíetro de Figur 3: luldo s issetrizes iters Prov eotdo, e ivodo o Teore d issetriz Iter, teos: Ms, oo +, teos, de sorte que, prtir d iguldde i, oteos: + +) + 5) teti@oeporgr

4 Sustituido ess expressão pr relção, hegos : + 6) gor, plido Relção de Stewrt o triâgulo e utilizdo s fóruls 5) e 6), oteos suessivete: ) ) + + +) +) ) + + +) + +) Etão, utilizdo ovete u pouo de álger eleetr, teos: +) +) +) [+) +) ] +) ++) + ) +) p p ) +) 4pp ) Por fi, extrido rízes qudrds e os os eros d iguldde hegos 4) +) 4pp ), oo o so ds edis, o leitor deve pereer que há fóruls álogs pr os oprietos e ds issetrizes iters reltivs os vérties e de, respetivete: Portl d OMEP pp ) + e pp ) + Terios este teril disutido, o exeplo seguir, o álogo do exeplo terior pr issetrizes exters Nesse so, poré, oserve que teos u suposição diiol Exeplo 6 Sej u triâgulo o,,, e tl que Se é issetriz exter reltiv o vértive e e, etão vle fórul: e p )p ), 7) e que p ++ é o seiperíetro de e Figur 4: luldo s issetrizes exters Solução Proedeos oo deostrção do exeplo terior,supodo > eoservdoque oso < pode ser lisdo de for idêti Mis preisete, podo e, teos pelo Teore d issetriz Exter que: gor, oo +, iguldde i foree Sustituido + + ) e +, oteos: 8) 9) gor, plido Relção de Stewrt o triâgulo e utilizdo s fóruls 8) e 9), oteos: +e + ) +e + +e teti@oeporgr

5 olodo e evidêi e os os eros i, Sugestões de Leitur opleetr hegos ) +e + ) 1 ih Tópios de Mteáti Eleetr, Volue : Geoetri Eulidi Pl Rio de Jeiro,, Editor SM, 013 logo, Etão, +e + ) e + ) ) + ) ) )+ ) ) + ) [ ) ] ) + ) +) ) p )p ) ) 4p )p ) ) Filete, extrido rízes qudrds e os os eros, oteos 7) is pr o Professor Reoedos que sej utilizds pelo eos dus sessões de 50i pr expor o oteúdo deste teril o explir Relção de Stewrt, resslte Oservção, pois, qudo os luos estudr s relções étris e triâgulos retâgulos, é provável teh feito perguts do tipo: e se o triâgulo ão for retâgulo? Ou id, e se fosse outr evi, e vez d ltur? Ess é horde explir que Relçãode Stewrt respode esss perguts is geris U fórul pr edid d ltur e fução d edid dos ldos de u triâgulo qulquer té pode ser deduzid prtir d Relção de Stewrt, s é isfáil deduzi-lprtird já oheid fórul de Herão s referêis seguir otê is exeplos e proles, de vridos grus de difiuldde, evolvedo s leis dos seos e osseos G Iezzi Fudetos de Mteáti Eleetr, Volue 3: Trigooetri São pulo, Editor tul, 013 Portl d OMEP 4 teti@oeporgr