Questão 1 No plano cartesiano, considere uma haste metálica rígida, de espessura desprezível, com extremidades nos pontos A (3,3) e B (5,1).

Transcrição

1 UJ OURSO VSTIULR 0- RITO PROV ISURSIV TÁTI Questão o plno crtesino, considere u hste etálic rígid, de espessur desprezível, co extreiddes nos pontos (,) e (5,) ) eterine equção d circunferênci de centro no ponto e que conté o ponto b) ncontre equção d ret que pss pelo ponto édio do segento e é perpendiculr o eso segento c) ixndo extreidde e e rotcionndo hste no sentido horário e 60, quis são s coordends d posição finl d extreidde inicilente e? onsidere o esboço bixo: ) Sej λ circunferênci de centro no ponto e que conté o ponto O rio de λ é ddo por ssi, equção d circunferênci λ é dd por r = (5 ) + ( ) = 8 x + y = ( ) ( ) 8 b) Sej o ponto édio do segento ntão s coordends de são: 5 + +, = (4,) O coeficiente ngulr d ret r que pss por e é ddo por y = = = x 5 Sej s ret que pss pelo ponto édio do segento e é perpendiculr o eso segento ntão o coeficiente ngulr d ret s é ddo por: = = ssi, equção d ret s é y = x + b, pr lgu b R Substituindo o ponto (4,) ness equção, obteos: = 4 + b b = Portnto, s : y = x

2 UJ OURSO VSTIULR 0- RITO PROV ISURSIV TÁTI c) ixndo extreidde e e rotcionndo hste no sentido horário e 60, sej x, y s coordends d posição finl d extreidde inicilente e heos ( x, y ) o ponto correspondente esss coordends Teos que = ntão pertence à circunferênci λ lé disso, no triângulo, coo o ângulo  é igul 60, teos tbé que, os ângulos de vértices e te edid 60 e dí o triângulo é eqüilátero ntão, edin reltiv à bse coincide co ltur, e coo ret s é editriz do segento, concluíos que s ]ssi, o ponto é u dos pontos de intersecção entre ret s e circunferênci λ, que obteos resolvendo o siste de equções seguir: y = x ( I) + = ( x ) ( y ) 8 ( II) Substituindo ( I ) e ( II ), encontros: + =, ou sej, ( x ) ( x 5) 8 x 8x + = 0 Resolvendo ess equção do segundo gru obteos: =, 8 ± x = = 4 ± rficente, podeos descrtr possibilidde de x = 4 + Pr encontrr coordend y, substituíos x = 4 n equção ( I ), obtendo y = í, x = 4 e y = são s coordends d posição finl d extreidde, inicilente, e Questão U função f : R R é dit estritente crescente qundo f ( x) > f ( x ) sepre que x > x, co x, x R ) ê exeplo de u função f : R R estritente crescente b) Sej f : R R u função estritente crescente Pr R fixdo, considere função g : R R dd por g( x) = [ f ( x) f ( ) ]( x ) ostre que g( ) < g( x ), pr todo x ) Sej, por exeplo, f : R R, dd por f ( x) = x ote que: se x < x, então f ( x ) = x < x = f ( x), ou sej, f ( x ) < f ( x ) g( ) = f ( ) f ( ) ( ) = 0 b) Inicilente note que [ ] studreos função g, qundo x, isto é qundo x > ou x < oo f é u função estritente crescente, teos: Se x < então f ( x) < f ( ) Logo x < 0 e f ( x) f ( ) < 0, logo [ ] g( x) = f ( x) f ( ) ( x ) > 0 g( x) > g( )

3 UJ OURSO VSTIULR 0- RITO PROV ISURSIV TÁTI Se x > então f ( x) > f ( ) Logo x > 0 e f ( x) f ( ) > 0, logo [ ] Portnto, concluíos que, x, g( x) > g( ) g( x) = f ( x) f ( ) ( x ) > 0 g( x) > g( ) Questão figur seguir, considere o retângulo Sej e pontos dos segentos e, respectivente, e u ponto do segento Sbendo que = c, = c, = 45º e = 0º, deterine edid do copriento do segento figur bixo, considere e os pés ds perpendiculres do ponto nos segentos e, respectivente 45º o triângulo retângulo, obteos: 0º ( I) sen(0º ) ( II ) cos(0º ) = = = ote que = + = + e = = ntão, no triângulo retângulo, obteos ( III ) + + tg(45º ) = = + = Substituindo ( I ) e ( II ) e ( III ), obteos: Portnto, + = ( + ) = 4 4 = = ( ) +

4 UJ OURSO VSTIULR 0- RITO PROV ISURSIV TÁTI Questão 4 U es de ss totl edindo Kg foi construíd utilizndo-se dois teriis: deir e ço confecção desse objeto, foi gsto o eso vlor n copr de cd teril Sbendo que o custo de cd quilogr de ço foi u terço do custo de cd quilogr de deir, qul quntidde de ço utilizd n construção dess es? efin s notções: = quntidde do ço utilizdo = quntidde d deir utilizd = usto de Kg de ço = usto de Kg de deir + = (I) = (II) oo n confecção desse objeto, foi gsto o eso vlor n copr de cd teril, de (II) teos: = = = Substituindo (III) e (I), obteos: + = = 4 ntão, quntidde do ço utilizdo nest confecção foi 4kg (III) Questão 5 figur seguir, considere o cubo de rest de edid c e fces djcentes e esse cubo, o ponto locliz-se no centro d fce opost à fce, e são pontos édios ds rests e, respectivente, e pertence o segento ) lcule edid d áre do triângulo b) Sbendo que é ltur d pirâide de bse tringulr, deterine o vlor d edid do volue dess pirâide 4

5 UJ OURSO VSTIULR 0- RITO PROV ISURSIV TÁTI figur bixo, considere K o ponto édio d rest e L o ponto édio d rest opost ote que L =, LK = e o triângulo LK é retângulo e L ) Pelo teore de Pitágors, ( K) = ( L) + ( LK ) = + 4 K = 5 áre do triângulo é dd por S( ) = ( K) = 5 = 5 c L b) É fácil ver que e LK são prlelos onsidere secção do plno, que pss pelos pontos, e K, co o cubo ci Sej o ponto édio do segento K K θ β α L α K heos LK = α, ' = β e = θ, coo n figur oo ' é prlelo LK, teos que K ' = LK = α, pois são ângulos lternos internos oo, por hipótese, é ltur d pirâide de bse tringulr, então é perpendiculr o segento K Logo: α + β = 90º = θ + β α = θ ntão, LK = e LK ɵ = = 90º e dí KL Por ess seelhnç: KL K 5 5 = = = O volue V d pirâide é ddo por 5 5 V = (áre d bse) 5 = = 6 c V 5 6 = c 5