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1 Instituto Superior Técnico Deprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LEIC-ALAMEDA o SEM. 7/8 6 FICHA DE EXERCÍCIOS I. Treino Complementr de Primitivs. CÁLCULO INTEGRAL Usndo qulquer um dos métodos de primitivção indicdos nteriormente, determine um primitiv de cd um ds seguintes funções. ) e ( + e ) ) 4) 7) ( + ) 8) e e + e + 3) 5) + + 6) ( + ) 9) ) + 4 ) 3 ) + 3) ( ) ( + ) 3 4) 6) log(cos ) tn 7) sen3 () cos () 9) tn () ) cos 3 () ) rctn ( + ) 5) tn 8) cos 3 () ) sen 3 () 3) rctn 4) rctn( + ) + 5) rctn 6) rctn ( + ) 3 7) rctn( ) 8) log( + ) 9) log( + ) 3) log( + ) 3) rcsen(/) 3) rcsen(/) 33) rcsen( ) 34) e 35) log( + ) 36) (rcsen ) log 37) 38) e log( + e + ) 39) ( + ) ) 4) 4) tn ( + ) ) 44) 45) ( + + ) ( + + ) sen 46) 47) 48) + sen sen + cos sen + cos

2 CDI I - LEIC-ALAMEDA SEM. 7/8 FICHA 6 II. Definição de Integrl e Critérios de Integrbilidde. ) Sejm, b, c, d R, com < b < c < d, e f : [, d] R um função integrável em [, d]. Prove que f é integrável em [b, c]. ) Sej f : [, b] R um função integrável, c [, b] e g : [, b] R um função tl que g() = f(), pr c. Mostre que g é integrável em [, b] e b g = b f. 3) Sejm f, g : [, b] R dus funções tis f() = g() ecepto possivelmente num número finito de pontos. Mostre que se f é integrável em [, b] então g tmbém é integrável em [, b] e b f = b g. 4) Chm-se função seccionlmente contínu um função f : [, b] R que é contínu ecepto num número finito de pontos {c,..., c n }, incluindo possivelmente os etremos e b, e em que todos os limites lteris lim c ± f, lim i + f, lim b f eistem e são finitos. Mostre que se f : [, b] R é um função seccionlmente contínu então f é integrável em [, b]. 5) Sej f : [, b] R um função contínu e não-negtiv. Mostre que se b f = então f é identicmente nul. 6) Sej f : [, b] R um função contínu e não-negtiv (i.e. f(), [, b]). Mostre que se eiste c [, b] tl que f(c) > então b f >. 7) Sej V o espço vectoril ds funções contínus no intervlo [, b]. Dd um função f V considere trnsformção liner T f : V R definid por T f (g) = b f()g() d, g V. Mostre que T f é identicmente nul se e só se f o for. 8) Sej f : [, b] R um função contínu. Mostre que se b f = então eiste pelo menos um ponto c ], b[ tl que f(c) =. 9) Sejm f, g : [, b] R dus funções contínus. Mostre que se b f = b g então eiste pelo menos um ponto c ], b[ tl que f(c) = g(c). ) Considere função h : [, ] R definid por {, se Q h() =, se R \ Q. Mostre que h = d =. O que pode dizer qunto à integrbilidde de h em [, ]? Sugestão: Poderá usr, sem demonstrr, o seguinte fcto: sup h = b, pr todo o intervlo [, b] contido em [, ]. [,b]

3 CDI I - LEIC-ALAMEDA SEM. 7/8 FICHA 6 3 ) Considere função h : [, ] R definid por {, se Q h() =, se R \ Q. Mostre que h = ( ) d =. O que pode dizer qunto à integrbilidde de h em [, ]? Sugestão: Poderá usr, sem demonstrr, o seguinte fcto: inf h = b, pr todo o intervlo [, b] contido em [, ]. [,b] ) Sej F : [, b] R um função definid por F () = f(t) dt, onde f é um função limitd e integrável no intervlo [, b]. Mostre que eiste um constnte K > tl que F () F (y) K y,, y [, b]. 3) Sej f : [, b] R um função integrável tl que m f() M, [, b]. Mostre que b f() d = (b )µ, pr lgum µ R tl que m µ M. 4) Sej f : [, b] R um função contínu. Mostre que b f() d = (b )f(ξ), pr lgum ξ [, b]. 5) Mostre que se f : [, b] R é um função integrável então f : [, b] R tmbém é integrável. 6) Sej f : [, b] R um função limitd. Mostre que se f é integrável em [, ] pr todo o [, b[, então f é integrável em [, b] e b f = lim b f.

4 4 CDI I - LEIC-ALAMEDA SEM. 7/8 FICHA 6 III. Integrl Indefinido e Teorem Fundmentl do Cálculo. ) Sejm f, g : [, b] R dus funções contínus. Mostre que se d f = d g pr c c quisquer c, d [, b], então f() = g(), [, b]. ) Sej f : [, ] R um função integrável em [, ], contínu em [, ] \ {} e com limites lteris finitos em = : f( ) = lim f() e f(+ ) = lim + f(). Mostre que função ϕ : [, ] R definid por ϕ() = f(t) dt é diferenciável em = e que ϕ () = f( ) + f( + ). ϕ() Sugestão: pr clculr lim deverá usr primeiro regr de Cuchy e nlisr em seguid os csos e + seprdmente. 3) Considere função F : R + R definid pel identidde: F () = t e t + t dt. () Mostre que F (/) = F (), pr todo o R +. (b) Mostre que F é diferenciável em R + e clcule F () pr todo o R +. 4) Sej f : R R um função contínu e F : R R função definid por F () = f(t) dt. Mostre que F é diferenciável em R e clcule F () pr todo o R. 5) Sendo F função definid em R pel seguinte epressão, clcule F () pr todo o R. () F () = sen t dt (b) F () = log( + t ) dt (c) F () = 6) Mostre que os vlores ds seguintes epressões não dependem de. () + t dt + / dt (b) + t sen cos 7) Considere função F : R R, definid pel fórmul Mostre que F () = e t dt. F () d = F () + e. t e +t t + dt dt, [, π/]

5 CDI I - LEIC-ALAMEDA SEM. 7/8 FICHA 6 5 8) Sej f : R R um função contínu. Mostre que f é ímpr (i.e. f() = f( ), R) se e só se f(t) dt =, R. 9) Sej f : R R um função contínu. Mostre que f é pr (i.e. f() = f( ), R) se e só se f(t) dt = f(t) dt, R. ) Determine um função diferenciável f : R R, pr, tl que log( + f()) = e t + f( t) dt. ) Determine únic função diferenciável f : R R, não identicmente nul, que stisfz equção ( f 3 (t) dt = f(t) dt). ) Determine únic função diferenciável f : R R, pr e não identicmente nul, que stisfz equção f () = f( t) dt. 3) Sej f : R R um função contínu, com f() < pr todo o R. Justifique que função ϕ : R R, definid por ϕ() = 3 f(t) dt, é diferenciável e mostre que ϕ () <, R. 4) Sej f : R R um função contínu, com f() > pr todo o R. Justifique que função ϕ : R R, definid por ϕ() = 3 f(t) dt, é diferenciável e mostre que ϕ () >, R. 5) Determine um função diferenciável f : R R, não nul, tl que f () = f(t) t + t dt. 6) Determine um função diferenciável f : R R, não nul, tl que f () = f(t) t + t dt.

6 6 CDI I - LEIC-ALAMEDA SEM. 7/8 FICHA 6 7) Determine um função diferenciável f : R R, não nul, tl que f () = f(t) sen t cos t dt. 8) Determine um função diferenciável f : R R, não nul, tl que f () = π f(t) cos t + sen t dt. 9) Determine um função diferenciável f : R R, ímpr e não identicmente nul, tl que (f()) 3 = f (t) cos(t) dt. ) Determine um função diferenciável f : R R, ímpr e não identicmente nul, tl que (f()) 3 f (t) = + t dt. ) Determine um função contínu f : R R e um constnte k R tl que f(t) dt = t 4 f(t) dt k. ) Determine um função contínu f : R R e um constnte k R tl que f(t) dt = t f(t) dt k. 3) Determine um função diferenciável f : R R tl que cos(f()) = sen(f( t)) cos(t) dt. 4) Determine um função diferenciável f : R R tl que sen(f()) = cos(f( t)) sen(t) dt. 5) Determine um função diferenciável f : R R, positiv, tl que log(f()) = t f(t) + t dt. 6) Determine um função diferenciável f : R R, positiv, tl que log(f()) = t f(t) ( + t ) dt.

7 CDI I - LEIC-ALAMEDA SEM. 7/8 FICHA 6 7 IV. Regr de Brrow e Cálculo de Áres. ) Determine áre d região pln D R limitd pels curvs y = e, y = e =. ) Determine áre d região pln D R limitd pels curvs y = e, y = + e =. 3) Determine áre d região pln D R limitd pels curvs y = e, y = e =. 4) Determine áre d região pln D R limitd pels curvs y = ( )e, y = e =. 5) Determine áre d região pln D R limitd pels curvs y = log, y = e y =. 6) Determine áre d região pln D R limitd pels curvs y = log( + ), y = log( + ) e = e. 7) Determine áre d região pln D R limitd pels curvs y = log( + ), y = log( + ) e = e. 8) Determine áre d região pln D R limitd pels curvs y = π e y = cos. 4 9) Determine áre d região pln D R limitd pels curvs y =, y = e y =. ) Determine áre d região pln D R limitd pels curvs y = e, y = e e =. ) Determine áre d região pln D R limitd pels curvs y = log( + ) e y = log(). ) Determine áre do conjunto dos pontos (, y) R cujs coordends verificm s condições π e y sen. 3) Determine áre do conjunto dos pontos (, y) R cujs coordends verificm s condições π e y cos.

8 8 CDI I - LEIC-ALAMEDA SEM. 7/8 FICHA 6 4) Determine áre do conjunto dos pontos (, y) R cujs coordends verificm s condições e e y ( + log ()). 5) Determine áre do conjunto dos pontos (, y) R cujs coordends verificm s condições e e y. log () 6) Determine áre do conjunto dos pontos (, y) R cujs coordends verificm s condições 3 e y. + 7) Determine áre do conjunto dos pontos (, y) R cujs coordends verificm s condições 3 e y ) Determine áre do conjunto dos pontos (, y) R cujs coordends verificm s condições e y ( + ) +. 9) Determine áre do conjunto dos pontos (, y) R cujs coordends verificm s condições e y ( + 3) +. ) Determine áre do conjunto dos pontos (, y) R cujs coordends verificm s condições e y ( + ) +. ) Determine áre do conjunto dos pontos (, y) R cujs coordends verificm s condições log e y + e. ) Determine áre do conjunto dos pontos (, y) R cujs coordends verificm s condições log e y 3 e.

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