INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

Save this PDF as:

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?"

Transcrição

1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois tomrmos o limite ds áres desses retângulos à medid que umentmos o número de retângulos (semelhnte definição de ret tngente em que proximção é feit por rets secntes e então tommos o limite desss proximções). Exemplo: Use retângulos pr estimr áre so práol y = x no intervlo [0, 1]. Oserve que áre de S deve estr entre 0 e 1, pois S está contid em um qudrdo com ldos de comprimento 1. Suponh que S sej dividid em qutro fixs S 1, S, S 3, e S 4 : Aproximndo cd fix por um retângulo com se igul à lrgur d fix e lturs definids pelo vlor d função f(x) = x ns extremiddes direits dos suintervlo, temos:

2 Se R 4 for som ds áres dos retângulos proximdos, teremos: ( ) ( ) ( ) Oserve que áre A d região S é menor que R 4, ou sej, A < 0, Tmém poderímos usr os retângulos menores pr proximr áre de S. Neste cso, s lturs ssumirim os vlores de f ns extremiddes esquerds dos suintervlos. A som ds áres desses retângulos é: ( ) ( ) ( ) Dest form: 0,1875 < A < 0, Repetindo esse procedimento com um número mior de fixs, por exemplo, S dividid em oito fixs com mesm lrgur: L 8 = 0, < A < 0, = R 8

3 Usndo n retângulos cujs lturs são encontrds com s extremiddes esquerds (L n ) ou com s extremiddes direits (R n ), mos, L n e R n se tornm proximções cd vez mis próxims e melhores à áre de S. Em prticulr, vemos que usndo 50 fixs áre está entre 0,334 e 0,3434. Com 100 fixs áre está entre 0, e 0, e, com fixs A está entre 0, e 0, Fzendo um estimtiv, temos que: A 0, Portnto, definimos áre A como o limite ds soms ds áres desses retângulos. Isto é: Dest form, pr definir áre de um figur pln qulquer S, delimitd pelo gráfico de um função contínu não negtiv f, pelo eixo x e por sus rets x = e x =, começmos por sudividir S em n fixs S 1, S,, S n de igul lrgur.

4 A lrgur do intervlo [, ] é, ssim, lrgur de cd um ds n fixs é: Esss fixs dividem o intervlo [, ] em n suintervlos [x 0, x 1 ], [x 1, x ], [x, x 3 ],..., [x n-1, x n ], em que x 0 = e x n =. Aproximndo i-ésim fix S i por um retângulo com lrgur x e ltur f(x i ), áre do i-ésimo retângulo é f(x i ) x. A áre proximd de S é otid pel som ds áres desses retângulos, que é R n = f (x 1 ) x + f (x ) x + + f (x n ) x À medid que o número de fixs ument, isto é, qundo n, proximção d áre fic melhor. Definição 1 A áre d região S que está so o gráfico de um função contínu f é o limite d som ds áres dos retângulos: f (x 1 ) x + f (x ) x + + f (x n ) x] Em vez de usrmos s extremiddes dos retângulos, podemos tomr ltur do i - ésimo retângulo como o vlor de f em qulquer número no i ésimo suintervlo [x i-1, x i ]. Logo, um expressão mis gerl pr áre S é: f ( ) x + f ( ) x + + f ( ) x] =

5 Integrl Definid Definição Se f(x) um função definid e contínu no intervlo rel [, ], dividimos o intervlo [, ] em n suintervlos de comprimentos iguis x. Sej, i = 1,..., n. Então, integrl definid de f, de té é Oservções: Se o limite existe, dizemos que f é integrável em [, ]. N notção, é o limite inferior de integrção, é o limite superior de integrção e f (x) é o integrndo. A integrl definid é um número. A som é chmd som de Riemnn, em homengem o mtemático Bernhrd Riemnn ( ). Qundo f é contínu e não negtiv em [, ] definição de integrl definid coincide com definição de áre (definição 1). Assim, integrl definid é áre d região so o gráfico de f de té. Teorem: Se f é contínu em [, ], então f é integrável em [, ]. Proprieddes d integrl definid Sejm f (x) e g(x) funções integráveis em [, ]. 1. kf ( x) dx k f ( x) dx.. f ( x) g( x) dx f ( x) dx g( x) dx. c < c <. 3. f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx, c 4. Pr todo x em [, ], se f (x) 0, então f ( x) dx Pr todo x em [, ], se f (x) g (x), então f ( x) dx g( x) dx.

6 . 6. Se >, então f ( x) dx f ( x) dx 7. Se =, então f ( x) dx 0. O teorem fundmentl do cálculo nos permite relcionr s operções de derivção e integrção. Teorem Fundmentl do Cálculo Se f (x) é um função contínu no intervlo [, ] e F (x) = f (x), então: f x dx F x F F Exemplos:. 3 x dx cos x dx c. 1 3 ( 1) 0 x x dx d. e x dx 0

7 Mudnç de vriáveis pr integris definids Existem dus mneirs pr clculr integrl definid utilizndo o método d sustituição. Um dels consiste em clculr integrl indefinid e então utilizr o teorem fundmentl do cálculo. A outr mneir consiste em reclculr os limites de integrção o fzer mudnç de vriável. Exemplos: 4. x 1dx x x dx Exercícios 1 Clculr s seguintes integris: ) 1 (6x 1) dx ) 1 ( x 3x ) dx c) 1 (3x ) dx d) 1 4 ( x x ) dx e) 1 0 dx dx 3x 1 f ) 4 0 (x 1) 1 dx

8 Cálculo de áres Cso I. Cálculo d áre d figur pln limitd pelo gráfico de f, pels rets x =, x = e o eixo x, em que f é contínu e f(x) 0, x [, ]. Neste cso, áre é dd por: Cso II. Cálculo d áre d figur pln limitd pelo gráfico de f, pels rets x =, x = e o eixo x, em que f é contínu e f(x) 0, x [, ]. Neste cso, áre é dd por: Exemplos: 1) Encontre áre d região limitd pel curv y = x + 1, pelo eixo x e pels rets x = 1 e x =3.

9 ) Encontre áre d região limitd pelo eixo x e pel função f(x) = x 4x no intervlo [1, 3]. 3) Encontre áre d região limitd por f(x) = x 3 x 5x + 6 no intervlo [, 3]. Cso III Áre de regiões entre curvs A áre d região é limitd pelos gráficos de f e g e pels rets x = e x =. As funções f e g são definids e contínus em [, ] e f (x) g(x), x[,]. i) f (x) 0, g(x) 0 e f (x) g(x), x[,]. Neste cso, áre é dd por:

10 ii) f (x) 0 e g(x) 0 x[,]. Neste cso, áre é dd por: iii) f (x) 0, g(x) 0 e f (x) g(x), x[,]. Neste cso, áre é dd por: Exemplos: 1) Encontre áre limitd pels curvs f(x) = x + 4x e g(x) = x. ) Encontre áre limitd pels curvs f(x) = x 1 e g(x) = x + 1.

11 3) Encontre áre limitd pels curvs f(x) = x 3 e g(x) = x. 4) Encontre áre limitd pels curvs y =x e y = x 5 5) Encontre áre limitd pels curvs f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x), x 4 9 4

12 Exercícios 1 Encontre áre d região limitd pels curvs dds: ) x = ½; x = y ; y = - x + Resp. 1/3 ) y = 5 x ; y = x + 3 Resp. 9/ c) x + y = 3; y + x = 3 Resp. 1/6 d) x = y, y x =, y = - e y = 3; A= 115/6 e) y = sen(x) e y = - sen(x); x 0, Resp. 8 f) y = 1 x ; y = - 3 Resp. 3/3 Encontrr s áre d região S 1 : g) y = 1/6x ; y = 6 Resp. 48 h) y = cos(x); y = -cos(x); 3 x ; Resp. 8 i) y = e x ; x = 0; x = 1; y = 0 Resp. e 1 j) y = ln x; y = 0; x = 4 Resp. 8ln 3 k) y = 4 x ; y = x 14 Resp. 7 Teorem do vlor médio pr integris Se f é um função contínu em [, ], existe um ponto z entre e tl que: f ( x) dx ( ). f ( z) 1 ou sej, existe z [, ] tl que f ( z) f ( x) dx. Interpretção geométric Se f (x) 0, x [, ], então áre so o gráfico de f é igul à áre do retângulo de ldos ( ) e ltur f (z). 1 Oservção: O vlor médio de f em [, ] é ddo por VM f ( x) dx.

13 Exemplos 1. Um pesquisdor estim que t hors depois d mei-noite, em um período típico de 4 hors, tempertur (grus Celsius) em cert cidde é dd por T(t) =, 0 t 4. Qul é tempertur médi n cidde entre s 6:00 e 16:00 hors?. Encontre o vlor médio de no intervlo [ 1,8] e determine o vlor de z que corresponde o vlor médio de f.

14 Comprimento de rco de um curv pln usndo equções crtesins A representção gráfic de um função y = f(x) num intervlo [, ] pode ser um segmento de ret ou um curv qulquer. A porção de curv do ponto A(, f()) o ponto B(, f()) é chmd rco. Pr encontrr o comprimento de um curv, fremos um proximção por um poligonl e, então, tomremos o limite qundo o número de segmentos d poligonl ument. Sej um curv C sej definid pel equção y = f (x), em que f é contínu e x. Otemos um poligonl de proximção pr C dividindo o intervlo [,] em n suintervlos com extremiddes x 0, x 1,..., x n e com lrgurs iguis x. Se y i = f (x i ), então o ponto P i (x i, y i ) está em C e poligonl com vértices P 0, P 1,..., P n, é um proximção pr C. proximção fic melhor qundo n ument. Como poligonl é formd por segmentos de ret, é possível clculr o comprimento de cd segmento. Dest form, o comprimento d poligonl é clculdo por: Como f é derivável em [,], podemos plicr o teorem do vlor médio (pr derivds!!) em cd intervlo [x i-1 x i ], i = 1,...,n e descorimos que existe um número x i * entre x i 1 e x i tl que f (x i ) f (x i 1 ) = f (x i *)(x i x i 1 ) Sustituindo este resultdo n equção de L n, temos: ( )

15 Qundo n, x 0 e L n tende o comprimento d curv C de té. Definição: Sej C um curv de equção y = f(x), em que f é um função contínu e derivável em [, ]. O comprimento de rco d curv C, do ponto A(, f()) o ponto B(, f()), denotdo por s, é ddo por: se este limite existir. Como f (x) é contínu em [, ], o limite existe. Logo, pel definição de integrl definid: s f x dx Exemplos: 1. Clcule o comprimento do rco d curv dd por y = x 3/ 4 entre os pontos (1, -3) e (4, 4).

16 . Clcule o comprimento do rco d práol semicúic y = x 3 entre os pontos (1, 1) e (4, 8). 3. Determine o comprimento d curv pr x 4.

17 Se um curv tem equção x = g(y), c y d e g (y) contínu, então, o comprimento do rco d curv C é ddo por: s g y dy c d Exemplo: 1. Determine o comprimento do rco ddo por pr 1 y 3.

18 Comprimento de rco de um curv pln usndo equções prmétrics Pr clculr o comprimento de rco de um curv C dd n form prmétric, usmos s equções: { em que x = x(t) e y = y(t) são contínus com derivds contínus e x (t) 0 pr todo t [t 0, t 1 ]. Ests equções definem um função y = f(x), cuj derivd é dd por: A prtir de um mudnç de vriáveis n equção, clculmos o comprimento de rco de um curv. Sej x = x(t) e dx = x (t)dt, otermos: [ ] em que x(t 0 ) = e x(t 1 ) =. Portnto, o comprimento de rco de um curv C dd n form prmétric é ddo por: s x t y t dt t t Exemplo: 1. Clcule o comprimento do rco ddo pel equção {

19 . Determine o comprimento do rco d hipociclóide {.

20 Áre de um região pln O cálculo d áre de um região pln pode ser relizdo qundo s curvs que delimitm região são dds n form prmétric. Cso I A áre d região S é limitd pelo gráfico de f, pels rets x =, x = e pelo eixo x. A função y = f(x) é contínu em [, ] e f (x) 0, x[,]. Neste cso, pr y = f(x) { em que x(t 0 ) = e x(t 1 ) =. Em coordends crtesins, áre d região S é dd por. Fzendo sustituição x = x(t) e dx = x (t)dt otemos: Exemplo: 1. Clcule áre d região limitd pel elipse {

21 Cso II A áre d região S é limitd pelos gráficos de f e g e pels rets x = e x =. As funções f e g são contínus em [, ] e f (x) g (x), x[,]. Neste cso, pr y 1 = f(x) { e pr y = g(x) { em que x 1 (t 0 ) = x (t ) = e x 1 (t 1 ) = x (t 3 ) =. Utilizndo o resultdo otido pr o cálculo de áres de regiões entre curvs (em coordends crtesins): A f ( x) dx g( x) dx f ( x) g( x) dx Fzendo sustituição de vriáveis, temos: Exemplo: 1) Clcule áre entre s elipses { e {

22 Volume de um sólido de revolução Sólido de revolução é um sólido otido com rotção de um região num plno em torno de um ret, chmd de eixo de revolução, qul pode ou não interceptr região. Se girrmos região limitd pels curvs y = 0, y = x e x = 4 em torno do eixo x o sólido de revolução otido é um cone. Girndo o retângulo limitdo pels rets x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 em torno de y, o sólido de revolução otido é um cilindro. Considere o prolem de definir o volume do sólido T, gerdo pel rotção d região pln R, em torno do eixo x. Suponh que f(x) é contínu e não negtiv em [, ]. Considere um prtição P de [, ], dd por = x 0 < x 1 < x <... < x i 1 < x i <... < x n = e sej Δx i = x i x i 1 o comprimento do intervlo [x i 1, x i ]. Em cd intervlo [x i 1, x i ], escolhemos um ponto qulquer c i. Pr cd i, i = 1,..., n, construímos um retângulo R i, de se Δx i e ltur f(c i ). Fzendo cd retângulo R i girr em torno do eixo x, o sólido de revolução otido é um cilindro cujo volume é ddo por f ( c i ). xi. A som dos volumes dos n cilindros nos dá um proximção do volume do sólido T. Est som é dd por: ( )... ( ) V f c x f c x n 1 1 n n n i1 f ( c ) i x i

23 Representção gráfic: Se n, Δx i, i = 1,..., n, tornr-se muito pequeno e som dos volumes dos n cilindros (V n ) proxim-se, intuitivmente, do volume do sólido T. Definição: Sej y = f(x) um função contínu não negtiv em [, ] e R região so o gráfico de f de té. O volume do sólido T, gerdo pel revolução de R em torno do eixo x, é definido por se este limite existir. n i V lim f ( c ) x n i1 i Como f (x) é contínu em [, ], o limite existe. Logo, pel definição de integrl definid: V π f x dx A fórmul do volume pode ser generlizd pr outrs situções: Cso I A função f(x) é negtiv em lguns pontos de [, ] ) Como ( x) f ( x f, fórmul permnece válid.

24 Cso II A região R está entre gráficos de dus funções f(x) e g(x) de té Supondo f(x) g(x), x [, ], o volume do sólido T, gerdo pel rotção de R, é ddo por: V f ( x) g( x) dx Cso III A região R gir em torno do eixo dos y V d g( y) c dy Cso IV A rotção se efetu o redor de um ret prlel um dos eixos coordendos Se o eixo de revolução for ret y = L, temos: V f ( x) L dx Se o eixo de revolução for ret x = M, temos: V d c g( y) M dy

25 Exemplos: 1. A região R, limitd por y = 1/4x, pelo eixo dos x e s rets x = 1 e x = 4, gir em torno do eixo dos x. Encontrr o volume do sólido de revolução gerdo.. Clculr o volume do sólido gerdo pel rotção, em torno do eixo dos x, d região limitd pel práol y = ¼(13 x ) e pel ret y = ½(x + 5).

26 3) Clculr o volume do sólido gerdo pel rotção, em torno do eixo dos x, d região entre o gráfico de y = sen(x) e o eixo dos x, de π/ té 3π/. 4) Determinr o volume do sólido otido pel revolução d região limitd pel práol cúic y = x 3, pelo eixo y e pel ret y = 8, em torno do eixo dos y.

27 5) Determinr o volume do sólido gerdo pel rotção, em torno d ret y = 4, d região limitd por y = 1/x, y = 4 e x = 4. 6) Determinr o volume do sólido otido pel revolução d região delimitd pel práol x = 1/y + 1 e pels rets x = -1, y = e y = -, em torno d ret x = -1. 7) Determinr o esoço d região R e o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção ds regiões indicds, o redor dos eixos ddos. ) y = cos(x), y = sen(x), x = 0, x = π/4; eixo-x. Resp. (π/ u.v) ) y = x 3 e y = x ; eixo- y. Resp. (π/10 u.v) c) y = x ; x = 1; x = ; y =, o redor de y =. Resp. (15π/15 u.v) d) y = cos(x), y = -, x = 0, x = π; o redor d ret y = -. Resp. (9 π u.v)

28 Áre de um superfície de revolução Qundo um curv pln gir em torno de um ret no plno, otemos um superfície de revolução. Sej áre d superfície de revolução S, otid qundo um curv C, de equção y = f (x), x[, ] gir em torno do eixo x. Suponh que f (x) 0 pr todo x[, ] e que f é um função derivável em [, ]. Dividindo o intervlo [, ] em n suintervlos de modo que = x 0 < x 1 < x <... < x i 1 < x i <... < x n = otemos Q 0, Q 1,..., Q n pontos pertencentes curv C: Fzendo cd segmento de ret dest linh poligonl girr em torno do eixo x, superfície de revolução otid é um tronco de cone. Definição: Sej C um curv de equção y = f(x), com f e f contínus em [, ] e f (x) 0 pr todo x[, ]. A áre d superfície de revolução S, gerd pel rotção d curv C o redor do eixo x é dd por: A π f x f x dx

29 Se considerrmos um curv x = g(y), y[c, d] girndo em torno do eixo y, áre d superfície de revolução é dd por: A π g y g y dy c d Exemplos: 1) Clcule áre d superfície de revolução otid pel rotção, em torno do eixo x e d curv. ) Clcule áre d superfície de revolução otid pel rotção, em torno do eixo y e d curv x = y 3, 0 y 1.

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região

Leia mais

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana Integrl Definid Interpretção Geométric Áre de um figur pln Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S. Interpretção Geométric

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral www.engenhrifcil.weely.com Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A

Leia mais

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari MATEMÁTICA II Prof. Dr. Amnd Liz Pcífico Mnfrim Perticrrri mnd.perticrrri@unesp.r DEFINIÇÃO. Se f é um função contínu definid em x, dividimos o intervlo, em n suintervlos de comprimentos iguis: x = n Sejm

Leia mais

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento

Leia mais

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção http://www.dc.ufrn.br/ 1 Introdução O conceito

Leia mais

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Escol Superior de Agricultur Luiz de Queiroz Universidde de São Pulo Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl Teori d Integrção e Aplicções Professor Rent Alcrde Sermrini Nots de ul do professor Idemuro

Leia mais

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Volume. Objetivos da Aula. Aula n o 25: Volume por Casca Cilíndrica e Volume por Discos

CÁLCULO I. 1 Volume. Objetivos da Aula. Aula n o 25: Volume por Casca Cilíndrica e Volume por Discos CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o 25: Volume por Csc Cilíndric e Volume por Discos Objetivos d Aul Clculr o volume de sólidos de revolução utilizndo técnic do volume por csc

Leia mais

AULA 1 Introdução 3. AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5. AULA 3 Integrais indefinidas 7. AULA 4 Integração por substituição 9

AULA 1 Introdução 3. AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5. AULA 3 Integrais indefinidas 7. AULA 4 Integração por substituição 9 www.mtemticemexercicios.com Integris (volume ) Índice AULA Introdução AULA Proprieddes e teorem fundmentl do cálculo 5 AULA Integris indefinids 7 AULA 4 Integrção por sustituição 9 AULA 5 Integrção por

Leia mais

Definição 1. (Volume do Cilindro) O volume V de um um cilindro reto é dado pelo produto: V = area da base altura.

Definição 1. (Volume do Cilindro) O volume V de um um cilindro reto é dado pelo produto: V = area da base altura. Cálculo I Aul 2 - Cálculo de Volumes Dt: 29/6/25 Objetivos d Aul: Clculr volumes de sólidos por seções trnsversis Plvrs-chves: Seções Trnsversis - Volumes Volume de um Cilindro Nosso objetivo nest unidde

Leia mais

CÁLCULO I. Aula n o 29: Volume. A(x i ) x = i=1. Para calcularmos o volume, procedemos da seguinte maneira:

CÁLCULO I. Aula n o 29: Volume. A(x i ) x = i=1. Para calcularmos o volume, procedemos da seguinte maneira: CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho Aul n o 29: Volume. Objetivos d Aul Clculr o volume de sólidos de revolução utilizndo o método

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas;

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o : Áre entre Curvs, Comprimento de Arco e Trblho Objetivos d Aul Clculr áre entre curvs; Clculr o comprimento de rco; Denir Trblho. 1 Áre entre

Leia mais

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x.

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x. Universidde Federl Fluminense Mtemátic II Professor Mri Emili Neves Crdoso Cpítulo Integrl. Diferenciis dy Anteriormente, foi considerdo um símolo pr derivd de y em relção à, ms em lguns prolems é útil

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas. CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA SÉTIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nest ul, utilizremos o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) pr o cálculo d áre entre dus curvs. 1. A áre entre dus curvs A

Leia mais

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas 8.1 Áres Plns Suponh que um cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região

Leia mais

f(x) dx. Note que A é a área sob o gráfico

f(x) dx. Note que A é a área sob o gráfico FFCLRP-USP AULA-INTEGRAL - CÁLCULO II- ECONOMIA Professor: Jir Silvério dos Sntos PROPRIEDADES DA INTEGRAL Sejm f,g : [,b] R funções integráveis. Então (i) [f(x) + g(x)]dx = (ii) Se λ é um número rel,

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho Aul n o 26: Teorem do Vlor Médio pr Integris. Teorem Fundmentl do Cálculo II. Funções dds por

Leia mais

Objetivo A = 2. A razão desse sucesso consiste em usar somas de Riemann, que determinam

Objetivo A = 2. A razão desse sucesso consiste em usar somas de Riemann, que determinam Aplicções de integris Volumes Aul 28 Aplicções de integris Volumes Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo de diversos tipos de volumes de sólidos, especificmente os chmdos método ds seções

Leia mais

Matemática para Economia Les 201. Aulas 28_29 Integrais Luiz Fernando Satolo

Matemática para Economia Les 201. Aulas 28_29 Integrais Luiz Fernando Satolo Mtemátic pr Economi Les 0 Auls 8_9 Integris Luiz Fernndo Stolo Integris As operções inverss n mtemátic: dição e sutrção multiplicção e divisão potencição e rdicição A operção invers d diferencição é integrção

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Ânderson Vieira

Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Ânderson Vieira CÁLCULO DE ÁREAS Cálculo de áres Cálculo Diferencil e Integrl II Prof. Ânderson Vieir Considere região S que está entre dus curvs y = f(x) e y = g(x) e entre s curvs verticis x = e x = b, onde f e g são

Leia mais

CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina.

CÁLCULO I. Denir e calcular o centroide de uma lâmina. CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Aul n o : Aplicções d Integrl: Momentos. Centro de Mss Objetivos d Aul Denir momento em relção um ponto xo e um ret. Denir e clculr

Leia mais

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos Aplicções de integris Áres e comprimentos MÓDULO - AULA 9 Aul 9 Aplicções de integris Áres e comprimentos Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo d áre de um superfície de revolução e do comprimento

Leia mais

Adriano Pedreira Cattai

Adriano Pedreira Cattai Adrino Pedreir Ctti pctti@hoocomr Universidde Federl d Bhi UFBA, MAT A01, 006 Superfícies de Revolução 1 Introdução Podemos oter superfícies não somente por meio de um equção do tipo F(,, ), eistem muitos

Leia mais

Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em:

Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em: Universidde Slvdor UNIFAS ursos de Engenhri álculo IV Prof: Il Reouçs Freire álculo Vetoril Texto 4: Integris de Linh Até gor considermos três tipos de integris em coordends retngulres: s integris simples,

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ. Tópicos Especiais de Matemática Aplicada

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ. Tópicos Especiais de Matemática Aplicada UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ Tópicos Especiis de Mtemátic Aplicd Márleson Rôndiner dos Sntos Ferreir mrleson p@yhoo.com.br Unifp-AP 23/junho/2010 Universidde Federl do Ampá 1 INTEGRAIS DE LINHA E SUPERFÍIE

Leia mais

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas;

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas; Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Aul 35 Funções vetoriis Integris Objetivo Conhecer integrl de funções vetoriis; Aprender clculr comprimentos de curvs prmetrizds; Aprender clculr áres de regiões

Leia mais

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i

Integral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i Integrl Noção de Integrl. Integrl é o nálogo pr unções d noção de som. Ddos n números 1, 2,..., n, podemos tomr su som 1 + 2 +... + n = i. O integrl de = té = b dum unção contínu é um mneir de somr todos

Leia mais

Cálculo integral. 4.1 Preliminares

Cálculo integral. 4.1 Preliminares Cpítulo 4 Cálculo integrl 4. Preinres Considere um decomposição do intervlo [, ] R em su-intervlos d orm [x, x ], [x, x ],..., [x n, x n ], onde = x < x < < x n < x n = e n N. Por um questão de simplicidde,

Leia mais

3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR

3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR 3 CÁLCULO INTEGRAL EM IR A importâni do álulo integrl em IR reside ns sus inúmers plições em vários domínios d engenhri, ms tmém em ísi, em teori ds proiliddes, em eonomi, em gestão 3 Prtição de um intervlo

Leia mais

Área entre curvas e a Integral definida

Área entre curvas e a Integral definida Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções

Leia mais

A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a)

A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a) A integrl definid Prof. Méricles Thdeu Moretti MTM/CFM/UFSC. - INTEGRAL DEFINIDA - CÁLCULO DE ÁREA Já vimos como clculr áre de um tipo em específico de região pr lgums funções no intervlo [, t]. O Segundo

Leia mais

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto

Leia mais

1 Definição de integral (definida) de Riemann

1 Definição de integral (definida) de Riemann 1 Definição de integrl (definid) de Riemnn Sej seguir sempre f : [, b] R limitd (com [, b] limitdo); logo existem m, M tis que m f(x) M. Definição: chmmos Prtição de [, b] um conjunto finito de pontos

Leia mais

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Teoremas Fundamentais do Cálculo

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Teoremas Fundamentais do Cálculo MAT46 - Cálculo I - Teorems Fundmentis do Cálculo Alexndre Mirnd Alves Anderson Tigo d Silv Edson José Teixeir Os Teorems Fundmentis do Cálculo Os próximos teorems fzem conexão entre os conceitos de ntiderivd

Leia mais

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5, - Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte 2 No teto nterior vimos que, se F é um primitiv de f em [,b], então f()d = F(b) F(). Isto reduz o problem de resolver

Leia mais

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 2. Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp x 3 2

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 2. Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp x 3 2 8. APLICAÇÕES DA INTEGRAL CÁLCULO 2-2018.1 8.1 Áres Plns Suponh que cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ;

Leia mais

INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana.

INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana. INTEGRAL DEFINIDO O oneito de integrl definido está reliondo om um prolem geométrio: o álulo d áre de um figur pln. Vmos omeçr por determinr áre de um figur delimitd por dus rets vertiis, o semi-eio positivo

Leia mais

Matemática para Economia Les 201

Matemática para Economia Les 201 Mtemátic pr Economi Les uls 8_9 Integris Márci znh Ferrz Dis de Mores _//6 Integris s operções inverss n mtemátic: dição e sutrção multiplicção e divisão potencição e rdicição operção invers d dierencição

Leia mais

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos 3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição

Leia mais

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que: Cpítulo 8 Integris Imprópris 8. Introdução A eistênci d integrl definid f() d, onde f é contínu no intervlo fechdo [, b], é grntid pelo teorem fundmentl do cálculo. Entretnto, determinds plicções do Cálculo

Leia mais

Somas de Riemann e Integração Numérica. Cálculo 2 Prof. Aline Paliga

Somas de Riemann e Integração Numérica. Cálculo 2 Prof. Aline Paliga Soms de Riem e Itegrção Numéric Cálculo 2 Prof. Alie Plig Itrodução Problems de tgete e de velocidde Problems de áre e distâci Derivd Itegrl Defiid 1.1 Áres e distâcis 1.2 Itegrl Defiid 1.1 Áres e distâcis

Leia mais

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude

Leia mais

(x, y) dy. (x, y) dy =

(x, y) dy. (x, y) dy = Seção 7 Função Gm A expressão n! = 1 3... n (1 está definid pens pr vlores inteiros positivos de n. Um primeir extensão é feit dizendo que! = 1. Ms queremos estender noção de ftoril inclusive pr vlores

Leia mais

Volumes de Sólidos de Revolução. Volumes de Sólidos de Revolução. 1.O método do disco 2.O método da arruela 3.Aplicação

Volumes de Sólidos de Revolução. Volumes de Sólidos de Revolução. 1.O método do disco 2.O método da arruela 3.Aplicação UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Volumes de Sólidos

Leia mais

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A. MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função

Leia mais

FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT

FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT 5 SEVERINO TOSCANO DO REGO MELO. Polinômios de Tylor A ret tngente o gráfico de um função f derivável em um ponto define função de primeiro gru que melhor proxim função em pontos

Leia mais

16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green

16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green ÁLULO VETORIAL álculo Vetoril pítulo 6 6.4 Teorem de Green Nest seção, prenderemos sore: O Teorem de Green pr váris regiões e su plicção no cálculo de integris de linh. INTROUÇÃO O Teorem de Green fornece

Leia mais

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x.

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x. 6. Primitivs cd. 6. Em cd cso determine primitiv F (x) d função f (x), stisfzendo condição especi- () f (x) = 4p x; F () = f (x) = x + =x ; F () = (c) f (x) = (x + ) ; F () = 6. Determine função f que

Leia mais

Substituição Trigonométrica. Substituição Trigonométrica. Se a integral fosse. a substituição u = a 2 x 2 poderia ser eficaz, mas, como está,

Substituição Trigonométrica. Substituição Trigonométrica. Se a integral fosse. a substituição u = a 2 x 2 poderia ser eficaz, mas, como está, UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. Introdução Se integrl

Leia mais

MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL

MAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL MAT 103 - Complementos de Mtemátic pr Contbilidde - FEAUSP 1 o semestre de 011 Professor Oswldo Rio Brnco de Oliveir INTEGRAL Suponhmos um torneir bert em um recipiente e com velocidde de escomento d águ

Leia mais

4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe

4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe 4 Teorem de Green Sej U um berto de R 2 e r : [, b] U um cminho seccionlmente, fechdo e simples, isto é, r não se uto-intersect, excepto ns extremiddes Sej região interior r([, b]) prte d dificuldde n

Leia mais

A integral de Riemann e Aplicações Aula 28

A integral de Riemann e Aplicações Aula 28 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl A integrl de Riemnn e Aplicções Aul 28 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 16 de Mio de 2014 Primeiro Semestre de

Leia mais

Cálculo a uma Variável

Cálculo a uma Variável Cálculo um Vriável Sinésio Pesco CAP 9 - A Integrl (Integrção Numéric) Som de Riemnn Podemos usr som de Riemnn pr clculr um proximção pr integrl dx. Pr isso em cd suintervlo [x i,x i ] sustituimos integrl

Leia mais

Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1

Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1 Cpítulo 1 Funções Vetoriis Neste cpítulo estudremos s funções f : R R n, funções que descrevem curvs ou movimentos de objetos no espço. 1.1 Definições e proprieddes Definição 1.1.1 Um função vetoril, é

Leia mais

Lista 5: Geometria Analítica

Lista 5: Geometria Analítica List 5: Geometri Anlític A. Rmos 8 de junho de 017 Resumo List em constnte tulizção. 1. Equção d elipse;. Equção d hiperból. 3. Estudo unificdo ds cônics não degenerds. Elipse Ddo dois pontos F 1 e F no

Leia mais

Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

Fundamentos de Matemática I EFETUANDO INTEGRAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques EFETUANDO INTEGRAIS 7 Gil d Cost Mrques Fundmentos de Mtemátic I 7. Introdução 7. Algums Proprieddes d Integrl Definid Propriedde Propriedde Propriedde Propriedde 4 7. Um primeir técnic de Integrção 7..

Leia mais

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Aul 7 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Objetivo Conhecer dois critérios de convergênci de integris imprópris:

Leia mais

. Estas equações são equações paramétricas da curva C.

. Estas equações são equações paramétricas da curva C. Universidde Federl d Bhi -- UFBA Deprtmento de Mtemátic, Cálculo IIA, Prof. Adrino Ctti Cálculo de áres de figurs plns (curvs sob equções prmétrics) (por Prof. Elin Prtes) Exemplo : Sej o círculo C de

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte Neste texto vmos provr um importnte resultdo que nos permite clculr integris definids. Ele pode ser enuncido como

Leia mais

A força não provém da capacidade física, e sim de uma vontade indomável. Mahatma Gandhi

A força não provém da capacidade física, e sim de uma vontade indomável. Mahatma Gandhi A forç não provém d cpcidde físic, e sim de um vontde indomável. Mhtm Gndhi Futuros militres, postos! É hor de meter o ggá! Este é o módulo 8 do curso de MATEMÁTICA d turm AFA-EN-EFOMM- EsPCE-EEAr. Nesse

Leia mais

Integrais Duplas em Regiões Limitadas

Integrais Duplas em Regiões Limitadas Cálculo III Deprtmento de Mtemátic - ICEx - UFMG Mrcelo Terr Cunh Integris Dupls em egiões Limitds Ou por curiosidde, ou inspirdo ns possíveis plicções, é nturl querer usr integris dupls em regiões não

Leia mais

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp 8.1 Áres Plns Suponh que cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região D é

Leia mais

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1.

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1. Revist d Mtemátic UFOP, Vol I, 2011 - X Semn d Mtemátic e II Semn d Esttístic, 2010 ISSN 2237-8103 ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX Aln Cvlcnte Felippe 1, Júlio Césr do Espírito Snto 1 Resumo: Este trblho

Leia mais

RESUMO DE INTEGRAIS. d dx. NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas. Fórmulas de Integração

RESUMO DE INTEGRAIS. d dx. NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas. Fórmulas de Integração RESUMO DE INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA A rte de encontrr ntiderivds é chmd de integrção. Desse modo, o plicr integrl dos dois ldos d equção, encontrmos tl d ntiderivd: f (x) = d dx [F (x)] f (x)dx = F

Leia mais

Diferenciação Numérica

Diferenciação Numérica Cpítulo 6: Dierencição e Integrção Numéric Dierencição Numéric Em muits circunstâncis, torn-se diícil oter vlores de derivds de um unção: derivds que não são de ácil otenção; Eemplo clculr ª derivd: e

Leia mais

2.4 Integração de funções complexas e espaço

2.4 Integração de funções complexas e espaço 2.4 Integrção de funções complexs e espço L 1 (µ) Sej µ um medid no espço mensurável (, F). A teori de integrção pr funções complexs é um generlizção imedit d teori de integrção de funções não negtivs.

Leia mais

6 Cálculo Integral. 1. (Exercício VI.1 de [1]) Considere a função f definida no intervalo [0, 2] por. 1 se x [0, 1[ 3 se x ]1, 2]

6 Cálculo Integral. 1. (Exercício VI.1 de [1]) Considere a função f definida no intervalo [0, 2] por. 1 se x [0, 1[ 3 se x ]1, 2] 6 Cálculo Integrl. (Eercício VI. de []) Considere função f definid no intervlo [, ] por se [, [ f () = se = 3 se ], ] () Mostre que pr tod decomposição do intervlo [, ], s soms superior S d ( f ) e inferior

Leia mais

, então ela é integrável em [ a, b] Interpretação geométrica: seja contínua e positiva em um intervalo [ a, b]

, então ela é integrável em [ a, b] Interpretação geométrica: seja contínua e positiva em um intervalo [ a, b] Interl Deinid Se é um unção de, então su interl deinid é um interl restrit à vlores em um intervlo especíico, dimos, O resultdo é um número que depende pens de e, e não de Vejmos deinição: Deinição: Sej

Leia mais

Universidade de Mogi das Cruzes UMC. Cálculo Diferencial e Integral II Parte III

Universidade de Mogi das Cruzes UMC. Cálculo Diferencial e Integral II Parte III Cálculo Diferencil e Integrl II Págin Universidde de Mogi ds Cruzes UMC Cmpos Vill Lobos Cálculo Diferencil e Integrl II Prte III Engenhri Civil Engenhri Mecânic mrili@umc.br º semestre de 05 Cálculo Diferencil

Leia mais

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA pítulo III INTEGRIS DE LINH pítulo III Integris de Linh pítulo III O conceito de integrl de linh é um generlizção simples e nturl do conceito de integrl definido: f ( x) dx Neste último, integr-se o longo

Leia mais

Utilizar a integral definida para calcular área, comprimento de arcos, volume de sólidos de revolução e trabalho mecânico.

Utilizar a integral definida para calcular área, comprimento de arcos, volume de sólidos de revolução e trabalho mecânico. Aul 3 Aplicções d integrl Objetivos Utilizr integrl definid pr clculr áre, comprimento de rcos, volume de sólidos de revolução e trblho mecânico. Inicimos ul 9, dedicd à integrção, motivndo o conceito

Leia mais

Profª Cristiane Guedes DERIVADA. Cristianeguedes.pro.br/cefet

Profª Cristiane Guedes DERIVADA. Cristianeguedes.pro.br/cefet Proª Cristine Guedes 1 DERIVADA Cristineguedes.pro.br/ceet Ret Tngente Como determinr inclinção d ret tngente curv y no ponto P,? 0 0 Proª Cristine Guedes Pr responder ess pergunt considermos um ponto

Leia mais

equação paramêtrica/vetorial da curva: a lei γ(t) =... Dizemos que a curva é fechada se I = [a, b] e γ(a) = γ(b).

equação paramêtrica/vetorial da curva: a lei γ(t) =... Dizemos que a curva é fechada se I = [a, b] e γ(a) = γ(b). 1 Lembrete: curvs Definição Chmmos Curv em R n : um função contínu : I R n onde I R é intervlo. (link desenho curvs) Definimos: Trço d curv: imgem equção prmêtric/vetoril d curv: lei (t) =... Dizemos que

Leia mais

Cálculo em Computadores 2006 Integrais e volumes 1. Cálculo em Computadores Integrais de funções de duas variáveis reais 4

Cálculo em Computadores 2006 Integrais e volumes 1. Cálculo em Computadores Integrais de funções de duas variáveis reais 4 Cálculo em Computdores 2006 Integris e volumes 1 Contents Cálculo em Computdores 2006 Integris de funções de dus vriáveis 1 Áres no plno 2 1.1 exercícios...............................................

Leia mais

Primitivas. Noção de primitiva. A primitivação é a operação inversa da derivação.

Primitivas. Noção de primitiva. A primitivação é a operação inversa da derivação. Primitivs Noção de primitiv A primitivção é operção invers d derivção. Definição: Sej f um função definid num intervlo I. Qulquer função F definid e diferenciável em I tl que F x fx, pr todo o x I, diz-se

Leia mais

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8 TÓPICO Gil d Cost Mrques Fundmentos d Mtemátic II 8.1 Diferencil totl de um função esclr 8.2 Derivd num Direção e Máxim Derivd Direcionl 8.3 Perpendiculr um superfície

Leia mais

1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade

1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade 1 Limite - Revisão O conceito de limite de um função contribui pr nálise do comportmento d função n vizinhnç de um determindo ponto. Intuitivmente, dd um função f(x) e um ponto b que pertence o domínio

Leia mais

Notação. Se u = u(x, y) é uma função de duas variáveis, representamos por u, ou ainda, por 2 u a expressão

Notação. Se u = u(x, y) é uma função de duas variáveis, representamos por u, ou ainda, por 2 u a expressão Seção 20: Equção de Lplce Notção. Se u = u(x, y) é um função de dus vriáveis, representmos por u, ou ind, por 2 u expressão u = 2 u = u xx + u yy, chmd de lplcino de u. No cso de função de três vriáveis,

Leia mais

Atividade Prática como Componente Curricular

Atividade Prática como Componente Curricular Universidde Tecnológic Federl do Prná Gerênci de Ensino e Pesquis Deprtmento Acdêmico de Mtemátic Atividde Prátic como Componente Curriculr - Propost - Nome: Mtrícul: Turm: Justique su respost, explicitndo

Leia mais

Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2

Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2 Definição 1 Sej : omprimento de urvs x x(t) y y(t) z z(t) um curv lis definid em [, b]. O comprimento d curv é definido pel integrl L() b b [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 dt (t) dt v (t) dt Exemplo

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004

Prof. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004 Integrção Numéric Prof. Doherty Andrde- DMA/UEM DMA-UEM-4 Preliminres Nests nots o nosso interesse é clculr numericmente integris f(x)dx. A idéi d integrção numéric reside n proximção d função integrnd

Leia mais

(B) (A) e o valor desta integral é 9. gabarito: Propriedades da integral Represente geometricamente as integrais para acompanhar o cálculo.

(B) (A) e o valor desta integral é 9. gabarito: Propriedades da integral Represente geometricamente as integrais para acompanhar o cálculo. Cálculo Univrido List numero integrl trcisio@sorlmtemtic.org T. Prcino-Pereir Sorl Mtemátic lun@: 7 de setemro de 7 Cálculo Produzido com L A TEX sis. op. Dein/GNU/Linux www.clculo.sorlmtemtic.org/ Os

Leia mais

e dx dx e x + Integrais Impróprias Integrais Impróprias

e dx dx e x + Integrais Impróprias Integrais Impróprias UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. Integris imprópris

Leia mais

CÁLCULO I. Exibir o cálculo de algumas integrais utilizando a denição.

CÁLCULO I. Exibir o cálculo de algumas integrais utilizando a denição. CÁLCULO I Prof Mrcos Diiz Prof Adré Almeid Prof Edilso Neri Prof Emerso Veig Prof Tigo Coelho Aul o : A Itegrl de Riem Objetivos d Aul Deir itegrl de Riem; Exibir o cálculo de lgums itegris utilizdo deição

Leia mais

Trigonometria FÓRMULAS PARA AJUDÁ-LO EM TRIGONOMETRIA

Trigonometria FÓRMULAS PARA AJUDÁ-LO EM TRIGONOMETRIA Trigonometri é o estudo dos triângulos, que contêm ângulos, clro. Conheç lgums regrs especiis pr ângulos e váris outrs funções, definições e trnslções importntes. Senos e cossenos são dus funções trigonométrics

Leia mais

Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas. Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas

Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas. Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas UNIERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de olumes por

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec

Cálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec Cálculo Diferencil e Integrl I o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec de Junho de, h Durção: hm Apresente todos os cálculos e justificções relevntes..5 vl.) Clcule, se eistirem em R, os limites i)

Leia mais

8 AULA. Funções com Valores Vetoriais LIVRO. META Estudar funções de uma variável real a valores em R 3

8 AULA. Funções com Valores Vetoriais LIVRO. META Estudar funções de uma variável real a valores em R 3 1 LIVRO Funções com Vlores Vetoriis 8 AULA META Estudr funções de um vriável rel vlores em R 3 OBJETIVOS Estudr movimentos de prtículs no espço. PRÉ-REQUISITOS Ter compreendido os conceitos de funções

Leia mais

dx f(x) dx p(x). dx p(x) + dx f (n) n! i=1 f(x i) l i (x) ), a aproximação seria então dada por f(x i ) l i (x) = i=1 i=1 C i f(x i ), i=1 C i =

dx f(x) dx p(x). dx p(x) + dx f (n) n! i=1 f(x i) l i (x) ), a aproximação seria então dada por f(x i ) l i (x) = i=1 i=1 C i f(x i ), i=1 C i = Cpítulo 7 Integrção numéric 71 Qudrtur por interpolção O método de qudrtur por interpolção consiste em utilizr um polinômio interpolnte p(x) pr proximr o integrndo f(x) no domínio de integrção [, b] Dess

Leia mais

Cálculo III-A Módulo 6

Cálculo III-A Módulo 6 Universidde Federl Fluminense Instituto de Mtemátic e Esttístic Deprtmento de Mtemátic Aplicd álculo III-A Módulo 6 Aul urvs Prmetrids Objetivo Prmetrir curvs plns e espciis. Prmetrição de curvs Prmetrir

Leia mais