16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green

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1 ÁLULO VETORIAL álculo Vetoril pítulo Teorem de Green Nest seção, prenderemos sore: O Teorem de Green pr váris regiões e su plicção no cálculo de integris de linh. INTROUÇÃO O Teorem de Green fornece relção entre um integrl de linh em torno de um curv fechd simples e um integrl dupl n região do plno delimitd por. Vmos supor que consist em todos os pontos dentro de, em como nos pontos sore. INTROUÇÃO Pr enuncir o Teorem de Green, usremos convenção de que orientção positiv de um curv fechd simples se refere percorrer no sentido nti-horário um únic vez. INTROUÇÃO Assim, se for dd como um função vetoril r(t), t, então região está sempre à esquerd qundo o ponto r(t) percorrer. TEOREMA E GREEN Sej um curv pln simples, fechd, contínu por trechos, orientd positivmente, e sej região delimitd por. Se P e Q têm derivds prciis de primeir ordem contínus sore um região ert que contenh, então Q P P Q dy da x y OBSERVAÇÕES A notção é usd lgums vezes pr indicr que integrl de linh é clculd usndo-se orientção positiv d curv fechd. OBSERVAÇÕES Equção Outr notção pr orientção positiv d curv fronteir é. Assim, equção no Teorem de Green pode ser escrit como Q P da P Q dy x y

2 TEOREMA E GREEN O Teorem de Green pode ser olhdo como o correspondente do Teorem Fundmentl do álculo pr integris dupls. TEOREMA E GREEN ompre Equção com o enuncido d segund prte do Teorem Fundmentl do álculo, n seguinte equção: F '( x ) F ( ) F ( ) TEOREMA E GREEN Em mos os csos: existe um integrl envolvendo s derivds (F, Q/x, e P/y) do ldo esquerdo d equção. o ldo direito envolve vlores d função originl (F, Q e P) somente n fronteir d região. No cso unidimensionl, região é um intervlo [, ] cuj fronteir é constituíd pens pelos dois pontos e. REGIÕES SIMPLES O Teorem de Green não é fácil de demonstrr no cso gerl presentdo no Teorem, ms fremos um demonstrção pr o cso especil onde região é tnto de tipo I como de tipo II (vej Seção 5.3). hmmos tis regiões de regiões simples. TEOREMA E GREEN (REGIÃO SIMPLES) Eq. e 3 Oserve que o Teorem de Green estrá demonstrdo se mostrrmos que e P Qdy P da y Q da x TEOREMA E GREEN (REGIÃO SIMPLES) Vmos demonstrr Equção exprimindo como um região do tipo I: = {(x, y) x, g (x) y g (x)} onde g e g são funções contínus. TEOREMA E GREEN (REGIÃO SIMPLES) Eq. 4 Isso nos permite clculr integrl dupl do ldo direito d Equção, como segue: P da y g ( x) g ( x) P ( x, y) dy y [ P( x, g ( x)) P( x, g ( x))] onde o último psso segue do Teorem Fundmentl do álculo. TEOREMA E GREEN (REGIÃO SIMPLES) Vmos gor clculr o ldo esquerdo d Equção, querndo como união ds qutro curvs,, 3, e 4.

3 TEOREMA E GREEN (REGIÃO SIMPLES) Sore tommos x como prâmetro e escrevemos s equções prmétrics como x = x, y = g (x), x Assim, Pxy (, ) P( xg, ( x)) TEOREMA E GREEN (REGIÃO SIMPLES) Oserve que 3 vi d direit pr esquerd, ms 3 vi d esquerd pr direit. TEOREMA E GREEN (REGIÃO SIMPLES) Podemos escrever s equções prmétrics de 3 como: x = x, y = g (x), x Portnto, 3 Pxy (, ) 3 Pxy (, ) Pxg (, ( x)) TEOREMA E GREEN (REGIÃO SIMPLES) Sore ou 4 (qulquer um dels pode se reduzir um único ponto), x é constnte e, ssim, = 0 e 0 Pxy (, ) 4 Pxy (, ) TEOREMA E GREEN (REGIÃO SIMPLES) Portnto, Pxy (, ) Pxy (, ) Pxy (, ) Pxy (, ) 3 4 Pxg (, ( x)) Pxg (, ( x)) Pxy (, ) TEOREMA E GREEN (REGIÃO SIMPLES) omprndo ess expressão com d Equção 4, vemos que Pxy (, ) P da y TEOREMA E GREEN (REGIÃO SIMPLES) A Equção 3 pode ser demonstrd de form semelhnte, exprimindo como região do tipo II. Então, somndo s Equções e 3, otemos o Teorem de Green. vej o Exercício 8. TEOREMA E GREEN EXEMPLO lcule x 4 xy dy onde é curv tringulr constituíd pelos segmentos de ret de (0, 0) (, 0) de (, 0) (0, ) de (0, ) (0, 0)

4 TEOREMA E GREEN EXEMPLO Apesr de ess integrl poder ser clculd pelos métodos usuis d Seção 6., isto envolveri o cálculo de três integris seprds sore os três ldos do triângulo. TEOREMA E GREEN (REGIÃO SIMPLES) EX. Oserve que região englod por é simples e que tem orientção positiv. Em vez disso, vmos usr o Teorem de Green. TEOREMA E GREEN (REGIÃO SIMPLES) EX. Se tomrmos P(x, y) = x 4 e Q(x, y) = xy, então teremos 4 Q P x xy dy da x y x [ y ] ( y0) dy y x y0 ( x) 3 6( x) 0 6 TEOREMA E GREEN EXEMPLO lcule onde é o círculo x + y = 9. A região delimitd por é o círculo x + y 9. TEOREMA E GREEN EXEMPLO Então, vmos mudr pr coordends polres depois de plicr o Teorem de Green: TEOREMA E GREEN Nos Exemplos e, considermos que integrl dupl er mis fácil de clculr que integrl de linh. Tente escrever integrl de linh do Exemplo e você ficrá convencido rpidmente! IREÇÃO INVERSA Ms às vezes é mis simples clculr integrl de linh, e, nesses csos, usremos o Teorem de Green n ordem invers. Por exemplo, se semos que P(x, y) = Q(x, y) = 0 sore um curv, então o Teorem de Green nos dá Q P da P Q dy 0 x y não importndo quis os vlores ds funções P e Q em. IREÇÃO INVERSA Outr plicção d direção invers do Teorem de Green está no cálculo de áres. omo áre de um região é da, desejmos escolher P e Q tis que Q P x y

5 IREÇÃO INVERSA Existem váris possiiliddes: P(x, y) = 0 P(x, y) = y P(x, y) = ½y Q(x, y) = x Q(x, y) = 0 Q(x, y) = ½x IREÇÃO INVERSA Equção 5 Assim, o Teorem de Green dá s seguintes fórmuls pr áre de : IREÇÃO INVERSA EXEMPLO 3 etermine áre delimitd pel elipse x y IREÇÃO INVERSA EXEMPLO 3 Usndo terceir fórmul d Equção 5 temos A elipse tem equções prmétrics x = cos t, y = sen t, 0 t UNIÃO E REGIÕES SIMPLES Apesr de termos demonstrdo o Teorem de Green somente pr o cso prticulr onde é simples, podemos estendê-lo gor pr o cso em que é união finit de regiões simples. UNIÃO E REGIÕES SIMPLES Por exemplo, se é um região como mostrd n Figur 5, então podemos escrever = onde e são ms simples. UNIÃO E REGIÕES SIMPLES A fronteir de é 3. A fronteir de é ( 3 ). UNIÃO E REGIÕES SIMPLES Assim, plicndo o Teorem de Green em e seprdmente, otemos Q P P Q dy da x y ( 3) Q P P Q dy da x y

6 UNIÃO E REGIÕES SIMPLES Se somrmos esss dus equções, s integris de linh sore 3 e 3 se cncelm e otemos Q P P Q dy da que é o Teorem de Green pr x y=, um vez que su fronteir é =. UNIÃO E REGIÕES SIMPLES QUE NÃO SE SOBREPÕEM O mesmo tipo de rgumentção nos permite estelecer o Teorem de Green pr qulquer união finit de regiões simples que não se soreponhm. UNIÃO E REGIÕES SIMPLES EXEMPLO 4 lcule onde é fronteir d região seminulr contid no semiplno superior entre os círculos x + y = e x + y = 4. UNIÃO E REGIÕES SIMPLES EXEMPLO 4 Oserve que, pesr de não ser simples, o eixo y divide em dus regiões simples. Em coordends polres, podemos escrever = {(r, ) r, 0 } UNIÃO E REGIÕES SIMPLES EXEMPLO 4 Portnto, o Teorem de Green fornece REGIÕES OM FUROS O Teorem de Green pode ser plicdo pr regiões com furos, ou sej, regiões que não são simplesmente conexs. Oserve que fronteir d região é constituíd por dus curvs fechds simples e. REGIÕES OM FUROS Admitiremos que esss curvs fronteirs são orientds de modo que região estej à esquerd qundo percorrermos curv. REGIÕES OM FUROS Se dividirmos em dus regiões e pel introdução ds rets, como ilustrdo. Então orientção positiv é nti-horári n curv extern ms é horári n curv intern.

7 REGIÕES OM FUROS E então, plicrmos o Teorem de Green cd um ds regiões e, oteremos: Q P Q P Q P da da da x y x y x y PQdy PQdy ' " ' omo s integris de linh sore fronteir comum são em sentidos opostos, els se cncelm. E otemos: REGIÕES OM FUROS Q P da P Q dy P Qdy x y PQdy que é o Teorem de Green pr região. REGIÕES OM FUROS EXEMPLO 5 Se F(x, y) = ( y i + x j)/(x + y ) mostre que F dr = pr todo cminho fechdo simples que circunde origem. REGIÕES OM FUROS EXEMPLO 5 é um cminho fechdo ritrário contendo origem em seu interior. Logo, é difícil clculr integrl dd diretmente. REGIÕES OM FUROS EXEMPLO 5 Vmos então considerr um círculo, percorrido no sentido nti-horário com centro n origem e rio, onde o escolhido é pequeno o suficiente pr que estej inteirmente contido em. REGIÕES OM FUROS EXEMPLO 5 Sej região limitd por e. Então orientção positiv d fronteir é ( ). REGIÕES OM FUROS EXEMPLO 5 Aplicndo versão gerl do Teorem de Green, temos PQdy PQdy ' Q P da x y y x y x da ( x y ) ( x y ) 0 REGIÕES OM FUROS EXEMPLO 5 Portnto, ou sej, P Q dy P Q dy ' Fdr Fdr ' Agor podemos clculr fcilmente ess últim integrl usndo prmetrizção dd por r(t) = cos t i + sen t j, 0 t

8 REGIÕES OM FUROS EXEMPLO 5 Então, TEOREMA 6 A SEÇÃO 6.3 Admitindo que: emonstrção F = P i + Q j é um cmpo vetoril em um região simplesmente conex. Terminremos est seção utilizndo o Teorem de Green pr discutir um resultdo enuncido n seção nterior. P e Q têm derivds prciis de primeir ordem contínus. P Q em todo o. y x TEOREMA 6 A SEÇÃO 6.3 emonstrção Se é um cminho fechdo simples qulquer em e R é região envolvid por, o Teorem de Green nos dá TEOREMA 6 A SEÇÃO 6.3 emonstrção Um curv que não sej simples se utointercept em um ou mis pontos e pode ser dividid em diverss curvs fechds simples. Mostrmos que s integris de linh de F sore esss curvs simples são tods 0. Somndo esss integris, podemos ver que F dr = 0 pr qulquer curv fechd. TEOREMA 6 A SEÇÃO 6.3 emonstrção Portnto, F dr é independente do cminho em pelo Teorem Segue então que F é um cmpo vetoril conservtivo.