INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

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1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois tomrmos o limite ds áres desses retângulos à medid que umentmos o número de retângulos (semelhnte definição de ret tngente em que proximção é feit por rets secntes e então tommos o limite desss proximções). Exemplo: Use retângulos pr estimr áre so práol y = x no intervlo [0, 1]. Oserve que áre de S deve estr entre 0 e 1, pois S está contid em um qudrdo com ldos de comprimento 1. Suponh que S sej dividid em qutro fixs S 1, S, S 3, e S 4 : Aproximndo cd fix por um retângulo com se igul à lrgur d fix e lturs definids pelo vlor d função f(x) = x ns extremiddes direits dos suintervlo, temos:

2 Se R 4 for som ds áres dos retângulos proximdos, teremos: ( ) ( ) ( ) Oserve que áre A d região S é menor que R 4, ou sej, A < 0, Tmém poderímos usr os retângulos menores pr proximr áre de S. Neste cso, s lturs ssumirim os vlores de f ns extremiddes esquerds dos suintervlos. A som ds áres desses retângulos é: ( ) ( ) ( ) Dest form: 0,1875 < A < 0, Repetindo esse procedimento com um número mior de fixs, por exemplo, S dividid em oito fixs com mesm lrgur: L 8 = 0, < A < 0, = R 8

3 Usndo n retângulos cujs lturs são encontrds com s extremiddes esquerds (L n ) ou com s extremiddes direits (R n ), mos, L n e R n se tornm proximções cd vez mis próxims e melhores à áre de S. Em prticulr, vemos que usndo 50 fixs áre está entre 0,334 e 0,3434. Com 100 fixs áre está entre 0, e 0, e, com fixs A está entre 0, e 0, Fzendo um estimtiv, temos que: A 0, Portnto, definimos áre A como o limite ds soms ds áres desses retângulos. Isto é: Dest form, pr definir áre de um figur pln qulquer S, delimitd pelo gráfico de um função contínu não negtiv f, pelo eixo x e por sus rets x = e x =, começmos por sudividir S em n fixs S 1, S,, S n de igul lrgur.

4 A lrgur do intervlo [, ] é, ssim, lrgur de cd um ds n fixs é: Esss fixs dividem o intervlo [, ] em n suintervlos [x 0, x 1 ], [x 1, x ], [x, x 3 ],..., [x n-1, x n ], em que x 0 = e x n =. Aproximndo i-ésim fix S i por um retângulo com lrgur x e ltur f(x i ), áre do i-ésimo retângulo é f(x i ) x. A áre proximd de S é otid pel som ds áres desses retângulos, que é R n = f (x 1 ) x + f (x ) x + + f (x n ) x À medid que o número de fixs ument, isto é, qundo n, proximção d áre fic melhor. Definição 1 A áre d região S que está so o gráfico de um função contínu f é o limite d som ds áres dos retângulos: f (x 1 ) x + f (x ) x + + f (x n ) x] Em vez de usrmos s extremiddes dos retângulos, podemos tomr ltur do i - ésimo retângulo como o vlor de f em qulquer número no i ésimo suintervlo [x i-1, x i ]. Logo, um expressão mis gerl pr áre S é: f ( ) x + f ( ) x + + f ( ) x] =

5 Integrl Definid Definição Se f(x) um função definid e contínu no intervlo rel [, ], dividimos o intervlo [, ] em n suintervlos de comprimentos iguis x. Sej, i = 1,..., n. Então, integrl definid de f, de té é Oservções: Se o limite existe, dizemos que f é integrável em [, ]. N notção, é o limite inferior de integrção, é o limite superior de integrção e f (x) é o integrndo. A integrl definid é um número. A som é chmd som de Riemnn, em homengem o mtemático Bernhrd Riemnn ( ). Qundo f é contínu e não negtiv em [, ] definição de integrl definid coincide com definição de áre (definição 1). Assim, integrl definid é áre d região so o gráfico de f de té. Teorem: Se f é contínu em [, ], então f é integrável em [, ]. Proprieddes d integrl definid Sejm f (x) e g(x) funções integráveis em [, ]. 1. kf ( x) dx k f ( x) dx.. f ( x) g( x) dx f ( x) dx g( x) dx. c < c <. 3. f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx, c 4. Pr todo x em [, ], se f (x) 0, então f ( x) dx Pr todo x em [, ], se f (x) g (x), então f ( x) dx g( x) dx.

6 . 6. Se >, então f ( x) dx f ( x) dx 7. Se =, então f ( x) dx 0. O teorem fundmentl do cálculo nos permite relcionr s operções de derivção e integrção. Teorem Fundmentl do Cálculo Se f (x) é um função contínu no intervlo [, ] e F (x) = f (x), então: f x dx F x F F Exemplos:. 3 x dx cos x dx c. 1 3 ( 1) 0 x x dx d. e x dx 0

7 Mudnç de vriáveis pr integris definids Existem dus mneirs pr clculr integrl definid utilizndo o método d sustituição. Um dels consiste em clculr integrl indefinid e então utilizr o teorem fundmentl do cálculo. A outr mneir consiste em reclculr os limites de integrção o fzer mudnç de vriável. Exemplos: 4. x 1dx x x dx Exercícios 1 Clculr s seguintes integris: ) 1 (6x 1) dx ) 1 ( x 3x ) dx c) 1 (3x ) dx d) 1 4 ( x x ) dx e) 1 0 dx dx 3x 1 f ) 4 0 (x 1) 1 dx

8 Cálculo de áres Cso I. Cálculo d áre d figur pln limitd pelo gráfico de f, pels rets x =, x = e o eixo x, em que f é contínu e f(x) 0, x [, ]. Neste cso, áre é dd por: Cso II. Cálculo d áre d figur pln limitd pelo gráfico de f, pels rets x =, x = e o eixo x, em que f é contínu e f(x) 0, x [, ]. Neste cso, áre é dd por: Exemplos: 1) Encontre áre d região limitd pel curv y = x + 1, pelo eixo x e pels rets x = 1 e x =3.

9 ) Encontre áre d região limitd pelo eixo x e pel função f(x) = x 4x no intervlo [1, 3]. 3) Encontre áre d região limitd por f(x) = x 3 x 5x + 6 no intervlo [, 3]. Cso III Áre de regiões entre curvs A áre d região é limitd pelos gráficos de f e g e pels rets x = e x =. As funções f e g são definids e contínus em [, ] e f (x) g(x), x[,]. i) f (x) 0, g(x) 0 e f (x) g(x), x[,]. Neste cso, áre é dd por:

10 ii) f (x) 0 e g(x) 0 x[,]. Neste cso, áre é dd por: iii) f (x) 0, g(x) 0 e f (x) g(x), x[,]. Neste cso, áre é dd por: Exemplos: 1) Encontre áre limitd pels curvs f(x) = x + 4x e g(x) = x. ) Encontre áre limitd pels curvs f(x) = x 1 e g(x) = x + 1.

11 3) Encontre áre limitd pels curvs f(x) = x 3 e g(x) = x. 4) Encontre áre limitd pels curvs y =x e y = x 5 5) Encontre áre limitd pels curvs f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x), x 4 9 4

12 Exercícios 1 Encontre áre d região limitd pels curvs dds: ) x = ½; x = y ; y = - x + Resp. 1/3 ) y = 5 x ; y = x + 3 Resp. 9/ c) x + y = 3; y + x = 3 Resp. 1/6 d) x = y, y x =, y = - e y = 3; A= 115/6 e) y = sen(x) e y = - sen(x); x 0, Resp. 8 f) y = 1 x ; y = - 3 Resp. 3/3 Encontrr s áre d região S 1 : g) y = 1/6x ; y = 6 Resp. 48 h) y = cos(x); y = -cos(x); 3 x ; Resp. 8 i) y = e x ; x = 0; x = 1; y = 0 Resp. e 1 j) y = ln x; y = 0; x = 4 Resp. 8ln 3 k) y = 4 x ; y = x 14 Resp. 7 Teorem do vlor médio pr integris Se f é um função contínu em [, ], existe um ponto z entre e tl que: f ( x) dx ( ). f ( z) 1 ou sej, existe z [, ] tl que f ( z) f ( x) dx. Interpretção geométric Se f (x) 0, x [, ], então áre so o gráfico de f é igul à áre do retângulo de ldos ( ) e ltur f (z). 1 Oservção: O vlor médio de f em [, ] é ddo por VM f ( x) dx.

13 Exemplos 1. Um pesquisdor estim que t hors depois d mei-noite, em um período típico de 4 hors, tempertur (grus Celsius) em cert cidde é dd por T(t) =, 0 t 4. Qul é tempertur médi n cidde entre s 6:00 e 16:00 hors?. Encontre o vlor médio de no intervlo [ 1,8] e determine o vlor de z que corresponde o vlor médio de f.

14 Comprimento de rco de um curv pln usndo equções crtesins A representção gráfic de um função y = f(x) num intervlo [, ] pode ser um segmento de ret ou um curv qulquer. A porção de curv do ponto A(, f()) o ponto B(, f()) é chmd rco. Pr encontrr o comprimento de um curv, fremos um proximção por um poligonl e, então, tomremos o limite qundo o número de segmentos d poligonl ument. Sej um curv C sej definid pel equção y = f (x), em que f é contínu e x. Otemos um poligonl de proximção pr C dividindo o intervlo [,] em n suintervlos com extremiddes x 0, x 1,..., x n e com lrgurs iguis x. Se y i = f (x i ), então o ponto P i (x i, y i ) está em C e poligonl com vértices P 0, P 1,..., P n, é um proximção pr C. proximção fic melhor qundo n ument. Como poligonl é formd por segmentos de ret, é possível clculr o comprimento de cd segmento. Dest form, o comprimento d poligonl é clculdo por: Como f é derivável em [,], podemos plicr o teorem do vlor médio (pr derivds!!) em cd intervlo [x i-1 x i ], i = 1,...,n e descorimos que existe um número x i * entre x i 1 e x i tl que f (x i ) f (x i 1 ) = f (x i *)(x i x i 1 ) Sustituindo este resultdo n equção de L n, temos: ( )

15 Qundo n, x 0 e L n tende o comprimento d curv C de té. Definição: Sej C um curv de equção y = f(x), em que f é um função contínu e derivável em [, ]. O comprimento de rco d curv C, do ponto A(, f()) o ponto B(, f()), denotdo por s, é ddo por: se este limite existir. Como f (x) é contínu em [, ], o limite existe. Logo, pel definição de integrl definid: s f x dx Exemplos: 1. Clcule o comprimento do rco d curv dd por y = x 3/ 4 entre os pontos (1, -3) e (4, 4).

16 . Clcule o comprimento do rco d práol semicúic y = x 3 entre os pontos (1, 1) e (4, 8). 3. Determine o comprimento d curv pr x 4.

17 Se um curv tem equção x = g(y), c y d e g (y) contínu, então, o comprimento do rco d curv C é ddo por: s g y dy c d Exemplo: 1. Determine o comprimento do rco ddo por pr 1 y 3.

18 Comprimento de rco de um curv pln usndo equções prmétrics Pr clculr o comprimento de rco de um curv C dd n form prmétric, usmos s equções: { em que x = x(t) e y = y(t) são contínus com derivds contínus e x (t) 0 pr todo t [t 0, t 1 ]. Ests equções definem um função y = f(x), cuj derivd é dd por: A prtir de um mudnç de vriáveis n equção, clculmos o comprimento de rco de um curv. Sej x = x(t) e dx = x (t)dt, otermos: [ ] em que x(t 0 ) = e x(t 1 ) =. Portnto, o comprimento de rco de um curv C dd n form prmétric é ddo por: s x t y t dt t t Exemplo: 1. Clcule o comprimento do rco ddo pel equção {

19 . Determine o comprimento do rco d hipociclóide {.

20 Áre de um região pln O cálculo d áre de um região pln pode ser relizdo qundo s curvs que delimitm região são dds n form prmétric. Cso I A áre d região S é limitd pelo gráfico de f, pels rets x =, x = e pelo eixo x. A função y = f(x) é contínu em [, ] e f (x) 0, x[,]. Neste cso, pr y = f(x) { em que x(t 0 ) = e x(t 1 ) =. Em coordends crtesins, áre d região S é dd por. Fzendo sustituição x = x(t) e dx = x (t)dt otemos: Exemplo: 1. Clcule áre d região limitd pel elipse {

21 Cso II A áre d região S é limitd pelos gráficos de f e g e pels rets x = e x =. As funções f e g são contínus em [, ] e f (x) g (x), x[,]. Neste cso, pr y 1 = f(x) { e pr y = g(x) { em que x 1 (t 0 ) = x (t ) = e x 1 (t 1 ) = x (t 3 ) =. Utilizndo o resultdo otido pr o cálculo de áres de regiões entre curvs (em coordends crtesins): A f ( x) dx g( x) dx f ( x) g( x) dx Fzendo sustituição de vriáveis, temos: Exemplo: 1) Clcule áre entre s elipses { e {

22 Volume de um sólido de revolução Sólido de revolução é um sólido otido com rotção de um região num plno em torno de um ret, chmd de eixo de revolução, qul pode ou não interceptr região. Se girrmos região limitd pels curvs y = 0, y = x e x = 4 em torno do eixo x o sólido de revolução otido é um cone. Girndo o retângulo limitdo pels rets x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 em torno de y, o sólido de revolução otido é um cilindro. Considere o prolem de definir o volume do sólido T, gerdo pel rotção d região pln R, em torno do eixo x. Suponh que f(x) é contínu e não negtiv em [, ]. Considere um prtição P de [, ], dd por = x 0 < x 1 < x <... < x i 1 < x i <... < x n = e sej Δx i = x i x i 1 o comprimento do intervlo [x i 1, x i ]. Em cd intervlo [x i 1, x i ], escolhemos um ponto qulquer c i. Pr cd i, i = 1,..., n, construímos um retângulo R i, de se Δx i e ltur f(c i ). Fzendo cd retângulo R i girr em torno do eixo x, o sólido de revolução otido é um cilindro cujo volume é ddo por f ( c i ). xi. A som dos volumes dos n cilindros nos dá um proximção do volume do sólido T. Est som é dd por: ( )... ( ) V f c x f c x n 1 1 n n n i1 f ( c ) i x i

23 Representção gráfic: Se n, Δx i, i = 1,..., n, tornr-se muito pequeno e som dos volumes dos n cilindros (V n ) proxim-se, intuitivmente, do volume do sólido T. Definição: Sej y = f(x) um função contínu não negtiv em [, ] e R região so o gráfico de f de té. O volume do sólido T, gerdo pel revolução de R em torno do eixo x, é definido por se este limite existir. n i V lim f ( c ) x n i1 i Como f (x) é contínu em [, ], o limite existe. Logo, pel definição de integrl definid: V π f x dx A fórmul do volume pode ser generlizd pr outrs situções: Cso I A função f(x) é negtiv em lguns pontos de [, ] ) Como ( x) f ( x f, fórmul permnece válid.

24 Cso II A região R está entre gráficos de dus funções f(x) e g(x) de té Supondo f(x) g(x), x [, ], o volume do sólido T, gerdo pel rotção de R, é ddo por: V f ( x) g( x) dx Cso III A região R gir em torno do eixo dos y V d g( y) c dy Cso IV A rotção se efetu o redor de um ret prlel um dos eixos coordendos Se o eixo de revolução for ret y = L, temos: V f ( x) L dx Se o eixo de revolução for ret x = M, temos: V d c g( y) M dy

25 Exemplos: 1. A região R, limitd por y = 1/4x, pelo eixo dos x e s rets x = 1 e x = 4, gir em torno do eixo dos x. Encontrr o volume do sólido de revolução gerdo.. Clculr o volume do sólido gerdo pel rotção, em torno do eixo dos x, d região limitd pel práol y = ¼(13 x ) e pel ret y = ½(x + 5).

26 3) Clculr o volume do sólido gerdo pel rotção, em torno do eixo dos x, d região entre o gráfico de y = sen(x) e o eixo dos x, de π/ té 3π/. 4) Determinr o volume do sólido otido pel revolução d região limitd pel práol cúic y = x 3, pelo eixo y e pel ret y = 8, em torno do eixo dos y.

27 5) Determinr o volume do sólido gerdo pel rotção, em torno d ret y = 4, d região limitd por y = 1/x, y = 4 e x = 4. 6) Determinr o volume do sólido otido pel revolução d região delimitd pel práol x = 1/y + 1 e pels rets x = -1, y = e y = -, em torno d ret x = -1. 7) Determinr o esoço d região R e o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção ds regiões indicds, o redor dos eixos ddos. ) y = cos(x), y = sen(x), x = 0, x = π/4; eixo-x. Resp. (π/ u.v) ) y = x 3 e y = x ; eixo- y. Resp. (π/10 u.v) c) y = x ; x = 1; x = ; y =, o redor de y =. Resp. (15π/15 u.v) d) y = cos(x), y = -, x = 0, x = π; o redor d ret y = -. Resp. (9 π u.v)

28 Áre de um superfície de revolução Qundo um curv pln gir em torno de um ret no plno, otemos um superfície de revolução. Sej áre d superfície de revolução S, otid qundo um curv C, de equção y = f (x), x[, ] gir em torno do eixo x. Suponh que f (x) 0 pr todo x[, ] e que f é um função derivável em [, ]. Dividindo o intervlo [, ] em n suintervlos de modo que = x 0 < x 1 < x <... < x i 1 < x i <... < x n = otemos Q 0, Q 1,..., Q n pontos pertencentes curv C: Fzendo cd segmento de ret dest linh poligonl girr em torno do eixo x, superfície de revolução otid é um tronco de cone. Definição: Sej C um curv de equção y = f(x), com f e f contínus em [, ] e f (x) 0 pr todo x[, ]. A áre d superfície de revolução S, gerd pel rotção d curv C o redor do eixo x é dd por: A π f x f x dx

29 Se considerrmos um curv x = g(y), y[c, d] girndo em torno do eixo y, áre d superfície de revolução é dd por: A π g y g y dy c d Exemplos: 1) Clcule áre d superfície de revolução otid pel rotção, em torno do eixo x e d curv. ) Clcule áre d superfície de revolução otid pel rotção, em torno do eixo y e d curv x = y 3, 0 y 1.

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