GGE RESPONDE IME 2012 MATEMÁTICA 1

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1 0. O segundo, o sétio e o vigésio sétio teros de u Progressão Aritéti () de núeros inteiros, de rzão r, for, nest orde, u Progressão Geoétri (PG), de rzão q, o q e r IN* (nturl diferente de zero). Deterine: ) o enor vlor possível pr rzão r; ) o vlor do déio oitvo tero d, pr ondição do ite. ) + + = = Logo = ) 8 = = = 5 0. Os núeros reis positivos, e são rízes d equção, sendo IN (nturl), I (rel) e. Deterine, e função de e, o vlor de log ( ) = + + = = ( ) ( ) Sustituindo n epressão teos: log log log log 0. Os ângulos de u triângulo otusângulo são 05º, α e β. Sendo que Î I (rel), deterine: ) s rízes d equção se + ( os sen) = os + sen, e função de ; ) o vlor de pr que α e β sej rízes dess equção. ) espost os sen os sen os sen os os sen os sen os se os Dividindo por os, oteos os os os se se tg Ms tg se ; k;k tg tg tg tg tg tg 0 tg 4 9 Logo tg 9 tg ) Cso: Se 0 tg tg ) Cso: Se 0 tg ) espost tg75º tg45º tg0º tg75º tg45º tg0º tg 75º tg75º tg75º 9 9 tg75º tg75º tg75º Logo sen os os sen os os tg tg tg tg GGE ESPONDE IME 0 MATEMÁTICA ACOMNHE A ESOLUÇÃO DAS QUESTÕES NO SITE: COBETUAMAXIMA.COM.B

2 04. Sej o núero opleo Z = + i, o e I (rel) e. Deterine o ódulo de Z sendo que i O siste pode ser reesrito oo Elevndo Z o uo, oteos. tg5 AE - AE AE AE Cálulo d ltur AG : Z = ( + i) = ( ) + ( )i Sustituindo oteos Z = + i Assi Z i 8 Z 8 Z U pirâide regulr tringulr present u volue V. Deterine o rio d irunferêni irunsrit u ds fes lteris d pirâide e função de V, sendo que o ângulo do vértie vle 0. O ABCD é equilátero e s fes lteris são triângulos isóseles. Note que s rests d se é igul o rio d irunferêni. Cálulo de EG : Cálulo de AE : EG AG AE EG AG AG 4 AG AG 4 AG 5 AG 5 Cálulo do volue: V Áre(ABCD) AG V 4 V 5 V É dd u práol de prâetro p. Trç-se ord fol MN, que possui u inlinção de 0º e relção o eio de sietri d práol. A projeção do ponto M sore diretriz é o ponto Q, e o prolongento d ord MN interept diretriz no ponto. Deterine o períetro do triângulo MQ e função de p, sendo que N enontr-se no interior do segento M. GGE ESPONDE IME 0 MATEMÁTICA ACOMNHE A ESOLUÇÃO DAS QUESTÕES NO SITE: COBETUAMAXIMA.COM.B

3 Sustituindo linh L por L + L + L 4 Oteos s s s s 0 E que s = Se S = 0, então f() = 0, dí teos riz = E PN sen0 N E PN P + P P N N E QN sen0 N sen0 P P P Períetro N P P P P P( ) tg0 07. Sej r e s Z (inteiro). Prove que (r + s) é últiplo de 7 se e soente se (9r + 5s) é últiplo de 7. r + s 0 (od 7) (4 + ) r + (7 + ) s 0 (od 7) r + 0s 0 (od 7) 4 (9r + 5s) 0 (od 7) oo 4 e 7 são oprios, teos 9r + 5s 0 (od 7) 08. Clule s rízes de f() e função de, e, sendo,, e Î I (rel) e f(). Se S 0 podeos dividir ª linh por S e ssi oteos 0 Aio orde por hió oteos: 0 Sustituindo linh L por L + L oteos: 0 S 0 S E que S = + Oteos ssi riz = +. Anlogente oteos = + e 4 = Considere u ret r que pss pelo ponto P(,). A ret r interept urv = 0 nos pontos A e B. Deterine: ) o lugr geoétrio definido pel urv; ) (s) possível(is) equção(ões) d ret r, sendo que PB 7. ) = 0 Olhndo equção oo do º gru e teos: 8 = ( ) = = ( = - ( - ) ou + ) O lugr geoétrio definido pel urv é união ds rets perpendiulres e f() (A linh i será hd L i) GGE ESPONDE IME 0 MATEMÁTICA ACOMNHE A ESOLUÇÃO DAS QUESTÕES NO SITE: COBETUAMAXIMA.COM.B

4 ( ) = ( ) ( ) = - e - Logo, teos: P(, ) (Ddo do prole) A, B, ) Fzendo teos: e = e = no pr de rets do ite (), A equção d ret r é = ( ) e que é o oefiiente ngulr. Deterinndo os ponto A e B, teos: ( ) = ( ) ( ) = e Cálulo de : ( ) Coo, teos De odo nálogo: PB Coo PB, teos: Coo PB 7, teos: ( ) 7 ( )( ) ( 9 4 ) ( ( ) ( ) 7 + = + = = ou + = - + = 0 + = 0 = 0 ou = - Logo s rets são: = ( ) = + = 0( ) = = - ( ) = Os nove eleentos de u triz M qudrd de orde são preenhidos letoriente o os núeros ou, o es proilidde de oorrêni. Deterine: ) o ior vlor possível pr o deterinnte de M; ) proilidde de que o deterinnte de M tenh este vlor áio. Note que P P P N N N Coo teos u quntidde pr de ftores so é pr. Coo P P P = N N N Não pode oorre P = P = P = e N = N = N = - Assi 4. O so é ipossível O deterinnte áio é MAX 4 MAX 4 Anlogente é ipossível. De fto se dois P i são + e dois N i + teos u surdo. Se P = P = P = E se dois N i >0 -, surdo. Assi, 4,0,4 P 4 P 4 Vos lulr P 0. O núero de possiiliddes de = 0 será dividid e sos. (i) te dus linhs repetids; (ii) te dus linhs siétris. Co efeito, se M não possui linh repetid e ne linhs siétris, então 0 pois, neste so s linhs de M deve ser esolhids entre,, ;,, ;,, ;,, GGE ESPONDE IME 0 MATEMÁTICA 4 ACOMNHE A ESOLUÇÃO DAS QUESTÕES NO SITE: COBETUAMAXIMA.COM.B

5 (i) Eiste 7 trizes o linhs repetids. Se s três linhs são repetids teos 8 possiiliddes. Se são dus iguis: Teos 8 possiiliddes pr linh que se repete e 7 pr linh distint; perutndo teos 8 7. (ii) Eiste 44 trizes o linhs siétris e se linhs repetids. Esolhendo linh pr qul oorrerá sietri teos 8 possiiliddes. A linh que rest deverá ser esolhid entre s restntes. Perutdo 8 Assi P Coo P 4 P 4 GGE ESPONDE IME 0 MATEMÁTICA 5 ACOMNHE A ESOLUÇÃO DAS QUESTÕES NO SITE: COBETUAMAXIMA.COM.B