Física III Escola Politécnica GABARITO DA PR 28 de julho de 2011

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1 Físic III Escol Politécnic GABARITO DA PR 28 de julho de 2011 Questão 1 () (1,0 ponto) Use lei de Guss pr clculr o vetor cmpo elétrico produzido por um fio retilíneo infinito com densidde liner de crg λ. () (1,0 ponto) Um fix pln infinit de lrgur L está crregd com densidde superficil de crg σ, conforme figur. Clcule o vetor cmpo elétrico E no ponto P um distânci d ord mis próxim. Sugestão: Decomponh fix em tirs elementres de lrgur dx e utilize o resultdo do item (). y σ L Q P x z (c) (0,5 pontos) Clcule o trlho que deve ser relizdo pr levr um crg q do ponto P = (,0,0) o ponto Q = (,0,). 1

2 Solução d questão 1 () Devido à simetri cilíndric E = E(r) r, onde r é distânci o fio. Tomndo-se um superfície gussin cilíndric, de ltur h e rio r centrd no fio, otemos S E d A = 2πrhE(r) = Q int ǫ 0 = λh ǫ 0. Logo E(r) = λ 2πǫ 0 r. () Um tir de lrgur dx tem densidde liner de crg n direção z igul σdx. Usndo o resultdo do item (), o cmpo elétrico produzido por um tir entre x e x+dx no ponto P é d E = σdx 2πǫ 0 ( x) ı. x+dx y x L σ Q P x z O cmpo totl é E = σ ı 0 dx 2πǫ 0 L x = σ ln 2πǫ 0 ( +L ) ı. (c) E é perpendiculr d l o longo do segmento de ret PQ. Logo Q W = q E d l = 0. P 2

3 Questão 2 Considere dus cscs esférics condutors concêntrics sendo que csc interior possui rio e exterior rio. O espço entre s cscs é preenchido uniformemente com um mteril cuj resistividde é ρ. Entre os dus cscs é plicd um diferenç de potencil tl que corrente d csc intern pr extern é I 0. As resposts dos itens ixo deverão ser dds em função pens dos ddos do prolem que são,, I 0 e ρ. I 0 ρ () (1,0 ponto) Clcule o vetor densidde de corrente um distânci r ( < r < ) do centro ds esfers. () (0,5 ponto) Determine o vetor cmpo elétrico entre s cscs esférics. (c) (0,5 ponto) Usndo o cmpo elétrico otido em (), clcule diferenç de potencil V d esfer intern reltivmente à esfer extern (V = V V ). (d) (0,5 ponto) Clcule resistênci do sistem. 3

4 Solução d questão 2 () Densidde de corrente r S Arelçãoentrecorrenteedensidde de corrente é dd por Logo, I = S J d A = J(r)4πr 2 J(r) = I 0 4πr 2 êr () O cmpo elétrico é clculdo com lei de Ohm J = 1 ρ E = E(r) = ρi 0 4πr 2 êr (c) A diferenç de potencil entre s cscs é V = V V = E d l = ρi 0 4π 1 r dr = ρi ( π 1 ). (d) A resistênci é R = V = ρ ( 1 I 0 4π 1 ) 4

5 Questão 3 A figur ixo mostr seção ret de um condutor cilíndrico infinito, oco, com rio interno e rio externo. Pelo condutor pss um corrente I uniformemente distriuíd n seção ret e dirigid pr for d págin r Usndo lei de Ampère, clcule: () (0,5 ponto) o vetor cmpo mgnético n cvidde do condutor (0 < r < ); () (1,0 ponto) o vetor cmpo mgnético no interior do condutor ( < r < ); (c) (0,5 ponto) o vetor cmpo mgnético no exterior do condutor (r > ). (d) (0,5 ponto) Esoce s linhs de cmpo mgnético ns três regiões. 5

6 Solução d questão 3 A lei de Ampère firm que C B d l = µ 0 I totl, onde I totl é corrente que trvess um superfície ert limitd pel curv C. Neste prolem o cmpo B tem simetri cilíndric: B = B(r) ϕ. Assim, é conveniente escolher pr C um círculo com centro no eixo do cilindro e contido num plno perpendiculr este eixo, como é sugerido n figur. Neste cso, B d l e B d l = Bdl = 2πrB(r). Sustituindo n lei de Ampére otemos C C B(r) = µ 0 2πr I totl. () N cvidde do condutor (0 < r < ) I totl = 0 e B(r) = 0 = B = 0. () No interior do condutor ( < r < ) densidde de corrente é J = I π( 2 2 ) = I totl = π(r 2 2 )J = I (r2 2 ). 2 2 O cmpo mgnético é B(r) = µ 0 I 2π( 2 2 ) ( ) r 2 2 = B r = µ 0 I 2π( 2 2 ) ( ) r 2 2 r ϕ. (c) No exterior do condutor (r > ) I totl = I e (d) Linhs de cmpo. B(r) = µ 0I 2πr = B = µ 0I 2πr ϕ. As linhs de cmpo são círculos concêntricos conforme figur o ldo. As flechs indicm o sentido do cmpo B B que é tngente às linhs de cmpo. 6

7 Questão 4 No circuito d figur chve 2 está ert e chve 1 está fechd há muito tempo, encontrndo-se o circuito num situção estcionári. ε 1 R 1 2 L R 2 () (0,5 ponto) Determine corrente I 0 trvés do indutor. () (1,0 ponto) No instnte t = 0 chve 2 é fechd e simultnemente chve 1 é ert. Escrev equção diferencil e otenh corrente I(t) trvés do indutor pr t 0. (c) (1,0 ponto) Mostre que energi totl dissipd no resistor R 2 pr t 0 é igul à energi que estv rmzend no indutor. 7

8 Solução d questão 4 () No regime estcionário o indutor se comport como um condutor com resistênci nul. Portnto, I 0 = ε. R 1 () Após rirmos chve 1 e fechrmos chve 2, otemos um circuito RL cuj equção diferencil é L di I dt +R 2I = 0 = I 0 di t I = R 2 dt = ln L 0 ( ) I0 = R 2 I L t I = I 0e R2t/L. (c) A potênci dissipd é dd por E diss = R 2 I 2 dt = R 2 I0 2 e 2R2t/L dt = R 2 I0 2 L e 2R 2t/L 2R 2 0 que é igul à energi rmzend inicilmente no indutor. 0 0 = 1 2 LI2 0 8

9 Formulário F = qq ( r r ) 4πǫ 0 r r 3, F = qe, E q( r r ) = 4πǫ 0 r r 3, E 1 = 4πǫ 0 p = qd, τ = p E, U = p E, Φ E = V = q B 4πǫ 0 r r, V B V A = V = 1 4πǫ 0 i q i r i, U = 1 4πǫ 0 i<j 1 = , U = Q2 C eq C 1 C 2 2C = CV 2 2 E = σ ǫ, u = ǫ 2 E2, A E d A, dq r 2ˆr, E d A = q int ǫ 0, E d l, V = 1 dq 4πǫ 0 r, E = V, q i q j r ij, C = Q/V, C eq = C 1 +C , = QV 2, ǫ ǫ 0 = κ, u = ǫ 0 2 E2, E = E 0 κ, ǫ 0 κ E d A = q int liv, I = dq dt = n q v da, J = n q vd, ρ(t) = ρ 0 [1+α(T T 0 )], dr = ρ dl A, V = RI, V = E Ir, P = VI = I2 R = V 2 R, F = qe +q v B, Φ B = B da, B da = 0, df = Id l B, µ = IA, τ = µ B, U = µ B, d B = µ 0I 4π d l ˆr r 2, F l = µ 0I 1 I 2 2πr, B d l = µ 0 I int, B 0 = µ 0H, Bm = µ 0M, M = χmh, dφ m E = dt, E d l = d B da, dt Φ totl = Nφ espir = LI, Φ totl 21 = N 2 φ espir = M 21 I 1, u = B2 2µ 0, U = LI2 2, u = B2 2µ, µ = κ mµ 0 = (1+χ m )µ 0. 9

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