1.1) Dividindo segmentos em partes iguais com mediatrizes sucessivas.

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1 COLÉGIO PEDRO II U. E. ENGENHO NOVO II Divisão Gráfi de segmentos e Determinção gráfi de epressões lgéris (qurt e tereir proporionl e médi geométri). Prof. Sory Izr Coord. Prof. Jorge Mrelo TURM: luno: Nº: 1) DIVISÃO GRÁFIC DE SEGMENTOS: 1.1) Dividindo segmentos em prtes iguis om meditrizes suessivs. Podemos dividir segmentos em prtes iguis, utilizndo meditrizes suessivs, pens qundo o ftor d divisão for resultdo de um potêni de dois ( ), ou sej,, 8,16,, 6, 18. Isso ontee pois d segmento dividido por um meditriz será novmente dividido o meio. Eemplo 1: Constru o qudrdo BCD, sendo que seu perímetro P é ongruente o segmento, ddo. Determine grfimente o ldo do qudrdo BCD. - No segmento (perímetro do qudrdo) estão somdos (oliner e onseutivmente) os ldos B, BC, CD e D. - O qudrdo possui ldos ongruentes, logo st dividir grfimente o segmento em qutro prtes iguis. B - Podemos utilizr meditrizes suessivs pr dividir o segmento, pois ftor d divisão () é potêni de. / MD M1C M - O interessnte dest onstrução é utilizção ds própris meditrizes que dividirm o segmento, pr onstruir o qudrdo, devido o ângulo que meditriz form om o segmento que divide (90º), igul os ângulos internos do qudrdo. OBS: Pr ftores diferentes (,, 6,7,10,1,1, et), utilizmos outro proesso gráfio de divisão resplddo no Teorem de Tles.

2 1.) Dividindo segmentos utilizndo o Teorem de Tles. Segundo o Teorem de Tles: Um feie de rets prlels determin sore dus rets, trnsversis quisquer, segmentos orrespondentes proporionis. 1..1) Divisão em prtes iguis: C D E F G H I J K B t1 - O prlelismo entre o feie de rets determin ns trnsversis vários triângulos semelhntes (so ângulo-ângulo), ujos ldos são proporionis. - N figur o ldo, podemos oservr que: B é proporionl 10; C é proporionl 1; CG é proporionl 1; GB é proporionl 10; CD é proporionl 1; DE é proporionl. - Utilizndo o Teorem de Tles, podemos dividir grfimente segmento em prtes iguis (proesso genério),proporionis, determinr grfimente frções de segmentos, rzões entre segmentos e determinr qurt e tereir proporionl entre segmentos (epressões lgéris). t B C CD DE EF FG GH HI IJ JK KB Este proesso serve pr dividir um segmento em um número qulquer de prtes iguis (,,,,6, 7...). Por isso é denomindo proesso genério. B t1 ) N divisão de segmentos em prte iguis, onsidermos o segmento que ser quer dividir (B) ontido n trnsversl t1. ) segund trnsversl t deve omeçr em um ds etremiddes do segmento (), formndo um ângulo qulquer (não muito gudo - fehdo) om o segmento (B). t

3 ) Esolh um medid qulquer (ritrári) no ompsso e trnsporte- pr segund trnsversl t, prtir d etremidde iniil (), o mesmo número de vezes em que se quer dividir segmento ddo (ino vezes, por eemplo). É importnte que os segmentos trnsportdos sejm ongruentes, olineres e onseutivos. B t1 1 t d) Ligue ultim mrção de t segund etremidde do segmento que se quer dividir (B). Segmento que dá direção ds prlels. B t1 1 t e) Com o pr de esqudros, tre prlels o segmento trçdo no item d (B), pssndo pelos pontos,, e 1. Se o trçdo estiver orreto, o segmento B estrá dividido e ino prtes iguis, pois em t form mrdos ino segmentos olineres, onseutivos e ongruentes. Os segmentos determindos em B são proporionis os mrdos em t (11), logo CCDDEEFFB. C D E F B t1 1 t

4 Eemplo : Determine grfimente o ldo do triângulo equilátero BC e onstru-o, sendo que seu perímetro é ddo pelo segmento. /,8 m B,8 m C,8 m 1, m 1 1..) Divisão de segmento em frções: Utilizndo o mesmo proesso podemos dividir segmentos em frções (1/, /, /7,/9, et). Eemplo : Determine gr fimente os ldos do retângulo BCD e onstru-o, sendo que o ldo B o segmento y, ddo, e que o ldo BC é igul / de y. y

5 D C E B y B E/ BC 1 1..) Divisão de segmento em prtes proporionis: R elemrndo o oneito de RZÃO E PROPORÇÃO Rzão entre dois números indi qunts vezes um número está ontido no outro. Eemplo: k - k é o ftor de repetição entre os dois números (onstnte) Utilizmos rzão e proporção em váris irunstânis de noss vid. N ulinári é utilizd de form práti ns reeits, onforme eemplo io. UM RECEIT DE PNQUEC 1 tlete de mrgrin derretid opos de frinh de trigo opos de leite ovos TRÊS RECEITS DE PNQUEC tletes de mrgrin derretid 6 opos de frinh de trigo 6 opos de leite 9 ovos

6 Se preisrmos fzer mis pnques umentmos quntidde dos ingredientes n mesm proporção. Ns reeits nteriores umentmos vezes. Vmos omprr s quntiddes dos ingredientes d reeit. M rgrin: k frinh e leite: k ovos: k Oservndo s rzões, pereemos que o ftor k (onstnte de proporionlidde) é o mesmo. ssim podemos igulr s rzões que possuem mesm onstnte k. iguldde entre rzões é denomind proporção. Proporção é iguldde entre rzões. Revendo o Teorem de Tles u u u u u B C m D E v v v v F v n r 1 r r r r 6 r 7 B BC DE EF B BC DE EF u u v v Signifi que rzão B é igul à DE. BC EF Como há iguldde entre s rzões, els formm um proporção. N figur im, oservmos que os segmentos B e DE, emor de tmnhos diferentes (Bu e DEv), são determindos pels mesms prlels r 1 e r. O mesmo ontee om os segmentos BC e EF (BCu e EFv). B e BC estão ontidos n ret m trnsversl o feie de prlels r (r 1 r 7 ), ssim omo DE e EF estão ontidos n ret n tmém trnsversl o mesmo feie de prlels. o omprmos s medids de B e BC esteleendo um rzão 1, onsttmos que B está pr u (u unidde de medid determind pels prlels em m) ssim omo BC está pr u. Como s uniddes de medids são iguis, podemos dizer que B está pr BC ssim om está pr. De form nálog, o omprrmos s medids de DE e EF, onsttmos que DE está pr v (v unidde de medid determind pels prlels em n) ssim omo EF está pr v, logo rzão de proporionlidde entre DE e EF é de / (lê se dois pr três). iguldde entre dus rzões form um proporção, onforme destdo o ldo d figur nlisd. 1 Rzão entre segmentos é omprção entre seus tmnhos em um mesm unidde de medid.

7 ssim, utilizndo o Teorem de Tles tmém podemos dividir segmentos em prtes proporionis. Eemplo : Determine grfimente os ldos do tringulo BC e onstru-o, sendo que: - o perímetro P é ddo; P,6 m B,8 m 6,0 m P C B~ BC~ C~ + + Os: Todo triângulo om ldos iguis ou proporionis, e é um triângulo retângulo (Triângulo Pitgório).

8 1..) Divisão de segmento por um rzão onheid: Resplddo no Teorem de Tles podemos dividir um segmento ddo em dois segmentos proporionis os termos de um rzão onheid. Eemplo : Determine o ponto X no segmento B, ddo, segundo rzão + X B 7 B ( pr 7). Pr determinr o ponto X, dividimos B em prtes proporionis e 7. ssim o ponto X determin em B dois segmentos: X proporionl e XB proporionl 7, tl que: X 7 XB. Eemplo 6: 7 Determine o ponto Y no segmento RS, ddo, de mneir que proporção RY sej mntid. YS Constru um retângulo om os ldos ongruentes os segmentos determindos em RS. R Y S +

9 ) DETERMINÇÃO GRÁFIC DE EXPRESSÕES LGÉBRICS: Podemos determinr grfimente lgums epressões lgéris omo qurt proporionl, terei r proporionl, médi geométri entre outrs. qurt e tereir proporionl são plições gráfis do teorem de Tles. médi geométri é plição do Teorem de Pitágors. Ms ms se estruturm no oneito de triãngulo semelhntes..1) Qurt Proporionl (ªpp) Qurt proporionl é o qurto termo distinto de um proporção, onde três deles são onheidos. 1º termo: etremo º termo: meio º termo: meio º termo: etremo inógnit é proporionl em relção os três elementos ddos. propried de fundmentl ds proporções diz que o produto dos meios é igul o produto dos etremos. ritmetimente, no eemplo io, o vlor de dá iguldde entre os termos d proporção lgerimente, temos: ou..., e são onheidos; é desonheido. Epressão lgéri d ª pp. Podemos determinr grfimente medid de, utilizndo os oneitos do Teorem de Tles. Eemplo 7: Ddos os segmentos, e, determinr grfimente qurt proporionl (ªpp), ness ordem. Resolução lgéri: Resolução gráfi: OU Oserve que o tror posição entre o segundo e o tereiro termos n proporção o segmento não se lter, pois ordem dos ftores não lter o produto n multiplição dos meios Figur I Figur II

10 Eeução: 0 1 t1 1) Trçr dus semirrets onorrentes em 0 ( t1 e t). ) Trnsportr pr semirret t1, prtir do ponto 0, o primeiro segmento d proporção (no so, ), determinndo o ponto 1. ) Trnsportr pr semirret t1, prtir do ponto 1, o segundo segmento d proporção (no so, ), determinndo o ponto (método ditivo: +). t ) Trnsportr pr semirret t, prtir do ponto 0, o tereiro segmento d proporção (no so, ), determinndo o ponto. ) Ligr o ponto 1 o ponto pr definir direção d ret prlel que determinrá medid de. 0 1 t1 6) Trçr ret prlel o segmento 1, no ponto, determinndo n semirret t o ponto. 7) O segmento, ontido em t, é ª pp entre os segmentos, e, ness ordem. X. t Os: Se o primeiro termo (etremo) mudr, epressão lgéri mud e o vlor de (qurt proporionl) é modifindo. ordem entre os elementos d proporção é etremmente importnte. Cso proporção não for dd, questão dmite três soluções: 1 solução l géri solução lgéri y solução lgéri z y z TENÇÃO: Se o prolem não indir proporção, onsidere ordem em que os segmentos preem no enunido. Oserve determinção gráfi ds medids de y e z ds epressões lgéris reltivs segund e tereir soluções: y. y z. z

11 .) Tereir Proporionl (ªpp) Tereir proporionl é o tereiro termo distinto de um proporção ontínu (proporção que possui o º e º termos, os meios, ongruentes), onde dois deles são onheidos. 1º termo: etremo º termo: meio º termo: meio º termo: etremo inógnit é proporionl em relção os dois elementos ddos. ritmetimente, no eemplo io, o vlor de dá iguldde entre os termos d proporção , lgerimente temos: ou.. e são onheidos; é desonheido. Epressão lgéri d ª pp. ssim omo n qurt proporionl, utilizmos o Teorem de Tles pr determinr grfimente medid de. Eemplo 8: Ddos os segmentos e, determinr grfimente tereir proporionl (ªpp), ness ordem. Resolução lgéri: OU y Cso d ordem dos termos d proporção não for dd, questão dmite dus soluções, onforme o eemplo o ldo. Resolução Gráfi: y y

12 .) Médi geométri ou médi proporionl É riz qudrd do produto de dus grndezs. Dito de outro modo: é o vlor enontrdo pr os meios, que no so se repetem ou.. e são onheidos; se repete e é desonheido. médi geométri entre dus grndezs (ou dois segmentos ddos) é riz qudrd do seu produto. resolução gráfi de prolems que envolvem médi geométri tem por se o triângulo retângulo. Há dus possiiliddes: por dição ou por sutrção. Por dição: ltur reltiv à hipotenus é médi geométri entre s projeções dos tetos.. ou. M entro d semiirunferêni (ro pz de 90º) M to OBS: O fundmento do proesso ditivo d Médi Geométri sei-se num ds relções métris do triângulo retângulo: ltur (h) de um triângulo retângulo é médi proporionl entre s projeções (m e n) dos tetos n hipotenus. Cteto m h h n m h n h m.n Cteto Hipotenus h m.n Por sutrção: Cd teto é médi geométri entre hipotenus e su projeção sore el.. ou. M M entro d semiirunferêni

13 Eemplo 9: Ddos os segmentos e, onstru o qudrdo RSTU ujo ldo é médi geométri entre os segmentos ddos. S T ldo RS, m 0 1 M R U Eemplo 10: Ddos os segmentos perpendiulres m e, onstru o triângulo retângulo BC, sendo que m é projeção do teto B sore hipotenus BC e que é ltur reltiv à hipotenus. m n C m B Resolução.

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