Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Teoremas Fundamentais do Cálculo

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1 MAT46 - Cálculo I - Teorems Fundmentis do Cálculo Alexndre Mirnd Alves Anderson Tigo d Silv Edson José Teixeir

2 Os Teorems Fundmentis do Cálculo Os próximos teorems fzem conexão entre os conceitos de ntiderivd e de integrl definid. Sej f um função contínu no intervlo fechdo [, b]. Então existe integrl b f (x)dx, que depende somente d função f e dos números e b e não do símbolo x (chmdo vriável mud). Se < x < b, então f tmbém é contínu no intervlo [, x], pois é contínu em [, b]. Isto implic que integrl x (, b). x f (t)dt existe pr cd

3 x Nesse sentido, cujo vlor funcionl é ddo por f (t)dt define um função F, definid no intervlo [, b], F (x) = x f (t)dt. Note que vriável mud n integrl cim é t. A função F depende d vriável x e não d vriável t.

4 Teorem ((8) - (Primeiro Teorem Fundmentl do Cálculo)) Sej f um função contínu no intervlo fechdo [, b] e sej x [, b]. Defin F (x) = Então F é derivável e lém disso, x f (x)dx. F (x) = f (x). () (Note que F () = f +() e F (b) = f (b).)

5 Observção O Teorem (8) estbelece que integrl definid x f (t)dt é um ntiderivd de f. A equção () do Teorem (8), pode ser escrit d seguinte form d x f (t)dt = f (x), dx onde F (x) foi substituido por d dx x f (t)dt.

6 Exemplo (9) Clcule dy dx, onde y(x) = Solução: dy dx = d dy 3 x ( 3 tcos(t)dt. x x = d ( dx 3 = xcos(x). ) tcos(t)dt ) tcos(t)dt

7 Exemplo () Clcule dy dx, onde x y(x) = cos(t)dt. Solução: Note que o limite superior de integrção não é x, ms x. Neste cso y é um função compost y = u Devemos então plicr regr d cdei cos(t)dt e u = x. dy dx = dy du du dx = ( d du u = cos(u) du dx = cos(x ).x. ) du cos tdt dx

8 Teorem ((9) - (Segundo Teorem Fundmentl do Cálculo)) Sej f um função contínu no intervlo fechdo [, b] e sej g um função tl que g (x) = f (x) pr todo x [, b]. Então b f (t)dt = g(b) g().

9 Exemplo ()(Revisitndo os exemplos (3) e (4)) Clcule 3 x dx. Solução: Pelo TFC temos que 3 x dx = x 3 3 ] 3 = 33 3 = 9.

10 Exemplo () Clcule 4 (x 3 + 3x 5)dx Solução: Usndo os teorems (8) e (9), temos 4 (x 3 + 3x 5)dx = 4 x 3 dx + 3 = x x 3 5x 4 ] 4 x dx 5 4 = ( ) ( 4 + 5) = 4 = dx

11 Exemplo (3) Clcule dx x + dx Solução: dx x + dx = rctg(x) ] = rctg() rctg() = π 4 = π 4

12 Exemplo (4) Clcule 3 x + xdx Solução: Antes de plicr os limites de integrção, precismos sber qul é integrl indefinid (ntiderivd) de x + xdx Fçmos u = + x, ssim u = + x e dx = udu. Substituindo, obtemos x + xdx = (u )u(udu) = (u 4 u )du

13 = 5 u5 3 u3 + c = 5 ( + x) 5 3 ( + x) 3 + c Portnto, integrl definid é 3 x + xdx = 5 ( + x) 5 ] 3 3 ( + x) 3 = 5 (4) 5 3 (4) 3 5 () () 3 = = 6 5

14 Regr d Substituição A seguinte fómul, que segue d Regr d Cdei pr ntidiferencição e do TFC, pode sr usd pr clculr integris como do Exemplo (4). b f (g(x))g (x)dx = g(b) g() f (u)du ()

15 Vejmos plicção d fórmul (4) no exemplo (4): Sej u = + x, ssim u = + x e dx = udu. Além disso, qundo x = temos que u = e qundo x = 3 temos u =. Então, 3 x + xdx = (u 4 u )du = 5 u5 3 u3] = = 6 5

16 Exemplo (5) Clcule π sen 3 (x)cos(x)dx Solução: Fçmos u = sen(x), ssim du = cos(x)dx. Qundo x = tem-se u = e qundo u = π então u =. Substituindo, obtemos π sen 3 (x)cos(x)dx = = u4 4 ] u 3 du = 4

17 Aplicção Definição Suponh que f sej um função integrável em [, b]. O vlor médio de f em [, b] é chmdo de Médi e é ddo por Medi(f ) = b b f (x)dx Exemplo (6) Sej f (x) = 4 x. Clcule médi de f em [, ]. Solução: Medi(f ) = b b f (x)dx = Medi(f ) = 4 x dx ( )

18 Fç x = sen(t), ssim dx = cos(t)dt. Pr x = tem-se t = π e pr x = tem-se t = π. 4 x dx = 4 4 Portnto, Vej figur bixo. = 4 = π π π π 4 x dx 4 4sen (t)cos(t)dt = 4 4 π + cos(t) dt = = (t + sen(t)) ] π Medi(f ) = π π ( π π π cos (t)dt dt + π π cos(t)dt = (π ( π ) ) = π )

19 y f (x) = 4 x y = π x Figur : Observe que áre do semicírculo cim é π, que é mesm áre do retângulo com bse no intervlo [, ] e ltur igul Medi(f ) = π.