Substituição Trigonométrica. Substituição Trigonométrica. Se a integral fosse. a substituição u = a 2 x 2 poderia ser eficaz, mas, como está,

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. Introdução Se integrl fosse Sustituição Trigonométric d sustituição u poderi ser eficz, ms, como está, d é mis difícil. Prof.: Rogério Dis Dll Riv Sustituição Trigonométric. Introdução.Introdução.Resolução de Eemplos Se mudrmos vriável de pr pel sustituição sen, então identidde sen cos permitiráquenoslivremosdriz,porque sen ( sen ) cos cos. Introdução. Introdução Pr determinr áre de um círculo ou um elipse, um integrl d form d Note diferenç entre sustituição u (n qul um nov vriável é um função d velh) e sustituição sen ( vriável velh é um função d nov). prece, onde > 0.

2 . Introdução. Resolução de eemplos Em gerl podemos fzer um sustituição d form g (t) usndo Regr d Sustituição o contrário. Pr simplificr nossos cálculos, presumimos que g tem um função invers, isto é, g é um um. Nesse cso, se trocrmos u por e por t n Regr d Sustituição, oteremos ( ) f ( ) d f g( t) g ( t) dt Esse tipo de sustituição é chmdo de sustituição invers. Eemplo : Clcule integrl 9 d. Introdução. Resolução de eemplos Podemos fzer sustituição invers sen desde que est defin um função um um. Isso pode ser conseguido pel restrição de no intervlo [-π/, π/]. N tel seguir listmos s sustituições trigonométrics que são eficzes pr s epressões rdicis dds em rzão de certs identiddes trigonométrics. Solução: Sej sen, onde -π/ π/. Então d cos d e 9 9 9sen 9cos cos cos Em cd cso, restrição de é impost pr ssegurr que função que define sustituição sej um um.. Introdução. Resolução de eemplos TABELA DE SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Epressão Sustituição Identidde + sen sen cos [ π, π ] tg + tg sec ( π, π ) sec sec tg [0, π ) ou [ π,π ) OBS: Estes são os mesmos intervlos usdos n definição de funções inverss. Note que cos 0 porque -π/ π/. Então Regr d Sustituição Invers fornece 9 cos d cos d 9sen cos cotg ( cossec ) sen d d d cossec cotg + d d C

3 . Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Como est é um integrl indefinid, devemos retornr à vriável originl. Isso pode ser feito usndo-se s identiddes trigonométrics pr epressr cotg em termos de sen / ou pelo desenho de um digrm, como n figur io, onde é interpretdo como um ângulo de um triângulo retângulo. Eemplo : Determine áre limitd pel elipse y + sen. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Pelo Teorem de Pitágors o comprimento do ldo djcente é 9 Assim podemos ler o vlor de cotg diretmente d figur. cotg 9 Solução: Resolvendo equção d elipse pr y, temos: y y y ( ) y ±. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Como sen sen + C Então Porque elipse é simétric em relção mos os eios, áre totl A é qutro vezes áre do primeiro qudrnte, conforme figur io 9 cotg d + C 9 9 d sen C + y +

4 . Resolução de eemplos. Resolução de eemplos A prte d elipse no primeiro qudrnte é dd pel função y 0 e, dess form A d 0 Mostrmos que áre de um elipse com semi-eios e é π. Em prticulr, tomndo r, provmos fmos fórmul que diz que áre de um círculo de rio r é πr. OBS: Como integrl no Eemplo er definid, mudmos os etremos de integrção e não tivemos de convertê-los de volt à vriável originl.. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Pr vlir ess integrl sustituímos sen. Então d cos d. Pr mudr os limites de integrção notmos que qundo 0, sen 0, logo 0; qundo, sen, ssim π/. Tmém Eemplo : Clcule integrl + d sen cos cos cos já que 0 π/.. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Portnto π / cos cos A d d π / π / cos d ( cos ) d + Solução: Sej tg, -π/ < < π/. Então d sec d e ( ) tg tg sec sec sec π / π + sen π 0

5 . Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Assim, temos d + sec d tg sec d tg sec Usmos figur io pr determinr cossec. tg Assim cossec d + + C + +. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Pr vlir ess integrl trigonométric colocmostudo em termos de sen e cos. tg cos sen sen sec cos cos Eemplo : Clcule integrl + d. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Portnto, fzendo sustituição u sen, temos d cos du sen u d + cossec C C C u sen Solução: Seri possível usr sustituição trigonométric tg qui (como no Eemplo ). Ms sustituição diret u + é mis simples, porque du d e + du d u + C + + C u 5

6 . Resolução de eemplos. Resolução de eemplos OBS: O Eemplo ilustr o fto de que mesmo qundo s sustituições trigonométrics são possíveis, els nem sempre dão solução mis fácil. Deve-se primeiro visulizr um método mis fácil. Portnto, fzendo sustituição u sen, temos d sec tg d tg sec d ln sec + tg + C. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Eemplo 5: Clcule integrl io, onde > 0. d O triângulo d figur io mostr tg. Assim temos sec tg. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Solução: Sej sec, onde 0 < < π/ ou π < < π/. Então d sec tg d e ( ) sec sec tg tg tg d ln sec tg + d ln + + C d + ln + C d ln ln C + + 6

7 . Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Escrevendo C C ln, temos d ln C + + Solução: Primeiro notmos que / ( ) ( ) Logo, sustituição trigonométric é proprid. Emor ( + 9) / não sej etmente um epressão d tel de sustituições trigonométrics, el se torn prte dels qundo fzemos sustituição preliminr u.. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos OBS: As sustituições hiperólics podem ser utilizds no lugr de sustituições trigonométrics e els, às vezes, nos levm resposts mis simples. Ms gerlmente usmos sustituições trigonométrics, porque s identiddes trigonométrics são mis fmilires que s identiddes hiperólics. Qundo cominmos est com sustituição d tngente, temos tg d sec d ( ) + 9 9tg tg + 9sec sec sec. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Eemplo 6: Clcule integrl definid / ( + ) 0 9 / d Qundo 0 tg 0 0 tg π 7

8 . Resolução de eemplos. Resolução de eemplos 7 / π / tg d / 7 sec ( + 9) π / π / 8 sec d tg sen d cos d 6 sec 6 cos ( cos ) π / π / sen sen d sen d 6 cos 6 cos Solução: Podemos trnsformr o integrndo em um função pr qul sustituição trigonométric é proprid completndo o qudrdo. ( ) + ( ) ( ) Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Agor sustituímos u cos de modo que du - sen d. Qundo 0, u ; qundo π/, u /. / π / ( + 9) ( cos ) d 6 cos / / / / / sen d u u ( ) 6 du u 6 u du 6 u du u ( ) 6 + u Isso sugere sustituição u +. Então du d e u, ssim u u du. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Eemplo 7: Clcule integrl Agor sustituímos d u sen du cos d ( ) u sen sen cos cos cos 8

9 . Resolução de eemplos Otendo u d du u ( ) sen d cos + C u u sen + C + sen + C 9

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