TRIGONOMETRIA. A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo.

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1 TRIGONOMETRIA A trigonometri é um prte importnte d Mtemátic. Começremos lembrndo s relções trigonométrics num triângulo retângulo. Num triângulo ABC, retângulo em A, indicremos por Bˆ e por Ĉ s medids dos ângulos internos, respectivmente nos vértices B e C. TEOREMA DE PITÁGORAS: Em todo triângulo retângulo, som dos qudrdos ds medids dos ctetos é igul o qudrdo d medid d hipotenus. b c Definições:. Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo gudo é rzão entre medid do cteto oposto esse ângulo e medid d hipotenus. senbˆ cteto oposto o ângulo Bˆ hipotenus b cteto oposto o ângulo Ĉ sen Ĉ hipotenus c. Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo gudo é rzão entre medid do cteto djcente esse ângulo e medid d hipotenus. cosbˆ cteto djcente o ângulo Bˆ hipotenus c cteto djcente o ângulo Ĉ cos Ĉ hipotenus b

2 . Em todo triângulo retângulo, tngente de um ângulo gudo é rzão entre medid dos tgbˆ ctetos oposto e djcente esse ângulo. cteto oposto o ângulo Bˆ cteto djcente o ângulo Bˆ b c cteto oposto o ângulo Ĉ tg Ĉ cteto djcente o ângulo Ĉ c b Observção: Note que tg Bˆ b b sen Bˆ. c c cos Bˆ sen x Em gerl, utilizremos tg x, pr o ângulo x. cos x VALORES NOTÁVEIS ) Considere o triângulo eqüilátero de medid de ldo. sen(0 ) cos( 0 ) tg(0 ) sen(60 ) cos( 60 ) tg(60 )

3 ) Considere o qudrdo de medid de ldo. sen(5 ) cos( 5 ) tg(5 ) Resumindo: Seno Cosseno Tngente 0 o 5 o 60 o ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA Ddos dois pontos distintos A e B sobre um circunferênci, est fic dividid em dus prtes, denominds rcos, que indicremos por ou. As uniddes usuis pr rcos de circunferênci são: gru e rdino.

4 MEDIDA DE ARCOS Considere um circunferênci orientd, de centro O e rio unitário. Definimos: GRAU: é o rco unitário correspondente 60 medido. d circunferênci que contém o rco ser RADIANO: é um rco unitário cujo comprimento é igul o rio d circunferênci que contém o o rco ser medido. ( rdino 57 ) As medids de rcos de circunferêncis em grus e em rdinos são diretmente proporcionis, possibilitndo obtenção d equção de conversão de uniddes, trvés de um regr de três simples, em que é medid em grus e em rdinos. medid em grus medid em rdinos CICLO TRIGONOMÉTRICO Considere um circunferênci orientd, de centro O e rio unitário. Imgine um ponto A se deslocndo sobre circunferênci. Existe um diferenç muito importnte pr se grdur um ret e um circunferênci: enqunto que n ret cd ponto corresponde um único número rel, n circunferênci cd ponto corresponde um infinidde de números reis e todos diferem de múltiplos inteiros de.

5 A figur seguir ilustr grdução, em rdinos, de um circunferênci de rio. Ao mrcrmos o ponto P n circunferênci de rio, temos um triângulo retângulo correspondente, de onde clculmos: xp p cos xp ; sen y p y ; x y obtendo-se cos sen p p A figur cim mostr que no eixo x temos o vlor do cosseno e no eixo y, temos o seno, definindo o chmdo ciclo trigonométrico.

6 Pr os pontos A, B, C e D podemos obter os seguintes vlores: sen0 = y A = 0 cos0 =x A = sen = y B = cos =x B = 0 sen = y C = 0 cos =x C = - sen = y D = cos =x D = 0 sen = y A = 0 cos =x A = FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Estudremos s funções seno, cosseno, tngente, cotngente, secnte e cossecnte, nos ciclos trigonométricos. Veremos periodicidde e os gráficos ds funções seno cosseno e tngente. O que é periodicidde? Pr que fique bem clro o que este termo quer dizer, vmos exemplificr com os dis d semn, de 7 em 7 dis eles se repetem, chmmos este fto de periódico, e o período é 7. Ests três funções que serão presentds são dits funções periódics. Definição: Um função f é periódic se existir um número rel p > 0 tl que f(x+p) = f(x), x Dom f. Neste cso, o menor vlor de p que stisfz tl condição é chmdo período de f.

7 Observção: o gráfico de um função periódic é crcterizdo por ter seu desenho se repetindo. Assim, pr desenhrmos curv tod, bst desenhrmos prte correspondente um período e copir à direit e à esquerd infinits cópis d prte desenhd. Vmos nlisr periodicidde dests três funções trigonométrics: ) Seno sen(x) = sen(x + ) = sen(x + ) =... = sen(x + k ), k Z. Seno é função periódic de período ) Cosseno cos(x) = cos(x + ) = cos(x + ) =... = cos(x + k ), k Z. Cosseno é função periódic de período ) Tngente tg(x) = tg(x + ) = tg(x+ ) =... = tg(x + k ), k Z. Tngente é função periódic de período Generlizndo: y = sen(kx) e y = cos(kx) Generlizndo: y = tg(kx) p = k p = k Exemplos: ) Determine o período de cd função: ). y = sen(x) p = b) y = sen(x) p = c). y = sen(x/) p = / d) y = cos(x) p = 0 e) y = cos(x/5) p = / 5 ) Determine o período de cd função: ). y = tg(x) p = b). y = tg(x) p = ). y = tg(x/) p = /

8 GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO y = sen x Proprieddes ) Dom = b) Img = [-, ] c) Período = d) sen (-x) = - sen (x) GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO y = cos x Proprieddes ) Dom = b) Img = [-, ] c) Período = d) cos (-x) = cos (x) GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE y = tg x Proprieddes ) Dom = { x / x k} b) Img = c) Período = d) tg (-x) = -tg (x) RELAÇÕES FUNDAMENTAIS tg x = senx, pr cos x x k com k Z sen x + cos x =, pr x R cos x cotg x =, pr x k com k Z sec x = + tg x, pr x k com k Z senx sec x = cos x cossec x = senx, pr x k com k Z, pr x k com k Z cossec x = + cotg x, pr x k com k Z

9 FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Sendo e b dois números reis. sen( + b) = sen.cosb + cos.senb sen( b) = sen.cosb cos.senb cos( + b) = cos.cosb - sen.senb cos( b) = cos.cosb + sen.senb tg( + b) = tg tgb tg.tgb tg( - b) = tg tgb tg.tgb Exemplos ) Clcule ) cos(5 ) : cos(5 ) cos(5 0 ) cos(5 ) cos(0 ) sen(5 ) sen(0 ) 6 b) sen(5 ) : sen(5 ) sen(5 0 ) sen(5 ) cos(0 ) sen(5 ) cos(0 ) 6 b) tg(5 ) : tg(5 ) tg(0 ) tg(5 ) tg(5 0 ) tg(5 ) tg(0 )

10 FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO: ARCO DUPLO () A prtir ds fórmuls de dição e subtrção, podemos obter s seguintes fórmuls de multiplicção: cos() = cos(+) = cos cos sen sen = cos sen = =cos (- cos ) = cos - sen() = sen(+) = sen cos + sen cos b = sen cos tg() = tg (+) = tg tg tg.tg tg tg Ou sej, cos = cos sen cos = cos sen = sen. cos tg = tg tg. cos = sen Exemplos ) Sbendo que tg(x) = tg(x), clcule tg(x). tg x tg x ) Resolv equção cos( x) sen(x). cos(x) sen(x) cos (x) sen (x) sen(x) sen (x) sen (x) sen(x) sen (x) sen(x) 0 Resolvendo equção de º gru em sen(x), temos: ( ) 9 6 5

11 sen(x) 5 5 x k ou 6 ou 5 não existe x 5 x k 6 Conjunto solução: S x R x k 6 ou 5 x k,k Z 6 FÓRMULAS DE BISSECÇÃO As fórmuls de bissecção podem ser obtids do seguinte modo: cos(b) cos(b) sen b sen b cos(b) sen b e, se considerrmos b=, obtemos sen cos. Seguindo ess idéi, temos sen cos cos tg cos cos cos RELAÇÕES DE PROSTAFÉRESE p q b p Fzendo, ou sej, e substituindo ns fórmuls de dição e subtrção, b q p q b obtemos s relções de prostférese dds por sen p + sen q = p q p q sen cos sen p - sen q = p q p q sen cos

12 p q p q cos p + cos q = cos cos cos p - cos q = tg p + tg q = p q p q sen sen sen(p q) cos(p).cos(q) tg p - tg q = sen(p q) cos(p).cos(q) FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Nosso problem gor é procurr, se existirem, vlores de y pr os quis sen y = x, lembrndo que x. Ddo x, o vlor de y correspondente tl que sen y = x determin um função. Ms, pr que o vlor de x determindo sej único, teremos que usr restrição y. Pr solucionrmos est questão, temos que estudr s funções trigonométrics inverss. ) Função rco-seno (rcsen) A cd x [,] ssoci-se um único y, tis que sen y = x. Assim, definimos função rcsen : [,], x y rcsen(x)

13 Exemplos ) Clcule ) y = rcsen(/) y = rcsen(/) sen y = /. Lembrndo que y,, temos y = /6, ou sej, rcsen. 6 b) y = rcsen(0) y = rcsen(0) sen y = 0. Lembrndo que y,, temos y = 0, ou sej, rcsen0 0. c) y = rcsen(-/) y = rcsen(-/) sen y = -/. Lembrndo que y,, temos y = /6, ou sej, rcsen. 6 d) y = rcsen() y = rcsen() sen y =. Lembrndo que y,, temos y = /, ou sej, rcsen.

14 ) Função rco-cosseno (rccos) A cd x [,] ssoci-se um único y 0, tis que cos y = x. Assim, definimos função rccos : [,] 0, x y rccos(x) Exemplos ) Clcule ) y = rccos(/) y = rccos(/) cos y = /. Lembrndo que y 0,, temos y = /, ou sej, rccos. b) y = rccos(0) y = rccos(0) cos y = 0. Lembrndo que y 0,, temos y = /, ou sej, rccos0. c) y = rccos(-/) y = rccos(-/) cos y = -/. Lembrndo que y 0, temos y = /, ou sej, rccos. d) y = rccos() y = rccos() cos y =. Lembrndo que y 0, temos y =, ou sej, rccos.

15 ) Função rco-tngente (rctg) A cd x [,] ssoci-se um único y, tis que tg y = x. Assim, definimos função rcsen : [,], x y rctg(x) Exemplos ) Clcule ) y = rctg() y = rctg() tg y =. Lembrndo que y,, temos y = /, ou sej, rctg. b) y = rcsen( ) y = rctg( ) tg y =. Lembrndo que y,, temos y = /, ou sej, rctg. c) y = rctg(-) y = rctg(-) tg y = -. Lembrndo que y,, temos y = /, ou sej, rctg.

16 EXERCÍCIOS SOBRE TRIGONOMETRIA ) Em cd um dos csos, clcule o seno, o cosseno, tngente do ângulo gudo ssinldo: ) Um brco deveri sir do porto d cidde A e ir té o porto d cidde B em um linh ret, (no sentido norte-sul). Entretnto, um correntez fez com que o brco sofresse um desvio de n direção leste. Ultrpssndo o trecho de correntez o cpitão necessitou efetur um correção no rumo no brco de 5º pr esquerd, de tl form que o reencontrr rot originl é possível trçr um triângulo retângulo. (norte) A Se o brco percorreu 5 milhs n direção leste, qunto ele teve que ndr pr retornr á rot originl? 5 milhs (leste) (sul) B ) A lu é stélite nturl d Terr e fz um revolução em torno do sol em proximdmente 8 dis. ) De quntos rdinos é o movimento d lu em um di? b) Qul distânci percorrid pel lu em um revolução complet? (dote distânci d terr à lu de km). ) Reduz os rcos à primeir volt, represente-os grficmente e clcule o vlor de seu seno, cosseno e tngente. )70º b) 00º c) 5 d) 5 5) Determine o vlor de () sen 60º (b) sen (-990º) 6) Sendo sen = / e cos b = -/, sbendo que e b são rcos do º qudrnte, clcule: ) sen (+b) b) cos(-b) c) tg (+b)

17 7) Resolv expressão mtemátic ) x = sen (/6)- cos (/)-*sen() b) y = tg(/)+*sen(5/6) [sen (/)-cos(/6)] 8) (MACK) O vlor se sen 55º.cos5º+sen5º.cos55º é: ) b) -0,5 c) zero d)0,5 e),0 9) Simplifique s expressões: ) sen(9 x) sen (5 x) b) sen (x-900º) + cos (x-50º) 0) Constru o gráfico (dois períodos completos) ds seguintes funções, explicitndo o domínio, imgem e o período: ) y = sen x b) y= - sen x c) y = sen x/ ) Clcule : ) sen (9/) e cos (9/) b) sen (-/) e sen (-/) c) sen 8 e cos8. Encontre os vlores do ângulo no intervlo [0, ) que stisfç s equções: ) sen =; cos =-; tg =; sec =; b) sen =0; cos =0; tg =0; sec =0; c) sen = -/; cos = /; tg = -; sec =.. Determine o período ds funções: ) y = sen (8) b) z= sen (8) c) x = cos (/7) d) p= cos(/+/). Simplifique expressão sen( ) sen( ) sen cos. 5. Sbendo-se que sen = -/, clcule: ) sen ( - ) b) sen ( + ) c) cos (/ - ) 6. Usndo s fórmuls de dição, clcule: ) sen (+/) b) cos75º c) cos (5/6), (sugestão 5/6 = /+/) 7. Mostre que sen sencos. 8. Mostre que cos cos.

18 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO - TRIGONOMETRIA ) ) 5 5 sen, cos, tg b) 5 5 sen, 5 cos 5, tg ) 5 ) ) / rd b) km ) ) 70º equivle 0º portndo sen 0º = ½; cos 0º = / e tg 0º = / b) 90 º equivle 60º portndo sen 60º = /, cos 60º =/ e tg 60º = c) 5/ equivle / portndo sen / = /, cos / = / e tg / = d) -5/ equivle / portndo sen / = -, cos / = 0 e tg / = indefinid 5) ) zero b) 6) ) b) / c)indefinido 7) ) - b) 8) e 9) ) sen x b) -sen x - cos x 0) ) Dom =, Im = [-, ], p= b) ) Dom =, Im = [0, ], p= c) Dom =, Im = [-, ], p=8 ) ) / e / b) - / e -/ c) 0 e ) ) /,, / e 5/, 0 b) 0 e, / e /, 0 e, / e / c) 7/6 e /6, / e 5/, / e 7/, / e 5/ ) ) / b) / c) 7/ d) 8 ) sen 5) ) / b) / c) -/ 6) ) - / b) / 6 c) - /