f(x) dx. Note que A é a área sob o gráfico

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1 FFCLRP-USP AULA-INTEGRAL - CÁLCULO II- ECONOMIA Professor: Jir Silvério dos Sntos PROPRIEDADES DA INTEGRAL Sejm f,g : [,b] R funções integráveis. Então (i) [f(x) + g(x)]dx = (ii) Se λ é um número rel, (iii) Se c (,b), f(x)dx + f(x)dx = c g(x)dx. λf(x)dx = λ f(x)dx + (iv) Se f(x) g(x) pr todo x [, b], então c f(x)dx. f(x)dx f(x)dx g(x)dx. A prov dests proprieddes poder ser encontrd em O Cálculo com Geometri Anlític cujo utor é Luis Leithold. Definição 0.. Sej f : [,b] R um função contínu tl que f(x) 0 pr todo x [,b]. A áre A d região R limitd entre s curvs G(f) (gráfico de f), x =, x = b e y = 0 é denomind áre sob o gráfico de f, e é dd por A = f(x)dx, Definição 0.2. Sejm f,g : [,b] R funções contínus tis que g(x) f(x) pr todo x [,b]. A áre A d região R limitd entre s curvs G(f), G(g), x =, x = b é denomind áre entre os gráficos de f e g, e é dd por A = Teorem do Vlor Médio Pr Integris [g(x) f(x)]dx. Teorem 0.. Sej f : [, b] R um função contínu. Então existe X [, b] tl que f(x) dx = f(x)(b ). Este Teorem nos diz que, se f : [,b] R for um função não negtiv, então existirá um retângulo cujos ldos prlelos têm medid f(x) e (b ) respectivmente, e áre A deste retângulo será dd pelo número rel de f. Prov f(x) dx. Note que A é áre sob o gráfico

2 Como f é contínu, existem dois númeors reis M e m, e dois vlores x M e x m no intervlo [,b] tis que M = f(x M ) = mx{f(x), pr x [,b]}, e m = f(x m ) = min{f(x), pr x [,b]}. É fácil ver que m f(x) M pr todo x [,b]. A propriedde qutro no começo dest list nos diz que ou sej m(b ) f(x)dx M(b ), f(x m ) = m f(x)dx (b ) M = f(x M ). Como f é um função contínu em [,b], o Teorem do Vlor Intermediário nos ssegur que existe um vlor X (,b) tl que f(x) = f(x)dx, e portnto (b ) f(x)dx = f(x)(b ). Exemplo 0.. Sej f : [ ; 2] R dd por f(x) = x 2. Encontre o vlor X (,b) que stisfz o Teorem do Vlor Médio pr Integris (TVMI). Nos já sbemos clculr 2 3 x 2 dx que o vlor dest integrl é 8. Então pelo TVMI temos 3 f(x)dx = 8 3 = f(x)(2 ), portnto, X2 = 8 3 ou sej X = Definição 0.3. Sej f : [,b] R função integrável. O vlor médio de f em [,b] é dd por V m = f(x)dx. b TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Sej f : [,b] R função integrável e x um número qulquer em [,b]. Defin F : [,b] R dd por 2

3 F(x) = x f(t) dt. Note que se f for não negtiv, função F é definid de tl modo que F(x) clcul áre hchurd n Figur 0. oy x x = b f(t)dt (x,f(x)) O x b ox Figur Teorem 0.2. Sej f : [,b] R função contínu e x um número qulquer em [,b]. Então se F : [,b] R dd por Prov F(x) = x f(t) dt é diferenciável e F (x) = f(x). Consideremos dois números reis x 0 e x 0 + h, onde h 0 e tl que x 0 + h [,b]. Note que F(x 0 + h) = x0 +h f(t)dt então F(x 0 + h) F(x 0 ) = ms pel Propriedde (iii) d 8 List de Exercícios tem-se Então, x0 +h f(t)dt = x0 f(t)dt + F(x 0 + h) F(x 0 ) = x0 +h x 0 x0 +h x 0 x0 +h f(t)dt. f(t)dt. f(t)dt x0 f(t)dt, Pelo Teorem do Vlor Médio pr Integris (8 List de Exercícios) existe X [,b] tl que 3

4 Portnto, x0 +h x 0 f(t)dt = f(x)h. lim h 0 h x0 +h x 0 f(t)dt = lim h 0 F(x 0 + h) F(x 0 ) h = f(x) = F (X). Teorem 0.3. Sej f : [,b] R função contínu. Se G : [,b] R for um função derivável tl que pr todo x [,b] então G (x) = f(x), () f(x) dx = G(b) G(). (2) Prov Se em (), x = ou x = b, s derivds envolvids serão derivd à direit em e derivd à esquerd em b. Como f é contínu em, o Teorem 0.2 nos ssegur que integrl x f(t) dt, define um função F(x) derivável, cuj derivd é f(x) pr todo x [,b]. Como por () temos G (x) = f(x), um Teorem já visto n disciplin Cáculo Diferencil e Integrl I nos diz que se dus funções (F e G) têm mesm derivd, diferenç entre els é constnte, ou sej Clculndo G() e G(b) teremos G() = G(x) = x f(t) dt + k. f(t) dt + k = k e G(b) = Portnto, por (3) G(b) G() = f(t) dt.. FUNÇÃO PRIMITIVA E INTEGRAL INDEFINIDA f(t) dt + k. (3) Definição 0.4. Dd um função f : [,b] R, se existir um outr função derivável F : [,b] R tl que F (x) = f(x) pr todo x (,b). Est função F é denomind Primitiv d função f. Sej f : [,b] R dd por f(x) = cosx, podemos ver fcilmente que F(x) = senx é tl que F (x) = cosx = f(x). Portnto, pel definição 0.4 função F(x) = senx é um primitiv pr f(x) = cosx. Tmbém podemos ver que F k (x) = senx+k, onde k R é um constnte, stisfz F (x) = cosx = f(x) qulquer que sej k R. Portnto, 4

5 segue d definição 0.4 que pr cd número rel k, função F k (x) = senx + k é um primitiv pr f(x) = cos x. Vemos ssim que se um função qulquer f tiver um primitiv, est função terá, n verdde, um fmili de primitivs. Vejmos como confirmr est propriedde. Teorem 0.4. Se F,F 2 : [,b] R forem primitivs de um mesm função f : [,b] R, então diferenç é constnte, isto é existe k R tl que F (x) F 2 (x) = k = pr todo x [,b]. Note que se F (x) e F 2 (x) são primitivs de f então F (x) = f(x) e F 2(x) = f(x). Defin φ : [,b] R dd por φ(x) = F (x) F 2(x). Note φ é derivável e φ (x) = F (x) F 2(x) = 0 pr todo x [,b]. Pelo Teorem do Vlor Médio, φ(x) φ() = (x )φ (ξ), onde ξ é um número rel no intervlo (,x). Como φ (ξ) = 0, teremos φ(x) φ() = 0 pr todo x [,b], o que nos diz que φ(x) = φ() ou sej F (x) F 2 (x) = φ() = constnte. Definição 0.5. Dd um função f : [,b] R, se F : [,b] R for um primitiv Primitiv d função f, então f(x)dx = F(x) + C, C R. F(x) + C é integrl indefinid de f(x). Exemplo 0.2. Sej f,g : [,b] R dd por f(x) = x 3 com g(x) = x 4. Note que f(x)dx = x 3 dx = 4 x4 + C, C R, e g(x) dx = x 4 dx = 5 x5 + K, K R; Teorem 0.5. Sej f : [;b] R dd por f(x) = x p. Então; : Se p ; f(x) dx = p + xp+ + k, k R. b : Se p = ; f(x) dx = dx = ln x + k, k R. x Exemplo 0.3. Sej f(x) = x 3 e g(x) = x 5. Clcule f(x) dx e g(x) dx. 5

6 Resolução O Teorem 0.5 nos diz que x 3 dx = 3 + x3+ + k = 4 x4 + k; k R x 5 dx = 5 + x 5+ + k = 4 x 4 + k; k R. SÓLIDO DE REVOLUÇÃO Considere função f : [,b] R, contínu, não negtiv e região R limitd pels curvs G(f), x =, x = b e y = 0. A rotção de 2π rdinos d região R em torno do eixo ox form um sólido S (ver figur bixo). O volume V (S) deste Sólido é ddo por V (S) = π[f(x)] 2 dx. x = b x = O x b (x,f(x)) ox Exercícios Clcule áre A sob o gáfico de f(x) qundo. Fç um esboço gráfico d região R cuj áre é A. (i) f : [0, ] R, dd por f(x) = x( x). f(x) = x 2 ( x). (iii) f : [ 2, 3] R, dd por f(x) = senx. f(x) = x 2 e x. (ii) f : [0, ] R, dd por (iv) f : [0,π] R, dd por 6

7 (v) f : [ 5, 5] R dd por f(x) = 25 x 2, R. 25π (vi) f : [ 5, 5] R dd por 2 f(x) = 25 x 2, R. 25π. 2 (i) ( iv) (vi) Exercícios Clcule s integris bixo 2 2x 2 3 x 3 + dx, R. 04. (ii) x x + dx, R (iii) (v) x + 2 dx, R x + 3 dx, R x2 dx, R. π. (vii) 2 6 x2 dx, R 8π. 2 x 2 dx, onde > 0. R. 2 π 2, (vii) b 2 x 2 dx. ond,b > 0. 2 Clcule áre A sob o gáfico de f(x) qundo. Em cd fç um esboço gráfico de A. (i) Clcule áre ltd entre os gráficos de f(x) = x 2, g(x) = x 2 + 4x, [0, 4]. R. 6. (ii) Clcule áre limitd entre os gráficos de f(x) = x 2 6, g(x) = x 2 + 4x. (iii) Clcule áre limitd entre s curvs y = x 2, y = x 2 + 4x, x = 0 e x = 4. R 6. (iv) Clcule áre limitd entre s curvs y 2 = 2x 2, y = x 5x. Resp 6 3. (v) Clcule áre limitd entre s curvs πy = 2 2 x, y = cos x, x [0, π 4 ]. (vi) Clcule áre limitd entre s curvs 7πy = 2 2 x, y = cos x, x [ π 2, 7π 4 ]. (vii) Clcule áre limitd entre s curvs y =sen x, π 2 y = 8 2 x 2, x [0, π 4 ]. (viii) Clcule por integris áre de um circunferênci de rio > 0. (ix) Clcule por integris áre de elípse x2 + y2 b 3 Em cd item clcule o vlor médio d funç o f dd. = onde,b > 0. (i) f : [, 3] R dd por f(x) = x 2, R. 3. (ii) f : [0,π] R dd por f(x) = sen 2 x. 3 (iii) f : [0, 2] R dd por f(x) = x 2 + x +. (iv) f : [0, 3] R dd por f(x) = x 2 +. (v) f : [π, 3π] R dd por f(x) = 2 2 cos2 x. (vi) f : [0, π ] R dd por 4 f(x) = sec x. EXERCÍCIOS Use Definição 0.3 d List 08 pr resolver os ítens bixo. (i) Dd f(x) = x x 4, clcule o vlor médio de f no intervlo [0, 4], R Encontre o vlor X [0, 4] tl que f ssume o vlor médio. (ii) Dd f(x) = 8x x 2, clcule o vlor médio de f no intervlo [5, 8]. R Encontre o vlor X [0, 4] tl que f ssume o vlor médio. 7

8 2 Use o Teorem 0.2 e clcule s seguintes derivds : x x d d dt (i) 4 + t2 dt. (ii) dx 0 dx 0 + t 2. (iii) d 4 + cost2 dt. dx 0 3 Clcule áre A d região R loclizd no semiplno {(x,y) R 2, tl que y 0} e limitd y = x e x 2 + y 2 = 2, onde > 0. Fç um esboço gráfico d região R. 4 Considere função f : [,b] R. Sej região sob o gráfico de f. Em cd item bixo, rotcione R região em em torno do eixo ox e clcule o volume do sólido gerdo por est rotção. (i) f : [, 2] R dd por f(x) = x 2 +. (ii) f : [0, 2] R dd por f(x) = x. (iii) f : [, 2] R dd por f(x) = x 2. (iv) Encontre áre A d região R limitd entre s curvs y = x 2 e y = x ; Resp.. (v) Clcule o volume do sólido 3 regrdo pel rotção dest região em torno do eixo ox (vi) Clcule o volume d esfer de rio, ( > 0). (vii) Encontre o volume do sólido gerdo pel rotção em torno do eixo 0x, d região limitd pel prábol y = x 2 + e ret y = x + 3. x 8