Aula de solução de problemas: cinemática em 1 e 2 dimensões

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1 Aul de solução de problems: cinemátic em 1 e dimensões Crlos Mciel O. Bstos, Edurdo R. Azevedo FCM 01 - Físic Gerl pr Químicos 1. Velocidde instntâne 1 A posição de um corpo oscil pendurdo por um mol é ddo por x = A sin(ωt), em que A e ω são constntes dd por A = 5, 0cm e ω = 0, 715 rd/s. ) Fç o gráfico de x t no intervlo de 0 36 s e clcule inclinção d curv em t = 0 pr ter velocidde nesse instnte. b) Clcule velocidde médi pr um série de intervlos que principim, cd qul em t = 0 e terminm em t = 6, 3,, 1, 0.5, 0.5 s. c) Determine dx/ e clcule velocidde do instnte t = 0. ) proximndo x(t) x(t) ret tngente Note que em t = 1, 4 s ret tngente está proximdmente 5, 0 cm. Portnto temos que o coeficiente ngulr d ret será = 5, 0 1, 4 = 3, 6 1

2 portnto, podemos ssocir o coeficiente ngulr d ret o módulo d velocidde, que é proximdmente 3, 6 cm/s. b)a velocidde é dd por Vmos montr seguinte tbel tempo(s) velocidde(m/s) 6,0-0,8 3,0 1,4,0,5 1,0 3,3 0,5 3,5 0,5 3,6 v = x f x i v = x(t) 0 t f t i t 0 Note que medid que tommos intervlos cd vez menor, velocidde médi se proxim d velocidde instntâne. c)vmos derivr x(t) em t = 0 dx(t) = A d(sin(ωt) = Aω cos(ωt) dx(t) = Aω v inst = dx(t) = 5.0, 715 = 3, 6 Ess é velocidde instntâne no ponto t = 0. Esse é o procedimento exto, porém perceb que, mesmo pr s proximções utilizds nos itens nteriores conseguimos resultdos rzoáveis.. Lnçmento verticl Um bol é rremessd pr cim com velocidde inicil de 0 m/s. Pergunt-se: ) Qunto tempo bol fic no r? b) Qul mior ltur tingid pel bol? c) Em que instnte bol está 15 m de ltur? ) A bol irá descrever um movimento uniformemente vrido, portnto y(t) = y 0 + v 0 t + 1 t

3 Como bol si de y = 0 e volt y = 0. Pelo sistem de coordends mostrdo n figur, sbemos que y 0 = 0, logo 0 = v 0 t + 1 t considerndo v 0 = 0m/s e g = 10m/s n direção ŷ, obtemos seguinte equção: 0 = 0t 10 t 0t = 5t Portnto bol fic no r por 4s. t = 0 5 = 4s b)vmos clculr o tempo t r que bol lev pr lcnçr ltur máxim. No ponto mis lto temos que v = 0, portnto, considerndo um movimento uniformemente vrido v = v 0 + t considerndo v 0 = 0m/s e = g = 10m/s n direção ŷ: 0 = 0 10t r t r = s sbemos gor o tempo que bol levou pr lcnçr ltur máxim, podemos portnto encontrr o seu deslocmento trvés d equção do deslocmento y = y 0 + v 0 t + 1 t substituindo v 0 = 0m/s, y 0 = 0, = g = 10m/s n direção ŷ e t = t r = s y = = 0m c) Podemos utilizr equção de movimento retilíneo uniformemente vrido pr clculr y = y 0 + v 0 t + 1 t considerndo y = 15m, v 0 = 0m/s, y 0 = 0 e = g = 10m/s n direção ŷ 15 = 0t 10 t 5t 0t + 15 = 0 t 4t + 3 = 0 temos portnto que resolver equção de segundo gru e obter soluções t id,volt = b ± b 4c t id = ( 4) ( 4) 4.3 = 4 = 1, 3 ess é primeir solução, porém durnte o retorno d bol, el tmbém pss por 15m. t volt = ( 4) + ( 4) 4.3 = 4 + =, 7 3

4 3. Acelerção constnte 3 Um bl, 350 m/s tinge um poste de mdeir e nele penetr um distânci de 1 cm ntes de prr. Pergunt-se: ) Qul celerção médi? ssum que ess sej constnte b) Qunto tempo bl lev té prr? )Podemos utilizr seguinte equção de movimento considerndo v = 0 e v 0 = 350m/s v = v 0 + t t = 350 utilizndo equção do deslocmento d bl e substituindo o tempo que encontrmos n equção cim, temos x = x 0 + v 0 t + 1 t x x 0 = v 0 t + 1 t x = v 0 t + 1 t 0, 1 = ( 350 ) 0, 1 + (350) = , 1 + (350) = 1 (350) 0, 1 = 1 (350) (350) 0, 1 = 1 (350) = 1 0, 4 (350) = = m/s b)podemos utilizr expressão clculd no item nterior t = 350 como foi clculd no item nterior como = m/s 4

5 t = 350 5, = s 4. Acelerção constnte envolvendo corpos 4 No instnte t = 0, um pedr ci de um rochedo té s águs de um lgo. Outr pedr é rremessd do mesmo rochedo 1,6 s depois d qued d primeir, com um velocidde inicil de 3 m/s. As dus pedrs tingem águ no mesmo instnte. Qul ltur do rochedo? )Pr pedr 1, temos que y 0 é ltur do rochedo, v 0 = 0 e = g = 10m/s. A equção de movimento d pedr 1 é dd por y 1 (t) = y 0 + v 0 t + 1 t y 1 (t 1 ) = y 0 5t 1 Pr pedr, temos y 0 é ltur do rochedo, v 0 = 3m/s n direção ŷ, = g = 10m/s e existe um relção entre o tempo d pedr 1 e d pedr, ou sej t = t 1 1, 6. A equção de movimento d pedr é dd por y (t) = y 0 + v 0 t + 1 t substituindo t = t 1 + 1, 6 y (t ) = y 0 3(t ) 5 (t ) y (t 1 1, 6) = y 0 3(t 1 1, 6) 5 (t 1 1, 6) y (t 1 1, 6) = y 0 3 (t 1 1, 6) 5 ( t 1 t 1 1, 6 + 1, 6 ) y (t 1 1, 6) = y 0 3t , 6 5t 1 + t , 6 y (t 1 1, 6) = y 0 5t 1 16t , 6 5.1, 6 Como s pedrs chegm junts o lgo no tempo t 1 = t 0 e t = t 0 1, 6 e, ou sej, y 1 (t 1 ) = y (t 1 1, 6) 5

6 y 0 5t 1 = y 0 5t t , 6 5.1, 6 0 = 16t 1 3.1, , 6 ( +3.1, 6 5.1, 6 ) t 1 = =.4s 16 Esse foi o tempo que s pedrs levrm pr tinge superfície do lgo. Com bse ness informção, gor podemos clculr ltur do rochedo utilizndo y = y 0 1 gt 0 = y 0 5t 1 y 0 = 5(.4) = 9m 5. Movimento em dimensões 5 A velocidde v de um prtícul que se move em um plno xy é dd por v = (6, 0t 4, 0t )î + 8, 0ĵ, com v em m/s e t em segundos. ) Qul celerção no instnte t = 3s? b) Em que instnte (se for possível) celerção é nul? c) Em que instnte (se for possível) velocidde esclr d prtícul é igul 10m/s? )Vmos utilizr o conceito de celerção instntâne = d v em t = 3 b)pr celerção nul = ( 8, 0t + 6, 0) î = 18, 0î 0 = ( 8, 0t + 6, 0) î iguldde só é válid se o termo entre prêntese for nulo, ou sej 8, 0t + 6, 0 = 0 c) Retomndo velocidde t = 6, 0 = 0, 75s 8, 0 v = (6, 0t 4, 0t )î + 8, 0ĵ v = (6, 0t 4, 0t ) + 8, 0 Como velocidde esclr deve ser 10m/s, ou sej, v = 10m/s, temos que 6

7 10 = (6, 0t 4, 0t ) + 8, 0 (10) = (6, 0t 4, 0t ) + 8, 0 (10) + 8, 0 = (6, 0t 4, 0t ) extrindo riz de mbos os ldos d iguldde 36 = (6, 0t 4, 0t ) ±6, 0 = 6, 0t 4, 0t temos portnto equções do segundo gru, um com sinl +, e outr com sinl. Vmos resolver ests equções, reescrevendo temos como 1 solução 4, 0t 6, 0t ± 6, 0 = x 1, = b ± b 4c t 1, = 6, 0 ± (36, 0) 4.4, 0(±6, 0) 8, 0 t 1, = 6, 0 ± (36, 0) 96, 0) 8, 0 Observe que dentro d riz, se considerrmos o sinl de, vmos obter um riz negtiv, ou sej, ess solução será complex. Como queremos pens soluções reis (s grndezs que possuem significdo físico são números reis), vmos considerr pens o sinl + t 1, = 6, 0 ± (36, 0) + 96, 0) 8, 0 t 1 = 6,0+ (36,0)+96,0) 8,0 = 0, 6s t = 6,0 (36,0)+96,0) 8,0 =, s Anlisndo s dus soluções, observmos que um possui tempo negtivo e outr positivo. Se considerrmos que o movimento começou em t = 0s, prtícul tingir velocidde de 10m/s em, s. 6. Movimento circulr uniforme 6 Um prtícul P está em movimento circulr uniforme em torno d origem de um sistem de coordends xy. ) Pr quis vlores de θ componente verticl r y do vetor posição possui mior módulo? b) Pr quis vlores de θ componente verticl v y d velocidde d prtícul possui mior módulo? c) Pr quis vlores de θ componente verticl y d celerção d prtícul possui mior módulo? 7

8 )A componente r y será dd por r y = r. sin(θ(t))ŷ Como o modulo r é constnte no movimento circulr, temos que o módulo de r y será máximo qundo sin(θ(t)) for máximo, ou sej, θ = n ( ) π com n Z b) Pr obter componente d velocidde, bst derivr componente do vetor posição v y = d r y = r d sin(θ(t)) ŷ = r d sin(θ(t)) dθ dθ ŷ = v cos(θ(t))ŷ Pelos mesmos motivos explicdos no item, temos que o módulo do vetor será máximo qundo cos(θ(t)) for máximo, ou sej θ = n (π) com n Z c) Novmente, pr obter componente d velocidde, bst derivr componente do vetor velocidde, lembrndo que v = r. dθ y = d v y = v d cos(θ(t)) ŷ = v d cos(θ(t)) dθ dθ ŷ = r dθ d cos(θ(t)) dθ dθ ŷ = r ( ) dθ d cos(θ(t)) ŷ = sin(θ(t))ŷ dθ Pelos mesmos motivos explicdos no item, temos que o módulo do vetor será máximo qundo sin(θ(t)) for máximo, ou sej Referencis: θ = n ( ) π com n Z 1. Exercício 5, cp., Físic pr cientists e engenheiros, P. A. Tipler, v. 1, 4ed., LTC editor S. A., Exercício 57, cp., Físic pr cientists e engenheiros, P. A. Tipler, v. 1, 4ed., LTC editor S. A., Exercício 59, cp., Físic pr cientists e engenheiros, P. A. Tipler, v. 1, 4ed., LTC editor S. A., Exercício 1, cp. 4, Fundmentos de Físic; Resnick, Hllidy, Wlker, v. 1, 8ed., LTC editor S. A., Exercício 11 cp. 4, Fundmentos de Físic; Resnick, Hllidy, Wlker, v. 1, 8ed., LTC editor S. A., 009 8