Introdução ao estudo de equações diferenciais
|
|
- Clara da Costa Ximenes
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 MTDI I /08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 63 Introdução o estudo de equções diferenciis Existe um grnde vriedde de situções ns quis se desej determinr um quntidde vriável prtir de um seu coe ciente de vrição: se se quer clculr posição de um ponto móvel, conhecendo, lém d posição inicil e do tempo decorrido, su velocidde ou celerção; no cso de um colóni de bctéris, conhecer o seu número o m de um certo espço de tempo, sbendo velocidde inicil e velocidde de crescimento; no cso de um substânci rdioctiv que se desintegr, com coe ciente de vrição conhecido, determinr quntidde de substânci remnescente o m de um ddo tempo, conhecid quntidde inicil, etc. Em exemplos como estes procur-se determinr um função desconhecid por meio de um equção que envolve pelo menos um derivd d função determinr. Tl equção tem o nome de equção diferencil. Se função desconhecid é um função rel de vriável rel, s derivds que precem n equção diferencil são derivds usuis e equção é chmd equção diferencil ordinári (se função desconhecid é função de mis de um vriável, s derivds que precem são derivds prciis e equção diferencil é chmd equção com derivds prciis). Os exemplos mis simples de equções diferenciis ordináris são s equções do tipo y 0 = f (x), em que pr obter solução bst primitivr função f. Neste cpítulo serão estuddos somente lguns tipos muito simples de equções diferenciis ordináris. Solução de um equção diferencil Um solução, num intervlo I de R, de um dd equção diferencil é um função, de nid em I ; que trnsforme equção num identidde, isto é, que veri que equção em todos os pontos x 2 I: Chm-se solução gerl de um equção diferencil, num intervlo I, o conjunto de tods s sus soluções em I: Exemplos. y = e 2x é solução, em R, d equção diferencil y 0 2y = 0, pois y 0 = 2e 2x e, substituindo n equção, obtém-se 2e 2x 2e 2x = 0; 8x 2 R: 2. A função de nid por y = p x 2 é solução, no intervlo I = ] ; [ ; d equção diferencil yy 0 + x = 0, pois y 0 x = p e, substituindo n equção, obtém-se x 2 p x x 2 p + x = 0; 8x 2 ] ; [ : x 2 3. Consideremos equção diferencil y 0 = : Como, pr um constnte rel k; x2 0 rbitrári, x + k = x ; 8x 2 Rn f0g ; expressão + k; k 2 R de ne um 2 x fmíli de soluções de y 0 = em Rn f0g. x2
2 MTDI I /08 - Introdução o estudo de equções diferenciis A equção diferencil (y 0 ) 2 + x 2 y 2 + = 0 não tem nenhum solução rel, pois o primeiro membro é positivo pr tods s funções diferenciáveis reis. 5. A equção diferencil (y 0 ) 2 + y 2 tem como únic solução y = 0; 8x 2 R. De nição: Ordem de um equção diferencil é ordem d derivd de mior ordem que gur ness equção. Exemplo: As equções diferenciis dos exemplos nteriores são de ordem; equção y 00 + xy 0 = 0 é de 2 ordem, y 000 x 2 = 0 é de 3 ordem, etc. A solução gerl de um equção diferencil de ordem n contém, em gerl, n constntes rbitráris. Exemplo: A equção diferencil y 00 = 6x tem por solução y = x 3 + C x + C 2 em que C e C 2 são constntes. Qundo tods s soluções de um equção diferencil se podem obter prtir d solução gerl dndo diferentes vlores às constntes, solução gerl diz-se solução complet, sendo cd solução ssim obtid um solução prticulr. Qulquer outr solução que não poss ser obtid deste modo prtir d solução gerl diz-se um solução singulr. As soluções prticulres podem-se obter xndo, à prtid, condições que função solução tem de obedecer e que se designm por condições iniciis. Chm-se problem de Cuchy ou problem de vlores iniciis o problem de resolver um equção diferencil sujeit condições iniciis. Exemplos:. y = sin x + k; k 2 R, é solução gerl d equção diferencil y 0 = cos x e é solução complet, visto que, efectivmente, dus funções cujs derivds são iguis cos x diferem por um constnte. 2. y = Cx + C 2 é solução gerl d equção diferencil (y 0 ) 2 + xy 0 y = 0; ms não é solução complet, pois equção dmite tmbém solução singulr y = (note-se que y = Cx + C 2 represent um fmíli de rects em que ordend n origem é o qudrdo do declive e y = tem por grá co um prábol) O problem de Cuchy y 0 = 3y; y (0) = 5 dmite como solução y = 5e 3x ; pois y 0 = 5e 3x = 3 (5e 3x ) e y (0) = 5e 30 = 5: 4. y = 3 6 x3 2 x 4e + é solução do problem de vlores iniciis 2x 4 x2 y 00 = x e 2x ; y 0 (0) = ; y (0) = 0: x2 4
3 MTDI I /08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 65 A resolução de um equção diferencil ordinári é um problem, de modo gerl, bstnte difícil, hvendo métodos geris de resolução pr poucos tipos de equções. Apresentm-se de seguid s soluções pr lguns tipos simples de equções diferenciis de primeir ordem, de mior plicção em problems concretos que possm estr ligdos às ciêncis nturis. Ao longo de todo este cpítulo considerm-se s soluções ds equções diferenciis de nids em intervlos convenientes. Equção diferencil de primeir ordem pr função exponencil (Est tipo de equções, embor podendo ser inserido no estudo feito à frente, é estuddo à prte pel importânci de que se reveste, ddo incluir s equções que re ectem fenómenos de crescimento, por exemplo, de espécies biológics) A função exponencil y = e x é igul à su derivd e o mesmo sucede à função y = Ce x ; em que C é um constnte rel. Vmos mostrr que são s únics funções com ess propriedde. Teorem Se f (x) é solução d equção y 0 = y; () então f (x) = Ce x ; pr C 2 R: Demonstrção: Por derivção veri c-se que, pr C 2 R, função f (x) = Ce x stisfz (). Suponhmos que g é outr função tl que g 0 (x) = g (x) : Queremos provr que g é d form g (x) = Ce x, pr C 2 R, ou, o que é o mesmo, que g (x) e x = C: De nimos um nov função h (x) = g (x) e x e clculmos su derivd: h 0 (x) = g 0 (x) e x g (x) e x = (g 0 (x) g (x)) e x = 0 Ddo que derivd é 0, função h (x) é constnte, ou sej, existe C 2 R tl que h (x) = C; 8x 2 R; o que prov que g (x) = Ce x : O problem de vlores iniciis ssocido à equção y 0 = y; com condição y (0) = b; sendo b constnte rel, tem solução únic: Corolário Se b 2 R, existe um e um só função f que stisfz simultnemente equção diferencil () e condição inicil y (0) = b: (2) Ess função é de nid por f (x) = be x : (3) Demonstrção: Por derivção e substituição, veri c-se que função f (x) = be x stisfz simultnemente () e (2). Pr ver que é únic função nesss condições suponhmos que
4 MTDI I /08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 66 existe outr função g tl que g 0 (x) = g (x) e g (0) = b: Pelo teorem sbemos que g é d form g (x) = Ce x. Ms g (0) = b ) C = b e g (x) = be x. De form completmente nálog se prov que solução gerl d equção diferencil y 0 = ky sendo k um constnte rel, é d form y 0 = Ce kx ; com C 2 R. Se, lém disso, considerrmos condição inicil y (0) = b; solução tem form y = be kx : Equções diferenciis de vriáveis sepráveis de ordem Denomin-se equção diferencil de vriáveis sepráveis de ordem um equção de ordem d form y 0 = f (x; y) em que f (x; y) se pode escrever como um produto de dus funções contínus, um dependendo só de x e outr em que só prece y: Exemplos: As seguintes equções diferenciis são equções de vriáveis sepráveis:. y 0 = xy 2. y 0 = sin x cos y 3. y 0 = + y2 x 2 Antes de dr o modo de encontrr solução pr este tipo de equções, note-se que, se equção diferencil se pode escrever n form y 0 = A (x) C (y) em que A (x) e C (x) são funções contínus e se C (y) 6= 0; equção pode tomr form em que B (y) = C (y) : B (y) y 0 = A (x) (4) O teorem seguinte dá solução pr este tipo de equções, embor ess solução sej obtid de form implícit, podendo ser posteriormente explicitd pr intervlos convenientes do domínio de y:
5 MTDI I /08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 67 Teorem 2 Sej y um solução d equção (4) tl que y 0 ; A e função compost B y são funções contínus num certo intervlo I e sej F qulquer primitiv de B em y (I) : Então y stisfz tmbém equção F (y) = A (x) dx + k: (5) Reciprocmente, se y stisfz (5), então y é solução de (4). Demonstrção: Se y é solução de (4), veri c-se B (y (x)) y 0 (x) = A (x) ; 8x 2 I: (6) Como F 0 = B; obtém-se F 0 (y (x)) y 0 (x) = A (x) ; 8x 2 I: (7) De cordo com regr de derivção d função compost, o primeiro membro de (7) é derivd d função compost F y e, portnto, F y = F (y) é um primitiv de A (x) ; pelo que F (y) = A (x) dx + k; que é relção (5). Reciprocmente, se y stisfz (5), derivndo mbros os membros d dess iguldde, obtémse (6), o que prov que y é solução d equção diferencil (4). Observções: A fórmul (5) pode tmbém exprimir-se em função de B. De (6) deduz-se que B (y (x)) y 0 (x) dx = A (x) dx (8) Atendendo o estuddo sobre o método de substituição no cálculo integrl, (8) pode-se escrever n form: B (y) dy = A (x) dx: (9) Como o integrl inde nido R B (y) dy é um primitiv de B; (9) é outr form de escrever (5). N prátic, fórmul (9) obtém-se directmente de (4) por um processo "mecânico". N equção diferencil (4) substituímos y 0 por dy (notção de Leibniz) e considerndo como um cociente obtemos relção dx B (y) dy = A (x) dx: (0) Colocndo então os sinis de integrl inde nido em mbos os membros de (0) e somndo um constnte, obtêm-se (9). Note-se que o teorem nterior já deu justi - cção deste processo "mecânico".
6 MTDI I /08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 68 Concluindo, solução de um equção diferencil d form B (y) y 0 = A (x) é clculd, de form implícit, trvés do cálculo de R R B (y) dy = A (x) dx : Exemplos: Ns resoluções que se seguem, como já foi referido trás, considermos sempre os cálculos efectudos em domínios reis em que são possiveis (por exemplo, y 0 = y 2 sin x, y0 y = sin x 2 só é verdde qundo y 2 6= 0). Tmbém s soluções nis são considerds pens em intervlos em que estejm de nids.. A equção yy 0 = x é um equção de vriáveis sepráveis, já escrit n form (4), com B (y) = y e A (x) = x. Aplicndo fórmul (9) obtém-se B (y) dy = A (x) dx,, ydy = xdx, y2 2 = x2 2 + k:, y 2 = x 2 + 2k: Como referido trás, solução y obtém-se em form implícit. 2. y 0 + y 2 sin x = 0 é um equção de vriáveis sepráveis. Começmos por escrevê-l n form (4): y 0 + y 2 sin x = 0, y 0 = y 2 sin x, y0 y = sin x 2 Neste cso B (x) = e A (x) = sin x e tem-se y2 B (y) dy = A (x) dx,,, y, y = y 2 dy = = cos x + k: cos x + k sin xdx
7 MTDI I /08 - Introdução o estudo de equções diferenciis y 0 = + y2 x 2, y0 + y 2 = x 2 Neste cso B (x) = + y 2 e A (x) = x 2 e tem-se 4. y 0 = sin x cos y, cos y y0 = sin x. B (y) dy =, A (x) dx, + y 2 dy = x 2 dx, rctn y = x + k:, y = tn x + k Neste cso B (x) = cos y e A (x) = sin x e tem-se B (y) dy = A (x) dx,, cos ydy = sin xdx, sin y = cos x + k:, y = rcsin ( cos x + k) Equções diferenciis lineres De nição: Um equção diferencil diz-se liner se pode ser escrit n form 0 (x) y (n) + (x) y (n ) + + n (x) y 0 + n y = F (x) em que 0 ; ; : : : ; n e F (x) são funções conhecids e contínus de x: Tods s outrs equções diferenciis são não lineres. Exemplos:. y 00 + xy 0 + x 2 y = e x é liner. 2. y 00 + cos x = 0 é liner. (neste cso (x) = 0 e 2 (x) = 0) 3. y 00 + yy 0 + x = 0 é não liner. 4. (y 0 ) 2 + yy 0 + x = 0 é não liner. As equções diferenciis lineres, ddo terem um form muito regulr, permitem, em váris situções prticulres, o cálculo de soluções geris, não existindo, no entnto, nem neste cso, solução gerl pr um equção liner rbitrári. Neste curso vmos pens dr solução gerl pr equções diferenciis lineres de ordem.
8 MTDI I /08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 70 Equções diferenciis lineres de ordem A form gerl de um equção diferencil liner de ordem é A (x) y 0 + B (x) y = C (x) ; () onde A; B e C representm funções contínus de x de nids num conjunto X formdo por um ou mis intervlos. Supõe-se que A (x) 6= 0; isto é, que A (x) é sempre positiv ou sempre negtiv em cd um dos intervlos de X, pr poder dividir () por A (x) e obter form onde P (x) e Q (x) são funções contínus de x: Vmos ver como resolver (2). y 0 + P (x) y = Q (x) ; (2) Consideremos em primeiro lugr o cso em que Q (x) é função identicmente nul. equção resultnte, y 0 + P (x) y = 0; (3) chm-se equção reduzid ou homogéne correspondente (2). Est equção é um equção de vriáveis sepráveis, pelo que é possível clculr solução: :y 0 + P (x) y = 0,, :y 0 = P (x) y, : y0 y = P (x) (se y 6= 0) A Tem-se, neste cso, B (x) = y e A (x) = P (x) e tem-se B (y) dy = A (x) dx,, y dy = P (x) dx, ln jyj = P (x) dx + k; k 2 R, jyj = e R P (x)dx+k ; k 2 R, jyj = e k e R P (x)dx ; k 2 R D últim expressão, e tendendo ind que função y = 0 é solução de (3), que solução gerl de y 0 + P (x) y = 0; é y = Ce R P (x)dx ; C 2 R
9 MTDI I /08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 7 Exemplos:. N equção y 0 + 2y = 0 tem-se P (x) = 2; pelo que solução é y = Ce R 2dx ; C 2 R, y = Ce 2x ; C 2 R 2. xy 0 + y = 0, y 0 + y x = 0: Neste cso P (x) = x e y = Ce R x dx ; C 2 R, y = Ce ln x ; C 2 R, y = C x ; C 2 R O problem de vlores iniciis ssocido este tem solução únic, como se vê no seguinte teorem: Teorem 3 Sej P um função contínu num intervlo berto I; x 0 um ponto de I e y o um número rel qulquer. Existe um e um só função y = f (x) que é solução d equção y 0 + P (x) y = 0 no intervlo I e que stisfz condição inicil f () = b: Ess função é dd pel fórmul f (x) = be xr P (t)dt Demonstrção: Sej f (x) = be A(x) com A (x) = x P (t) dt: (4) Por derivção veri c-se que (4) stisfz (3). Tem-se ind que A () = 0 e, portnto, f () = b; o que prov que (4) é solução do problem presentdo. Flt ver que é únic solução, pr o que segue um cminho semelhnte o d demonstção do teorem. Sej g (x) outr função tmbém solução de (3) e tl que g () = b: Provr que g (x) = be A(x) é o mesmo que provr que g (x) e A(x) = b: Pelo teorem fundmentl do cálculo integrl sbemos que 0 A 0 (x) x 0 P (t) dta = P (x) : Sendo h (x) = g (x) e A(x) ; então h 0 (x) = g 0 (x) e A(x) + g (x) e A(x) A 0 (x) = = e A(x) (g 0 (x) + g (x) P (x)) : Como g (x) é solução (3), g 0 (x) + P (x) g (x) = 0; 8x 2 I
10 MTDI I /08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 72 e, portnto h 0 (x) = 0 em I; pelo que h (x) é constnte em I: Tem-se ssim que 8x 2 I; h (x) = h () = g () e A() = g () e 0 = b; isto é ou sej h (x) = g (x) e A(x) = b g (x) = be A(x) = f (x) como se queri provr. Exemplo: Consideremos o problem de vlores iniciis Como ( + x 2 ) y 0 + y = 0, y 0 + b =. Pelo teorem ( ( + x 2 ) y 0 + y = 0 y () = y = 0; função P (x) = + x2 + x e temos = e 2 y = e xr +t 2 dt,, y = e [rctn t]x, y = e rctn x+ 4 : De seguid vmos estudr form de resolver equção diferencil não homogéne (2). A prtir d solução d equção homogéne, é possível concluir que solução gerl pr equção y 0 + P (x) y = Q (x) é d form y = Ce R P (x)dx + e R P (x)dx R e R P (x)dx Q (x) dx Exemplo: Consideremos equção y 0 +y tn x = cos 2 x: Nest equção P (x) = tn x; Q (x) = cos 2 x e P (x) dx = tn xdx = ln (cos x) Então: y = Ce R P (x)dx + e R P (x)dx e R P (x)dx Q (x) dx, y = Ce ( ln(cos x)) + e ( ln(cos x)) e ln(cos x) cos 2 xdx, y = C cos x + cos x, y = C cos x + cos x cos x cos2 xdx cos xdx, y = C cos x + cos x sin x; C 2 R
11 MTDI I /08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 73 Como no cso ds equções homogénes, o problem de vlores iniciis ssocido este tem solução únic, como se vê no seguinte teorem: Teorem 4 Sejm P e Q funções contínus num intervlo berto I; um ponto de I e b um número rel qulquer. Existe um e um só função y = f (x) que é solução d equção y 0 + P (x) y = Q (x) no intervlo I e que stisfz condição inicil f () = b: Ess função é dd pel fórmul R f (x) = be A(x) + e A(x) x e A(t) Q (t) dt; (5) em que xr A (x) = P (t) dt Demonstrção: Suponhmos que um função f (x) é solução de (2) e que f () = b: Sej xr h (x) = f (x) e A(x) ; em que A (x) = P (t) dt: Então h 0 (x) = f 0 (x) e A(x) + f (x) e A(x) A 0 (x) = = f 0 (x) e A(x) + f (x) e A(x) P (x) = = e A(x) (f 0 (x) + P (x) f (x)) : (6) Como f é solução de (2), f 0 (x) + P (x) f (x) = Q (x) e (6) c h 0 (x) = e A(x) Q (x) : Utilizndo o teorem fundmentl do cálculo integrl, x h (x) h () = e A(t) Q (t) dt; isto é h (x) = b + x e A(t) Q (t) dt; (visto que h () = f () = b). Ddo que h (x) = f (x) e A(x) ; então f (x) = h (x) e A(x) ; ou sej x f (x) = be A(x) + e A(x) e A(t) Q (t) dt; que é fórmul (5) que se procurv. É imedito que f () = b: Chegou-se, portnto à expressão de qulquer função f que sej solução d equção diferencil (2). Reciprocmente, por simples derivção, veri cmos que (5) é solução de (2). Assim podemos concluir que expressão (5) é únic solução de (2) que tom o vlor b no ponto :
12 MTDI I /08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 74 Exemplo: 8 < y 0 + xy = x Consideremos o problem de vlores iniciis : y (0) = 2 : Neste cso P (x) = x; Q (x) = x; = 0; b = 2 : xr xr Assim, A (x) = P (t) dt = tdt = 2 x2 0 x y = be A(x) + e A(x) y = e 2 e 2 x2 + e 2 x2 x 0 e A(t) Q (t) dt; e 2 t2 t dt;, y = 2 e 2 x2 + e 2 x2 e 2 x2, y = 2 e 2 x2 + e 2 x2, y = 3 2 e 2 x2 +
MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido
MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude
Leia maisMAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL
MAT 103 - Complementos de Mtemátic pr Contbilidde - FEAUSP 1 o semestre de 011 Professor Oswldo Rio Brnco de Oliveir INTEGRAL Suponhmos um torneir bert em um recipiente e com velocidde de escomento d águ
Leia maisBhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes
1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como
Leia maisCÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral
CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho Aul n o 26: Teorem do Vlor Médio pr Integris. Teorem Fundmentl do Cálculo II. Funções dds por
Leia mais3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos
3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição
Leia maisMatemática /09 - Integral de nido 68. Integral de nido
Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 68 Introdução Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I = [; b] e tl que f () ; 8 [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos
Leia maisIntegral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i
Integrl Noção de Integrl. Integrl é o nálogo pr unções d noção de som. Ddos n números 1, 2,..., n, podemos tomr su som 1 + 2 +... + n = i. O integrl de = té = b dum unção contínu é um mneir de somr todos
Leia mais(x, y) dy. (x, y) dy =
Seção 7 Função Gm A expressão n! = 1 3... n (1 está definid pens pr vlores inteiros positivos de n. Um primeir extensão é feit dizendo que! = 1. Ms queremos estender noção de ftoril inclusive pr vlores
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas.
CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA SÉTIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nest ul, utilizremos o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) pr o cálculo d áre entre dus curvs. 1. A áre entre dus curvs A
Leia maisComprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática
Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr
Leia maisx 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,
- Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor
Leia maisDiogo Pinheiro Fernandes Pedrosa
Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção http://www.dc.ufrn.br/ 1 Introdução O conceito
Leia maisTÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8 TÓPICO Gil d Cost Mrques Fundmentos d Mtemátic II 8.1 Diferencil totl de um função esclr 8.2 Derivd num Direção e Máxim Derivd Direcionl 8.3 Perpendiculr um superfície
Leia maisObjetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas;
Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Aul 35 Funções vetoriis Integris Objetivo Conhecer integrl de funções vetoriis; Aprender clculr comprimentos de curvs prmetrizds; Aprender clculr áres de regiões
Leia maisTeorema Fundamental do Cálculo - Parte 2
Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte 2 No teto nterior vimos que, se F é um primitiv de f em [,b], então f()d = F(b) F(). Isto reduz o problem de resolver
Leia mais4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe
4 Teorem de Green Sej U um berto de R 2 e r : [, b] U um cminho seccionlmente, fechdo e simples, isto é, r não se uto-intersect, excepto ns extremiddes Sej região interior r([, b]) prte d dificuldde n
Leia mais2.4 Integração de funções complexas e espaço
2.4 Integrção de funções complexs e espço L 1 (µ) Sej µ um medid no espço mensurável (, F). A teori de integrção pr funções complexs é um generlizção imedit d teori de integrção de funções não negtivs.
Leia maisFÓRMULA DE TAYLOR USP MAT
FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT 5 SEVERINO TOSCANO DO REGO MELO. Polinômios de Tylor A ret tngente o gráfico de um função f derivável em um ponto define função de primeiro gru que melhor proxim função em pontos
Leia mais1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade
1 Limite - Revisão O conceito de limite de um função contribui pr nálise do comportmento d função n vizinhnç de um determindo ponto. Intuitivmente, dd um função f(x) e um ponto b que pertence o domínio
Leia maisx = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x.
Universidde Federl Fluminense Mtemátic II Professor Mri Emili Neves Crdoso Cpítulo Integrl. Diferenciis dy Anteriormente, foi considerdo um símolo pr derivd de y em relção à, ms em lguns prolems é útil
Leia maisElementos de Análise - Lista 6 - Solução
Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto
Leia maisINTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?
INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois
Leia maisINTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?
INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois
Leia maisCÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral.
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Auls n o 8: Técnics de Integrção I - Método d Substituição Objetivos d Aul Apresentr técnic de integrção por substituição; Utilizr técnics presentds
Leia maisCÁLCULO I. Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo I). Se f for contínua em [a, b], então. f(x) dx = F (b) F (a) x dx = F (b) F (a), x dx = x2 2
CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Aul n o 5: Teorem Fundmentl do Cálculo I. Áre entre grácos. Objetivos d Aul Apresentr o Teorem Fundmentl do Cálculo (Versão Integrl).
Leia maisALGEBRA LINEAR AUTOVALORES E AUTOVETORES. Prof. Ademilson
LGEBR LINER UTOVLORES E UTOVETORES Prof. demilson utovlores e utovetores utovlores e utovetores são conceitos importntes de mtemátic, com plicções prátics em áres diversificds como mecânic quântic, processmento
Leia maisMATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM MATRIZES Definição e Notção... 11 21 m1 12... 22 m2............ 1n.. 2n. mn Chmmos de Mtriz todo conjunto de vlores, dispostos
Leia maisOs números racionais. Capítulo 3
Cpítulo 3 Os números rcionis De modo informl, dizemos que o conjunto Q dos números rcionis é composto pels frções crids prtir de inteiros, desde que o denomindor não sej zero. Assim como fizemos nteriormente,
Leia maisfundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:
Cpítulo 8 Integris Imprópris 8. Introdução A eistênci d integrl definid f() d, onde f é contínu no intervlo fechdo [, b], é grntid pelo teorem fundmentl do cálculo. Entretnto, determinds plicções do Cálculo
Leia maisFunção Modular. x, se x < 0. x, se x 0
Módulo de um Número Rel Ddo um número rel, o módulo de é definido por:, se 0 = `, se < 0 Observção: O módulo de um número rel nunc é negtivo. Eemplo : = Eemplo : 0 = ( 0) = 0 Eemplo : 0 = 0 Geometricmente,
Leia maisCapítulo III INTEGRAIS DE LINHA
pítulo III INTEGRIS DE LINH pítulo III Integris de Linh pítulo III O conceito de integrl de linh é um generlizção simples e nturl do conceito de integrl definido: f ( x) dx Neste último, integr-se o longo
Leia maisCálculo de Limites. Sumário
6 Cálculo de Limites Sumário 6. Limites de Sequêncis................. 3 6.2 Exercícios Recomenddos............... 5 6.3 Limites de Funções.................. 7 6.4 Exercícios Recomenddos...............
Leia maisTeorema Fundamental do Cálculo - Parte 1
Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte Neste texto vmos provr um importnte resultdo que nos permite clculr integris definids. Ele pode ser enuncido como
Leia maisUsando qualquer um dos métodos de primitivação indicados anteriormente, determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções. e x e 2x + 2e x + 1
Instituto Superior Técnico Deprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LEIC-ALAMEDA o SEM. 7/8 6 FICHA DE EXERCÍCIOS I. Treino Complementr de Primitivs. CÁLCULO INTEGRAL
Leia maisAula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência
Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Aul 7 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Objetivo Conhecer dois critérios de convergênci de integris imprópris:
Leia maisCÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas;
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o : Áre entre Curvs, Comprimento de Arco e Trblho Objetivos d Aul Clculr áre entre curvs; Clculr o comprimento de rco; Denir Trblho. 1 Áre entre
Leia maisCálculo integral. 4.1 Preliminares
Cpítulo 4 Cálculo integrl 4. Preinres Considere um decomposição do intervlo [, ] R em su-intervlos d orm [x, x ], [x, x ],..., [x n, x n ], onde = x < x < < x n < x n = e n N. Por um questão de simplicidde,
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015 13 de Fevereiro de 2015 Prte I Álgebr Liner 1 Questão: Sejm
Leia maisRESUMO DE INTEGRAIS. d dx. NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas. Fórmulas de Integração
RESUMO DE INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA A rte de encontrr ntiderivds é chmd de integrção. Desse modo, o plicr integrl dos dois ldos d equção, encontrmos tl d ntiderivd: f (x) = d dx [F (x)] f (x)dx = F
Leia maisUniversidade de Mogi das Cruzes UMC. Cálculo Diferencial e Integral II Parte III
Cálculo Diferencil e Integrl II Págin Universidde de Mogi ds Cruzes UMC Cmpos Vill Lobos Cálculo Diferencil e Integrl II Prte III Engenhri Civil Engenhri Mecânic mrili@umc.br º semestre de 05 Cálculo Diferencil
Leia maisResumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral
www.engenhrifcil.weely.com Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A
Leia mais16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green
ÁLULO VETORIAL álculo Vetoril pítulo 6 6.4 Teorem de Green Nest seção, prenderemos sore: O Teorem de Green pr váris regiões e su plicção no cálculo de integris de linh. INTROUÇÃO O Teorem de Green fornece
Leia maisQuadratura por interpolação Fórmulas de Newton-Cotes Quadratura Gaussiana. Integração Numérica. Leonardo F. Guidi DMPA IM UFRGS.
Qudrtur por interpolção DMPA IM UFRGS Cálculo Numérico Índice Qudrtur por interpolção 1 Qudrtur por interpolção 2 Qudrturs simples Qudrturs composts 3 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção O
Leia maisEscola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral
Escol Superior de Agricultur Luiz de Queiroz Universidde de São Pulo Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl Teori d Integrção e Aplicções Professor Rent Alcrde Sermrini Nots de ul do professor Idemuro
Leia maisDiferenciação Numérica
Cpítulo 6: Dierencição e Integrção Numéric Dierencição Numéric Em muits circunstâncis, torn-se diícil oter vlores de derivds de um unção: derivds que não são de ácil otenção; Eemplo clculr ª derivd: e
Leia mais1. Conceito de logaritmo
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Logritmos Prof.: Rogério
Leia maisProva Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prov Escrit de MATEMÁTICA A - o Ano 0 - Fse Propost de resolução GRUPO I. Como comissão deve ter etmente mulheres, num totl de pessos, será constituíd por um único homem. Logo, como eistem 6 homens no
Leia maisCÁLCULO I. Denir o trabalho realizado por uma força variável; Denir pressão e força exercidas por um uido.
CÁLCULO I Aul n o 3: Comprimento de Arco. Trblho. Pressão e Forç Hidrostátic. Objetivos d Aul Denir comprimento de rco; Denir o trblho relizdo por um forç vriável; Denir pressão e forç exercids por um
Leia maisEQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c.
EQUAÇÃO DO GRAU Você já estudou em série nterior s equções do 1 gru, o gru de um equção é ddo pelo mior expoente d vriável, vej lguns exemplos: x + = 3 equção do 1 gru já que o expoente do x é 1 5x 8 =
Leia maisÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS
EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS Equção Liner * Sej,,,...,, (números reis) e n (n ) 2 3 n x, x, x,..., x (números reis) 2 3 n Chm-se equção Liner sobre
Leia maisApoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc.
Aul Métodos Esttísticos sticos de Apoio à Decisão Aul Mônic Brros, D.Sc. Vriáveis Aletóris Contínus e Discrets Função de Probbilidde Função Densidde Função de Distribuição Momentos de um vriável letóri
Leia maisObjetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.
MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função
Leia maisf(x) dx. Note que A é a área sob o gráfico
FFCLRP-USP AULA-INTEGRAL - CÁLCULO II- ECONOMIA Professor: Jir Silvério dos Sntos PROPRIEDADES DA INTEGRAL Sejm f,g : [,b] R funções integráveis. Então (i) [f(x) + g(x)]dx = (ii) Se λ é um número rel,
Leia mais6-1 Determine a primitiva F da função f que satisfaz a condição indicada, em cada um dos casos seguintes: a) f(x) = sin 2x, F (π) = 3.
6 Fich de eercícios de Cálculo pr Informátic CÁLCULO INTEGRAL 6- Determine primitiv F d função f que stisfz condição indicd, em cd um dos csos seguintes: ) f() = sin, F (π) = 3. b) f() = 3 + +, F (0) =
Leia maisLista 5: Geometria Analítica
List 5: Geometri Anlític A. Rmos 8 de junho de 017 Resumo List em constnte tulizção. 1. Equção d elipse;. Equção d hiperból. 3. Estudo unificdo ds cônics não degenerds. Elipse Ddo dois pontos F 1 e F no
Leia maisIntegrais de Linha. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão. Cálculo Diferencial e Integral 3B
Integris de Linh âmpus Frncisco Beltrão Disciplin: álculo Diferencil e Integrl 3 Prof. Dr. Jons Jocir Rdtke Integris de Linh O conceito de um integrl de linh é um generlizção simples e nturl de um integrl
Leia maisComprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2
Definição 1 Sej : omprimento de urvs x x(t) y y(t) z z(t) um curv lis definid em [, b]. O comprimento d curv é definido pel integrl L() b b [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 dt (t) dt v (t) dt Exemplo
Leia maisFUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA
FUNÇÃO DO º GRAU OU QUADRÁTICA - Definição É tod função do tipo f() = + + c, com *, e c. c y Eemplos,, c números e coeficient termo vr vr iável iável es independen reis indepemdem dependente de te ou te
Leia maisDefinição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1
Cpítulo 1 Funções Vetoriis Neste cpítulo estudremos s funções f : R R n, funções que descrevem curvs ou movimentos de objetos no espço. 1.1 Definições e proprieddes Definição 1.1.1 Um função vetoril, é
Leia maisTópicos de Física Clássica I Aula 3
Tópicos de Físic Clássic I Aul 3 c tort As equções de Euler (1744) e Lgrnge (1755) O cálculo vricionl ou de vrições foi introduzido por Leonhrd Euler com publicção do seu livro Methodus inveniendi lines
Leia mais1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x.
6. Primitivs cd. 6. Em cd cso determine primitiv F (x) d função f (x), stisfzendo condição especi- () f (x) = 4p x; F () = f (x) = x + =x ; F () = (c) f (x) = (x + ) ; F () = 6. Determine função f que
Leia maisdx f(x) dx p(x). dx p(x) + dx f (n) n! i=1 f(x i) l i (x) ), a aproximação seria então dada por f(x i ) l i (x) = i=1 i=1 C i f(x i ), i=1 C i =
Cpítulo 7 Integrção numéric 71 Qudrtur por interpolção O método de qudrtur por interpolção consiste em utilizr um polinômio interpolnte p(x) pr proximr o integrndo f(x) no domínio de integrção [, b] Dess
Leia maisIntegrais Duplas em Regiões Limitadas
Cálculo III Deprtmento de Mtemátic - ICEx - UFMG Mrcelo Terr Cunh Integris Dupls em egiões Limitds Ou por curiosidde, ou inspirdo ns possíveis plicções, é nturl querer usr integris dupls em regiões não
Leia maisxy 1 + x 2 y + x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 y xy 2 = 0 (y 1 y 2 ) x + (x 2 x 1 ) y + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = 0
EQUAÇÃO DA RETA NO PLANO 1 Equção d ret Denominmos equção de um ret no R 2 tod equção ns incógnits x e y que é stisfeit pelos pontos P (x, y) que pertencem à ret e só por eles. 1.1 Alinhmento de três pontos
Leia maisFUNÇÕES. Mottola. 1) Se f(x) = 6 2x. é igual a (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5. 2) (UNIFOR) O gráfico abaixo. 0 x
FUNÇÕES ) Se f() = 6, então f ( 5) f ( 5) é igul () (b) (c) 3 (d) 4 (e) 5 ) (UNIFOR) O gráfico bio 0 () não represent um função. (b) represent um função bijetor. (c) represent um função não injetor. (d)
Leia maisThomas Kahl 2008/2009
Análise Mtemátic Thoms Khl 2008/2009 Conteúdo 1 Cálculo diferencil em R 3 1.1 Preliminres................................... 3 1.1.1 Subconjuntos de R........................... 3 1.1.2 Funções.................................
Leia maisAula 20 Hipérbole. Objetivos
MÓDULO 1 - AULA 20 Aul 20 Hipérbole Objetivos Descrever hipérbole como um lugr geométrico. Determinr su equção reduzid no sistem de coordends com origem no ponto médio entre os focos e eixo x como o eixo
Leia maisIntrodução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli
Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento
Leia maisTeorema de Green no Plano
Instituto Superior Técnico eprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise Prof. Gbriel Pires Teorem de Green no Plno O teorem de Green permite relcionr o integrl de linh o longo de um curv fechd com
Leia maisINTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?
Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região
Leia maisUniversidade Federal de Pelotas Vetores e Álgebra Linear Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinantes
Universidde Federl de Pelots Vetores e Álgebr Liner Prof : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinntes Determinntes Definição: Determinnte é um número ssocido um mtriz qudrd.. Determinnte de primeir ordem Dd
Leia maisResolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução
(9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se
Leia maisx n dx = xn+1 n k, k R sin(x) dx = cos(x) + k, cos(x) dx = sin(x) + k, k R Sh(x) dx = Ch(x) + k, Ch(x) dx = Sh(x) + k, k R dx = tan(x) + k, k R
Algums primitivs Simples... c dt = cx + k, k R x n dx = xn+ n + + k, k R sin(x) dx = cos(x) + k, cos(x) dx = sin(x) + k, k R Sh(x) dx = Ch(x) + k, Ch(x) dx = Sh(x) + k, k R dx = rctn(x) + k, dx = SetSh(x)
Leia maisVectores Complexos. Prof. Carlos R. Paiva
Vectores Complexos Todos sem que se podem representr vectores reis do espço ordinário (tridimensionl) por sets Porém, qul será representção geométric de um vector complexo? Mis do que um questão retóric
Leia maisProfª Cristiane Guedes DERIVADA. Cristianeguedes.pro.br/cefet
Proª Cristine Guedes 1 DERIVADA Cristineguedes.pro.br/ceet Ret Tngente Como determinr inclinção d ret tngente curv y no ponto P,? 0 0 Proª Cristine Guedes Pr responder ess pergunt considermos um ponto
Leia maisAULA 1 Introdução 3. AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5. AULA 3 Integrais indefinidas 7. AULA 4 Integração por substituição 9
www.mtemticemexercicios.com Integris (volume ) Índice AULA Introdução AULA Proprieddes e teorem fundmentl do cálculo 5 AULA Integris indefinids 7 AULA 4 Integrção por sustituição 9 AULA 5 Integrção por
Leia maisIFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02.
IFRN Cmpus Ntl/Centrl Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos mtemáticos pr físicos e engenheiros - Aul 0 Séries de Fourier 3 de gosto de 08 Resumo Neste ul, vmos estudr o conceito de conjunto completo
Leia maisequação paramêtrica/vetorial da curva: a lei γ(t) =... Dizemos que a curva é fechada se I = [a, b] e γ(a) = γ(b).
1 Lembrete: curvs Definição Chmmos Curv em R n : um função contínu : I R n onde I R é intervlo. (link desenho curvs) Definimos: Trço d curv: imgem equção prmêtric/vetoril d curv: lei (t) =... Dizemos que
Leia maisAULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática
1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Lingugem Mtemátic AULA 1 1 1.2 Conjuntos Numéricos Chm-se conjunto o grupmento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de noss percepção ou de nosso entendimento, chmdos
Leia maisA equação de Schrödinger independente do tempo
A equção de Schrödinger independente do tempo 1 Estdos estcionários Até gor nós introduzimos função de ond d prtícul e discutimos su interpretção, interpretção probbilístic de Born pr função de ond e indicmos
Leia mais1. Sejam R e S duas relações entre os conjuntos não vazios E e F. Então mostre que
2 List de exercícios de Álgebr 1. Sejm R e S dus relções entre os conjuntos não vzios E e F. Então mostre que ) R 1 S 1 = (R S) 1, b) R 1 S 1 = (R S) 1. Solução: Pr primeir iguldde, temos que (, b) R 1
Leia maisAula de solução de problemas: cinemática em 1 e 2 dimensões
Aul de solução de problems: cinemátic em 1 e dimensões Crlos Mciel O. Bstos, Edurdo R. Azevedo FCM 01 - Físic Gerl pr Químicos 1. Velocidde instntâne 1 A posição de um corpo oscil pendurdo por um mol é
Leia mais1 A Integral de Riemann
Medid e Integrção. Deprtmento de Físic e Mtemátic. USP-RP. Prof. Rfel A. Rosles 22 de mio de 27. As seguintes nots presentm lgums limitções d integrl de Riemnn com o propósito de justificr construção d
Leia mais8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas
8.1 Áres Plns Suponh que um cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região
Leia maisSERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério d Educção Universidde Federl do Rio Grnde Universidde Abert do Brsil Administrção Bchreldo Mtemátic pr Ciêncis Sociis Aplicds I Rodrigo Brbos Sores . Mtrizes:.. Introdução:
Leia maisAtividade Prática como Componente Curricular
Universidde Tecnológic Federl do Prná Gerênci de Ensino e Pesquis Deprtmento Acdêmico de Mtemátic Atividde Prátic como Componente Curriculr - Propost - Nome: Mtrícul: Turm: Justique su respost, explicitndo
Leia mais6 Cálculo Integral. 1. (Exercício VI.1 de [1]) Considere a função f definida no intervalo [0, 2] por. 1 se x [0, 1[ 3 se x ]1, 2]
6 Cálculo Integrl. (Eercício VI. de []) Considere função f definid no intervlo [, ] por se [, [ f () = se = 3 se ], ] () Mostre que pr tod decomposição do intervlo [, ], s soms superior S d ( f ) e inferior
Leia maisNotação. Se u = u(x, y) é uma função de duas variáveis, representamos por u, ou ainda, por 2 u a expressão
Seção 20: Equção de Lplce Notção. Se u = u(x, y) é um função de dus vriáveis, representmos por u, ou ind, por 2 u expressão u = 2 u = u xx + u yy, chmd de lplcino de u. No cso de função de três vriáveis,
Leia mais8 AULA. Funções com Valores Vetoriais LIVRO. META Estudar funções de uma variável real a valores em R 3
1 LIVRO Funções com Vlores Vetoriis 8 AULA META Estudr funções de um vriável rel vlores em R 3 OBJETIVOS Estudr movimentos de prtículs no espço. PRÉ-REQUISITOS Ter compreendido os conceitos de funções
Leia mais1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < <
MATEMÁTICA Assinle lterntiv verddeir: ) 6 < 7 6 < 6 b) 7 6 < 6 < 6 c) 7 6 < 6 < 6 d) 6 < 6 < 7 6 e) 6 < 7 6 < 6 Pr * {} temos: ) *, * + e + * + ) + > + + > ) Ds equções (I) e (II) result 7 6 < ( 6 )
Leia maisCAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES
CAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES 5.- Teorems Fundmentis do Cálculo Diferencil Os teorems de Rolle, de Lgrnge, de Cuch e regr de L Hospitl são os qutro teorems fundmentis do cálculo diferencil
Leia maisMétodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos
Integrção Numéric Métodos Numéricos e Esttísticos Prte I-Métodos Numéricos Integrção numéric Luís Morgdo Lic. Eng. Biomédic e Bioengenhri-009/010 Luís Morgdo Integrção numéric Integrção Numéric Recorrendo
Leia maisSÉRIES DE FOURIER. 1. Uma série trigonométrica e sua sequência das somas parciais (S N ) N são dadas por
SÉRIES DE FOURIER 1. Um série trigonométric e su sequênci ds soms prciis (S N ) N são dds por (1) c n e inx, n Z, c n C, x R ; S N = n= c n e inx. Tl série converge em x R se (S N (x)) N converge e, o
Leia maisMÉTODO DA POSIÇÃO FALSA EXEMPLO
MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA Vimos que o Método d Bissecção encontr um novo intervlo trvés de um médi ritmétic. Ddo o intervlo [,], o método d posição fls utiliz médi ponderd de e com pesos f( e f(, respectivmente:
Leia maisCÁLCULO III - MAT Encontrar o vetor gradiente em cada ponto em que ele exista para os campos escalares definidos pelas seguintes equações:
UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Ltino-Americno de Ciêncis d Vid e d Nturez Centro Interdisciplinr de Ciêncis d Nturez CÁLCULO III - MAT0036 7 List de exercícios 1. Encontrr
Leia maisEquações diofantinas lineares a duas e três variáveis
Equções diofntins lineres dus e três vriáveis Eudes Antonio Cost Fbino F. T. dos Sntos Introdução O objetivo deste rtigo é presentr teori básic envolvid ns equções diofntins lineres dus e três incógnits
Leia maisAlexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Teoremas Fundamentais do Cálculo
MAT46 - Cálculo I - Teorems Fundmentis do Cálculo Alexndre Mirnd Alves Anderson Tigo d Silv Edson José Teixeir Os Teorems Fundmentis do Cálculo Os próximos teorems fzem conexão entre os conceitos de ntiderivd
Leia maisProva 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolha 5 questões
Prov 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolh 5 questões 1. Sej f : [, b] R um função limitd. Mostre que f é integrável se, e só se, existe um sequênci de prtições P n P [,b] do intervlo [, b] tl
Leia mais