Cálculo Diferencial e Integral: um tema para todos

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1 SEED/FEUSP - São Pulo, 6 de mio de 28 Cálculo Diferencil e Integrl: um tem pr todos Nílson Mchdo Universidde de São Pulo

2 Idéis fundmentis do Cálculo: um tem pr todos Lnd, L. N. - Cibernétic y Pedgogi...los lumnos slen de l escuel como los contemporáneos de Newton, cundo deberín hcerlo como los de Einstein. Poe, Edgrd Alln Eurek É pens por fltr lgum degru qui e li, por descuido, em nosso cminho pr o Cálculo Diferencil, que este último não é cois tão simples qunto um soneto...

3 Idéis fundmentis do Cálculo: um tem pr todos Não se trt de introduzir novos conteúdos n Escol Básic, ms sim de reconhecer e eplorr s idéis fundmentis do Cálculo que já se encontrm presentes nos diversos conteúdos usulmente ensindos: Proporcionlidde, áres de figurs plns com contornos vridos, cálculo de médis de diferentes tipos, estudo do crescimento/decrescimento de funções, problems de máimos e mínimos PERGUNTAS PARA TODOS: É constnte ou vriável? Cresce ou decresce? De que modo cresce ou decresce?

4 Idéis fundmentis do Cálculo: polrizções conceituis subjcentes» constnte/vriável» discreto/contínuo» eto/proimdo» técnic/significdo» finito/infinito TECNOLOGIA como recurso pr equilibrr polrizções» locl/globl

5 Idéis fundmentis do Cálculo: d proporcionlidde à t de vrição Grndezs diretmente proporcionis ,4 2, , 998,... y ,5 999,5... y = constnte = 5 ; qundo ument de, y ument de 5 y y = é t de vrição de y em relção

6 Idéis fundmentis do Cálculo: s três forms básics de crescimento crescer t constnte crescer ts crescentes crescer ts decrescentes s três forms básics de crescimento

7 Um idéi fundmentl do Cálculo: integrl como síntese de Rul Seis e Gbriel F() constnte F() vriável proimndo um função vriável por funções constntes função Gbriel função Rul Seis

8 Um idéi fundmentl do Cálculo: qul tempertur médi d sl entre 8h e h? T constnte 8 T(t) vriável proimndo um função vriável por funções constntes função Gbriel 8 T m função Rul Seis 8

9 Um idéi fundmentl do Cálculo: o vlor médio F() F(b) áres iguis F(c) F() F(c) é o vlor médio de F() em (; b) c b F(c) = (F() + F(b))/2

10 Cálculo: idéi de médi F() F(b) F(c) F() áres iguis F(c) é o vlor médio de F() em (;b) c b F(c) (F() + F(b))/2

11 Cálculo: idéi de médi f() f(b) f(c) f() áres iguis f(c) é o vlor médio de f() em (;b) c b f(c).(b - ) = Áre entre e b = A(b) A() = Integrl de f() entre e b

12 Cálculo: idéi de médi f(b) f() f(c) f() c b tngente em (c; f(c)) é prlel à secnte em (; f()), (b; f(b)) f (c) = (f(b) f())/(b - ) f (c).(b ) = f(b) f()

13 Idéis fundmentis do Cálculo: um curso s de três cálculo forms pr básics funções de crescimento do tipo f() = + b f() = + b b ( > ) b b f() = + b f() = constnte = b ( = ) ( < ) - se =, então função é constnte (t de vrição nul) -se, então f() cresce um t constnte qundo > e decresce um t constnte qundo < - constnte represent t de vrição de f(), ou sej, vrição de f() por unidde mis de

14 Idéis fundmentis do Cálculo: um curso s de três cálculo forms pr básics funções de crescimento do tipo f() = + b t de vrição constnte = f() = + b t áre t b inclinção função função

15 cálculo pr funções do tipo f() = 2 + b + c b b + 2 /2 f() = (/2) 2 + b + c t de vrição d t de vrição de f() é constnte = t de vrição de f() t() = + b t áre função b + (/2) 2 t c b inclinção função

16 cálculo pr funções do tipo f() = 2 + b + c t de vrição d t de vrição de f() é constnte = 2 t t de vrição de f() t() = 2 + b áre b b + 2 função b + 2 f() = 2 + b + c t inclinção c b função

17 Cálculo no Trinômio do 2º Gru Algo semelhnte o que ocorre n relção entre k, F e E no sistem mss-mol... k F A = k F k constnte elástic t de vrição d forç k = constnte = t de F F() = k E() = (k/2) 2, sendo E () = F() tmbém ocorre em qulquer trinômio do 2º gru... E B = k 2 /2 A B F = k forç elástic E = k 2 /2 energi rmzend n mol

18 Cálculo no Trinômio do 2º Gru f () = k f() = k + h F() = (k/2) 2 + h + m sendo F () = f() f () = k A f () é constnte, e é igul à t de vrição de f() f() é crescente, e é igul à t de vrição de F() h f() B A f() = h + A = h + k F() tem t de vrição crescente, ms t de vrição de su t é constnte F () = m F() B Em qulquer polinômio, t d t d t... d t é constnte... F() = m + B = m + h + k 2 /2

19 cálculo d t de vrição instntâne y f() ret tngente y = + b /n /n = n./n = f () [f( + /n) f()].n

20 cálculo d t de vrição instntâne de f() = e y f() y = + b e ( + /n) n e /n ( + /n) f() = e /n /n f( + /n) = e + /n f( + /n) f() = e.(e /n - ) f( + /n) f() = e. (/n) = n./n = f () [f( + /n) f()].n n.[f(+/n) f() = e f () = e

21 O Teorem Fundmentl do Cálculo: derivção e integrção como operções inverss f() constnte k A() f() f() vriável f() vriável A() = k t de vrição: k A () = k A () = f() f() A() A() f() - dd função, chr t é derivr - dd t, chr função é integrr +/n A ()./n [A(+ /n) A()]