AULA 1 Introdução 3. AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5. AULA 3 Integrais indefinidas 7. AULA 4 Integração por substituição 9

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1 Integris (volume )

2 Índice AULA Introdução AULA Proprieddes e teorem fundmentl do cálculo 5 AULA Integris indefinids 7 AULA 4 Integrção por sustituição 9 AULA 5 Integrção por prtes Integris (volume )

3 Introdução AULA Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento mis usdo foi o método d exustão, que consiste em proximr figur dd por meio de outrs, cujs áres são conhecids. A integrl surge desse prolem. Com el conseguimos determinr áre de um região pln S, delimitd pelo gráfico de um função contínu não negtiv f, pelo eixo x e por dus rets verticis x = e x =. Vmos proximr áre d região S por retângulos, fzendo som ds áres dos retângulos. A figur seguinte ilustr áre d região S com lguns retângulos: Dividimos o intervlo [, ] em n prtes iguis, ou sej, colocmos n retângulos n região, cd um terá mesm se x onde x = n Dess mneir, o intervlo [, ] fic dividido em n suintervlos de distânci x: [x, x ], [x, x ], [x, x ],..., [x n, x n ] onde x = e x n =. Assim, s extremiddes direits dos suintervlos são: x = + x x = + x x = + x x n = + n x Clculndo o vlor d função em cd extremidde direit dos suintervlos, temos ltur de cd retângulo. Logo, som ds áres dos n retângulos, que indicremos por S n é dd por: S n = f(x ) x + f(x ) x + + f(x n ) x Temos um somtório, isso pode ser escrito como: n f(x i ) x i= Por fim, note que medid em que n cresce, ou sej, qunto mis retângulos colcomos n região, mis som ds áres dos retângulos se proxim d áre d região S, de modo que se n tender infinito, esse somtório tende áre d região S. Portnto, st clculr o limite desse somtório qundo n tende infinito, e chegmos n integrl definid de f(x) de, representd por : f(x)dx = lim f(x i ) x n Oservções: n i= Esse limite é conhecido como Som de Riemnn. é o sinl de integrl, introduzido por Leiniz, é um s longdo pois um integrl é um limite de soms. N notção f(x)dx, f(x) é chmdo de integrndo, e são os limites de integrção inferior e superior, respectivmente, e dx indic que integrção (procedimento de clculr integrl) é em relção vriável x. Integris (volume )

4 EXERCÍCIO RESOLVIDO ) 8/ Clcule x dx utilizndo definição. EXERCÍCIOS - Esoçe região cuj áre está representd pel integrl definid em seguid clcule integrl pel definição. 4 ) dx ANOTAÇÕES ) (x + ) dx ) (x ) dx GABARITO ) 6 ) 5/ Integris (volume ) 4

5 AULA Proprieddes d integrl definid D definição de integrl definid decorrem lgums proprieddes que vmos dmitir como verddeirs sem demontrá-ls: ) f(x) dx ) f(x) dx = ) c dx = f(x) dx = ( )c, onde c é um constnte 4) [f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± 5) cf(x) dx 6) f(x) dx g(x) dx = c f(x) dx, onde c é um constnte c = f(x) dx + f(x) dx c onde c é um ponto entre e Teorem fundmentl do cálculo O teorem fundmentl do cálculo nos possiilitrá resolver integris de um mneir em mis prátic, sem precisr utilizr definição. Primeiro, vmos definir função primitiv. Dd um função f(x), su primitiv, representd por F(x), é outr função tl que su derivd é f(x), ou sej, F (x) = f(x). Por exemplo, se f(x) = x, F(x) = x. O teorem fundmentl do cálculo, de um mneir em simples, diz que o resultdo d integrl definid f(x) dx é ddo por F() F(), onde F(x) é um primitiv de f. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - Sendo que f(t)dt = f(t) dt = 9, clcule f(t) dt. Clcule x dx e x Se g(u) du g(). EXERCÍCIOS - Clcule integrl definid. ) 4 dx 4 ) x dx 4 ) x dx 4) (x + 5)dx 5 5) (5 x)dx = x + x, determine 6) ( x + 4x ) dx Integris (volume ) 5

6 4 7) (5 t + t ) dt 8) x dx 9) x dx π ) cos θ dθ π GABARITO ) ) 8 ) 4 4) 4 5) 5/ 6) 4/ 7) 6 8) / 9) ln ln ) ANOTAÇÕES Integris (volume ) 6

7 Integrl indefinid AULA A integrl indefinid é quel que não possui limites de integrção, seu resultdo não é um número, como n integrl definid, ms sim um fmíli de funções. A notção f(x) dx é trdicionlmente usd pr primitiv de f, e é chmd integrl indefinid. Logo, f(x) dx = F(x), isso signific que F (x) = f(x). Por exemplo: x dx = x Note que ess constnte pode ter qulquer vlor que derivd sempre result x. Portnto, um integrl indefinid é um fmíli de funções, pois existe um primitiv pr cd vlor d constnte. Integris indefinids fundmentis A tel seguir fornece s integris indefinids fundmentis, que devemos conhecer pr poder integrr qulquer função, inclusive s mis complexs que veremos mis frente. Tods els podem ser verificds derivndo-se o segundo ldo d iguldde e otendo-se o integrndo. k dx = kx x n dx = xn+, (n ) n + sec x tg x dx = sec x cosssec x cotg x dx = cossec x Tmém são válids s seguintes proprieddes: cf(x) dx = c f(x) dx [f(x) ± g(x)] dx = f(x) dx ± g(x) dx EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Determine integrl indefinid. ) x dx ) 4 x dx ) 4 + u u du EXERCÍCIOS 5 Encontre integrl indefinid. x dx = ln x ) x 5 dx e x dx = e x x dx = x ln sen x dx = cos x cos x dx = sen x ) x( + x 5 ) dx ) x + x dx 4) x x x dx 5) sec θ tg θ dθ sec x dx = tg x cossec x dx = cotg x Integris (volume ) 7

8 6 Clcule integrl. 6) t 4 dt 7) x 4 5 dx π 4 8) sec t dt π 9) (sen x e x ) dx ) v + v 6 v 4 dv GABARITO ) x ) x + x7 7 ) x x 4) x 4 x 5) sec θ 6) 7 8 7) 5 9 8) 9) 5 e π ) ln + 7 ANOTAÇÕES Integris (volume ) 8

9 AULA 4 Integrção por sustituição N ul nterior vimos s integris fundmentis, porém, n miori ds funções não teremos de imedito um integrl fundmentl, será necessário plicr lgum técnic pr chegr em lgo que possmos integrr. A primeir técnic é integrção por sustituição, que consiste num mudnç de vriável, gerndo lgo que possmos integrr. Oserve os exemplos. Exemplo : Clcule x + dx Bst fzer um sustituição de vriável trocndo x + por u. u = x + Devemos gor derivr os dois ldos d iguldde, encontrndo dx: Sustituindo n integrl u = x + du = dx dx = du (u) du = (u) du Chegmos ssim em lgo que semos integrr, é um integrl fundmentl, fic (u) = (u) E finlmente, sustituímos u retornndo pr vriável originl, logo x + dx = (x + ) Exemplo : Clcule x x + dx Nesse exemplo, devemos fzer u = x +. u = x + du = x dx dx = du x Fzendo sustituição, integrl fic x u du x Note que o numerdor x, que ficou for d sustituição, será simplificdo com o x que surgiu n derivd de u, ssim, não terá x no integrndo, ficrá pens n vriável u, em lgo possível de integrr, esse é o ojetivo. Portnto Exemplo : u du = ln u + c x x + dx = ln x + + c Clcule x e 4x dx Agor, u = 4x, pois derivd de u result x, que simplificrá o x. u = 4x du = x dx dx = du x Fzendo sustituição, temos x e u ( du x ) = x e u ( du x ) Logo = eu du = (eu ) x e 4x dx = (e 4x ) Integris (volume ) 9

10 Exemplo 4: Clcule cos (x)sen(x) dx Fzemos u = cos (x), pois du = sen(x) dx, simplificndo o ftor sen(x). Sustituindo n integrl Assim u = cos(x) du = sen(x) dx dx = du sen(x) u sen(x) ( du sen(x) ) u du = u cos (x)sen(x) dx = cos (x) EXERCÍCIOS e Clcule integrl definid. dt ) ( t) ) xe x dx - Clcule integrl indefinid por sustituição. ) dx 5 x 4) e 5x dx 7) x(4 + x ) dx e u 8) ( e u ) du (ln x) 9) x dx cos(x) ) ( + sen(x)) 5 dx ) ) e + ) ln 5 x 4) e5x 5 5) cos(x ) 6) ( x ) GABARITO 7) (4 + x ) 8) ex (ln x) 9) ) 4(sen x + ) 4 ANOTAÇÕES 5) xsen(x ) dx 6) x x dx Integris (volume )

11 Integrção por prtes AULA 5 A integrção por prtes será útil n resolução de lgums integris que presentm um produto de dus funções no integrndo. Inicilmente vmos lemrr d derivd de um produto de funções: [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) Dess mneir, integrl do segundo ldo d iguldde é o produto ds funções, ou sej: [f (x)g(x) + f(x)g (x)] dx = f(x)g(x) Exemplo : Clcule xe x dx A função e x é um exponencil, funções exponenciis são s últims n ordem de escolh de u, pois sus derivds resultm própri função (no cso de e x ) ou té mesmo um função mis complicd (no cso de x ). Assim, escolhemos u = x e consequentemente dv = e x dx, dess mneir du = dx e v = e x, logo: xe x dx = x ex ex dx Agor podemos rir som em dus integris e isolr um dels: f (x)g(x) dx + f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx Pr simplificr, sej u = f(x) e v = g(x), ssim temos um fórmul pr clculr integrl de udv Exemplo : = x ex ex dx = xex ex = xex ex 4 u dv = uv v du Clcule ln x dx Portnto, integrção por prtes servirá pr integrr um produto de dus funções, onde um dels será função u, que precisremos derivr, e outr será função dv, ou sej, derivd d função v, que teremos de integrá-l pr descorir v. Note que plicndo integrção por prtes, um nov integrl é gerd, nosso ojetivo é fzer com que el sej mis simples que integrl inicil, pr isso é importnte escolher dequdmente quem será função u. Então surge dúvid: como serei qul função escolher pr u e consequentemente pr dv? Bem, devemos escolher pr u, função cuj derivd se torn mis simples que própri função. Existe um mcete que jud ness escolh, lemre-se d plvr LIATE, que trz s iniciis de diferentes tipos de funções, onde seguimos ordem de precedênci de L té E, n escolh de u, onde: Logrítmics Inverss de trigonométrics Algérics Trigonométrics Exponenciis Agor escolhemos u = ln x e dv = dx, encontrndo du = x dx e v = x. Aplicndo sustituição por prtes: ln x dx = xln x x x dx = xln x x Oservção: A integrl que surge no desenvolvimento d integrção por prtes pode necessitr de um nov plicção de integrção por prtes ou um sustituição pr su resolução, nem sempre será imedit. Exemplo : Encontre (x + x) cos x dx Utilizndo o mcete LIATE, função lgéric prece ntes d trigonométric, logo, escolhemos u = x + x e dv = cos x dx, onde du = x + dx e v = sen x. (x + x) cos x dx Integris (volume )

12 = (x + x)sen x sen x(x + ) dx A integrl otid não é imedit, pr resolvê-l, precismos plicr um nov integrção por prtes, onde u = x + e dv = sen x dx, ssim, du = dx e v = cos x. Logo, sen x(x + ) dx = (x + )( cos x) cos x dx = (x + )( cos x) + cos x dx = (x + )( cos x) + sen x (x + x) cos x dx = (x + x)sen x sen x(x + ) dx = (x + x)sen x [(x + )( cosx) + senx] = (x + x)sen x + (x + )cosx senx EXERCÍCIOS Clcule integrl indefinid. ) xsen x dx 9) t t 4 dt ) cos x ln(sen x) dx Dic: Primeiro fç um sustituição e em seguid use integrção por prtes. GABARITO ) xcos x + sen x ) x ln x x 9 ) xe x e x 5x cos (5x) + sen (5x) 4) 5 5) xln(x) x 6) x e x xe x e x 7) t cos(t) + tsen(t) 8) x(ln x) xln x + x 9) (x 4) (x 4) ) sen x[ln(sen x) ] + cos(t) C 4 ) x ln x dx ) xe x dx 4) xsen 5x dx REFERÊNCIAS STEWART, Jmes. Cálculo, vol.. 7. ed. São Pulo, Cengge Lerning. 5) ln x dx 6) x e x dx 7) t sen t dt 8) (ln x) dx Integris (volume )