Área entre curvas e a Integral definida

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1 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções contínus tis que f(x) g(x) pr todo x [,b]. Vmos desenvolver qui um técnic que permite clculr áre de S. Pr simplificr exposição vmos considerr f(x) = x e g(x) = x 2, definids no intervlo [0,]. O leitor não terá dificulddes em verificr que, pr todo x [0,], vle x x 2. Neste cso, região S é denomind triângulo prbólico e está indic n figur o ldo. A idei pr clculr áre consiste em fzer proximções e, depois, tomr o limite ns proximções. Os pssos seguintes mostrm como fremos s nosss proximções.. Dividimos o intervlo [0,] em n subintervlos de igul comprimento x = n considerndo os pontos 0 = x 0 < x < x 2 < < x n < x n =, em que x k = k/n, pr cd k =,2,...,n. 2. Pr cd k =,2,...,n considermos o retângulo cuj bse é o intervlo [x k,x k ] e ltur é dd l k = f(x k ) g(x k ). Como bse desse retângulo tem comprimento x k x k = = x, su áre é n extmente [f(x k ) g(x k )] x. 3. Podemos gor proximr áre S usndo som ds áres de cd um desses retângulos. A proximção tem seguinte expressão: A n = [f(x ) g(x )] x+[f(x 2 ) g(x 2 )] x+ +[f(x n ) g(x n )] x = [f(x k ) g(x k )] x.

2 As figurs bixo ilustrm esss proximções nos csos em que n = 5, n = 0 e n = 20, respectivmente. n = 5 n = 0 n = 20 Intuitivmente, proximção melhor à medid que quntidde de retângulos ument. Deste modo, áre d região S é dd pelo seguinte limite áre(s) = lim n + A n = lim n + [f(x k ) g(x k )] x. () Vmos clculr áre cim lembrndo que f(x) = x, g(x) = x 2 e que os pontos x k form escolhidos de modo que x k = k/n, pr cd k =,2,...,n. Temos que [ ( ) ] 2 k k A n = [f(x k ) g(x k )] x = n n n = k k 2. (2) n 3 Vmos verificr que cd um dos termos cim possui limite qundo n +. Pr o primeiro, observe que k = (+2+ +n). A mior dificuldde qui é que o termo / tende pr zero qundo n, enqunto som (+2+ +n) clrmente vi pr infinito. Assim, o tentrmos fzer n, temos um indeterminção. El pode ser resolvid se lembrrmos que os termos d som entre prênteses cim formm um progressão ritmétic de rzão, de modo que Logo, podemos fcilmente clculr lim k = n(n+) 2 k = lim n + 2 = 2 ( n+ n ). ( ) n+ =. 2

3 O cálculo do limite que envolve som dos termos do tipo k 2 é um pouco mis delicd. De fto, neste cso os termos que vão sendo somdos não formm um PA, tmpouco um PG. Porém, pode-se mostrr que (vej Vídeo) k 2 = ( ) = n(n+)(2n+). 6 Logo, lim n 3 ( )( ) k 2 n(n+)(2n+) n+ 2n+ = lim = lim = n + n 3 6 n + n 6n 3. Substituindo-se os resultdos dos limites cim em (2) pode-se concluir que áre do triângulo prbólico é áre(s) = lim A n = lim ( ) k k 2 = n 3 ( 2 ) = 3 6. É importnte observr que o procedimento cim vle pr quisquer funções f(x) e g(x) contínus que stisfzem f(x) g(x) em [,b]. Assim, denotndo por S região do plno compreendid bixo do gráfico de f e cim do gráfico de g, temos que áre(s) = lim [f(x k ) g(x k )] x. O procedimento de proximção cim pode ser feito de um mneir gerl. De fto, dd um função contínu f : [,b] R vmosdividir ointervlo [,b] emnsubintervlos de mesmo tmnho x = (b )/n que se interceptm somente (e possivelmente) nos extremos. Pr isto, considermos os pontos = x 0 < x < x 2 <... < x n < x n = b, emquex k = +k x, prcdk =,...,n. Vmosescolher emcdsubintervlo [x k,x k ] um ponto x k rbitrário e considerr som de Riemmn S n = f(x k ) x. 3

4 Observe que som cim depende, de fto, não só do índice n ms tmbém d escolh dos pontos x k s. Contudo, pode-se mostrr que, qundo n +, som cim converge pr um número, qulquer que sej escolh destes pontos. Vmos denotr este limite d seguinte form f(x)dx = lim n + f(x k ) x. O número cim é chmdo integrl definid de f no intervlo [, b]. Definimos ind f(x)dx = 0, f(x)dx = b f(x)dx. A integrl f(x)dx é um número, não dependendo portnto de x. De fto, letr usd no símbolo d integrl não é importnte, de modo que f(x)dx = f(t)dt. Usndo definição de integrl e os rgumentos presentdos no início do texto concluímos que, se f, g : [,b] R são funções contínus tis que f(x) g(x) pr todo x [,b], então áre d região S compreendid entre os gráficos ds funções é extmente áre(s) = [f(x) g(x)]dx. Em prticulr, se f 0 em [,b], podemos tomr g 0 pr concluir que áre bixo do gráfico de f e cim do eixo Ox é dd por f(x)dx. O cálculo de um integrl usndo definição não é um tref simples. De fto, é necessário obter fórmuls que nos permitm mnipulr o somtório que prece n definição de modo conseguir clculr o limite. Contudo, veremos em breve um método que nos permitirá clculr s integris de mneir mis simples. 4

5 Tref Nest tref vmos clculr áre d região delimitd pelos gráficos ds prábols f(x) = (4x x 2 ) e g(x) = x 2, conforme ilustrdo n figur bixo. A primeir dificuldde que encontrmos é que, diferente do exemplo visto no texto sobre áres, não sbemos qui qul é o intervlo [,b] que utilizremos no cálculo, tmpouco qul ds curvs fic por cim d outr. Os pssos seguintes resolvem ess questão:. Determine s soluções d equção f(x) = g(x), chmndo de o menor vlor e b o mior. 2. Pelo Teorem do Vlor Intermediário temos que, em todo o intervlo [,b], um ds funções é sempre mior ou igul à outr. Determine qul dels é mior, clculndo cd um dels em ponto c (,b) e comprndo os dois vlores. Um vez que os gráficos se tocm em somente dois pontos, região S ser considerd é quel que fic bixo d função que está por cim, e cim d que está por bixo, sendo considerdo somente o que ocorre no intervlo [, b]. 3. Proced como no texto pr clculr o vlor d proximção de áre A n obtid qundo dividimos o intervlo [,b] em n subintervlos de tmndo x = (b )/n. 4. Usndo s fórmuls presentds no texto clcule o limite lim n + A n pr obter o vlor d áre. 5. Escrev áre em termos de um integrl definid. 5