CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral
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- William Arruda Vieira
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1 CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho Aul n o 26: Teorem do Vlor Médio pr Integris. Teorem Fundmentl do Cálculo II. Funções dds por um integrl. Objetivos d Aul Apresentr s funções dds por um integrl; Apresentr o Teorem do Vlor Médio pr Integris; Apresentr o Teorem Fundmentl do Cálculo II; Denir Integrl Indenid. Funções denids por um integrl Considere integrl N ul nterior prendemos que, sob certs condições sobre f, podemos clculr o vlor d integrl e que o mesmo é um número. Contudo, se substituirmos o limite superior b por um vriável x, x [, b], podemos entender integrl como sendo um função, dd por F (x = que ssoci cd vlor de x o número F (x. Dess form, obtemos um função que é dd por um integrl. Vejmos um exemplo. Exemplo. Considere função e determine F (, F, F. 6 4 F (x = cos(t dt Substituindo x por cd um dos vlores menciondos cim n integrl, obtemos que F ( = F 6 F 4 = = cos(t dt = π 6 cos(t dt = sen π 4 cos(t dt = sen 6 sen ( = 2 2 sen ( = 4 2 Poderímos entender tmbém o vlor de F como sendo o vlor d áre compreendid entre o eixo t e o gráco d função f(t = cos(t entre s rets t = e t = x, como mostrdo bixo:
![Se f for contínu em [, b], então função g é denid por g(x = x b é contínu em [, b] e derivável em (, b e g (x = f(x. Observção 2.](/docs-images/84/89030612/images/2-2.jpg "O Teorem Fundmentl do Cálculo II nos diz bsicmente que s funções dds por integrl d form g(x = são primitivs de f. Exemplo 2. Encontre derivd d função g(x = + t 2 dt.")
2 Cálculo I Aul n o 26 Um form de denirmos função logrítmic f(x = ln(x é pel função dd por integrl ln x = t dt e entendendo que os vlores dess função é o vlor d áre bixo de g(t = t que entre t = e t = x, obtemos Observção. No ensino médio, denimos função logrítmic pós denirmos função exponencil, como sendo invers dest últim. Contudo, pode ocsionr um dúvid em como denir o vlor de números como e π, por isso, lguns utores preferem bordgem contrári, isto é, denir função logrítmic utilizndo integrl e pós isso, denir função exponencil como sendo invers d primeir. 2 Teorem Fundmentl do Cálculo II Teorem (Teorem Fundmentl do Cálculo II. Se f for contínu em [, b], então função g é denid por g(x = x b é contínu em [, b] e derivável em (, b e g (x = f(x. Observção 2. O Teorem Fundmentl do Cálculo II nos diz bsicmente que s funções dds por integrl d form g(x = são primitivs de f. Exemplo 2. Encontre derivd d função g(x = + t 2 dt. Um vez que f(t = + t 2 é contínu, prte do Teorem Fundmentl do Cálculo fornece g (x = + x 2. Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho 2
3 Cálculo I Aul n o 26 Exemplo 3. Encontre Exemplo 4. Se Sej u = x 4, temos d 4 sec(t dt. dx onde f é um função contínu, clcule f(4. d x 4 sec(t dt = d u sec(t dt dx dx = d [ u ] du sec(t dt du dx = sec(u du dx = 4x 3 sec(x 4. xsen (πx = 2, Derivndo mbos os membros, temos: d d [xsen (πx] = dx dx sen (πx + πx cos(πx = 2xf(x 2 [ ] x 2 Pr x = 2, temos: sen (πx + πx cos(πx = 2xf(x 2 sen (2π + 2π cos(2π = 4f(4 f(4 = π 2. Em uls nteriores, vimos que, se um função f possui dus primitivs F e G, denids sobre um mesmo intervlo, então els são iguis menos de um constnte, isto é, F (x = G(x + C, então pelo Teorem Fundmentl do Cálculo II, se tomrmos dois pontos quisquer x e x em um intervlo [, b] contido no domínio de f, s funções F (x = x e G(x = x que são primitivs de f (denids no intervlo [, b], são iguis menos de um constnte (nesse cso, você seri cpz de dizer qunto vle constnte C, tl que F (x = G(x + C?. Desse modo, representmos s primitivs utilizndo notção de integrl sem os limites de integrção e substituindo vriável mud t por x, d seguinte form: f(x dx = F (x + C Ess integrl" (que, de fto, não é um integrl, ms sim um notção pr designr fmíli de primitivs d função f é chmd de integrl indenid. Exemplo 5. Determine primitiv d função f(x = Note que sen (x sen (x cos 2 (x dx = cos(x cos(x dx = sen (x cos 2 (x. tg (x sec(x dx = sec(x + C Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho 3
4 Cálculo I Aul n o 26 Exemplo 6. Se deixrmos cir um pedr, podemos dmitir que resistênci do r é desprezível. Experimentos mostrm que, segundo ess suposição, celerção desse movimento é constnte e igul chmd celerção d velocidde g = 9, 8m/s 2. Determine função posição x = x(t em relção o tempo d pedr. Como celerção é constnte e igul g, temos que (t = g Já sbemos que velocidde é um primitiv d celerção, então v(t = (t dt = g dt = gt + C Como pedr foi solt, então v( =. Logo, v( = g. + C = C = Desse modo, v(t = gt Tmbém sbemos que função posição é um primitiv d função velocidde, logo, x(t = v(t dt = gt dt = gt2 2 + C 2 Considerndo posição x = como sendo quel de onde pedr ci, temos que x( =, e desse modo, temos que x( = g C 2 = C 2 = Portnto, x(t = gt2 2 3 Teorem do Vlor Médio pr Integris Denição (Vlor Médio de um Função. O vlor médio de um função f no intervlo [, b] é denido por: f med = f(x dx. b Exemplo 7. Encontre o vlor médio d função f(x = + x 2 no intervlo [, 2]. Com = e b = 2, temos: f med = 2 + x 2 ( ( 2 dx = 3 ] 2 [x + x3 = 2. 3 Exemplo 8. O custo unitário C = C(x pr produzir um certo rtigo num período de nos é ddo por C(x = 25.2x +.5x 2 +.3x 3, onde x é o tempo em meses. Determine o custo unitário médio durnte o período. Note que x 2, logo: C med = 2 2 (25.2x +.5x 2 +.3x 3 dx = Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho 4
5 Cálculo I Aul n o 26 Exemplo 9. Um distribuidor estoc 24 cixs de seu principl produto pr s vends de ntl. Em gerl, s vends são bixs no início do mês de dezembro e à medid que se proxim o di 24, s vends umentm de tl modo que pós x dis desde primeiro de dezembro o estoque é ddo por f(x = 24 3x 3, x 2. Determine o número médio de cixs disponível no período de 2 dis. Neste cso, = e b = 2. Temos que: f med = x 3 dx = , 3. Teorem 2 (Teorem do Vlor Médio pr Integris. Se f for contínu em [, b], então existe um número c em [, b] tl que f(c = f med = f(x dx, b ou sej, f(x dx = f(c(b. Exemplo. No Exemplo 7, clculmos o f med =2 pr função f(x = + x 2. Como est função é contínu no intervlo [, 2], o Teorem do Vlor Médio pr integris indic que existe um número c em [, 2] tl que 2 Neste cso prticulr, podemos encontrr c: ( + x 2 dx = f(c[2 ( ]. + c 2 = 2 c = ±. Do teorem do Vlor Médio pr integris, se f é contínu em [, b], então existe c (, b tl que que pode ser escrito n form f(c = b f(c(b = f(x dx f(x dx Geometricmente, podemos entender ess equção como sendo iguldde entre s áres de um retângulo cuj bse é o comprimento do intervlo [, b] e ltur f(c e áre d região bixo do gráco de f, cim do eixo x entre s rets x = e x = b. Observe bixo: Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho 5
6 Cálculo I Aul n o 26 Resumo Fç um resumo dos principis resultdos vistos nest ul, destcndo s denições dds. Aprofundndo o conteúdo Lei mis sobre o conteúdo dest ul ns págins do livro texto. Sugestão de exercícios Resolv os exercícios ds págins do livro texto. Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho 6
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1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x.
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