4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe

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1 4 Teorem de Green Sej U um berto de R 2 e r : [, b] U um cminho seccionlmente, fechdo e simples, isto é, r não se uto-intersect, excepto ns extremiddes Sej região interior r([, b]) prte d dificuldde n formlizção d versão mis gerl do Teorem de Green deve-se o fcto de ser difícil definir com rigor o interior de um curv fechd No nosso curso ceitmos noção intuitiv do que deve ser tl região do plno Outr dificuldde reside n definição de orientção de um cminho Vmos resignr-nos à seguinte definição: dizemos que o cminho fechdo simples r está orientdo no sentido positivo se r percorre curv r([, b]) deixndo à esquerd os pontos do interior de Teorem (Teorem de Green) Sej U um berto de R 2 e F (F, F 2 ) um cmpo vectoril de clsse sobre U Suponh-se que r : [, b] U é um cminho fechdo simples, seccionlmente, orientdo no sentido positivo Sej o interior de r([, b]) Temos então: F d r x F ) dydx () Pels rzões cim referids, prov deste teorem pr o cso gerl está longe de ser relizável no âmbito deste curso prticulr de regiões do plno: ssim, vmos restringir-nos um clsse

2 Definição Sej U R 2 um berto limitdo Diz-se que U é um região regulr se for simultnemente x-regulr e y-regulr, isto é, U {(x, y) R 2 : f (x) < y < f 2 (x) e < x < b} e U {(x, y) R 2 : h (y) < x < h 2 (y) e c < y < d}, com f, f 2, h, h 2 funções de clsse f 2 (x) f (x) b Região x-regulr Exemplos ) Um intervlo I ], b[ ]c, d[ é um região regulr de R 2 b) Um círculo D R 2, de rio R e centro em P (x, y ) é um região regulr om efeito, D {(x, y) R 2 : y R 2 (x x ) 2 < y < y + R 2 (x x ) 2 } D {(x, y) R 2 : x R 2 (y y ) 2 < x < x + R 2 (y y ) 2 } Vmos então provr o Teorem de Green no cso em que é um região regulr Neste cso, fronteir de é curv 2 3 4, 2

3 com {(x, y) R 2 : x b e y f (x)}; 2 {(x, y) R 2 : x b e f (b) y f 2 (b)}; 3 {(x, y) R 2 : x b e y f 2 (x)}; 4 {(x, y) R 2 : x e f () y f 2 ()} Pr obtermos um cminho r pr orientdo positivmente, podemos considerr: r (t) (t, f (t)) r 2 (t) (b, t) r 3 (t) ( + b t, f 2 ( + b t)) r 4 (t) (, f () + f 2 () t) t [, b]; t [f (b), f 2 (b)]; t [, b]; t [f (), f 2 ()] b ssim, (F, ) d r (F, ) d r + (F, ) d r 2 + (F, ) d r 3 + (F, ) d r b b F (t, f (t))dt b F (t, f 2 (t))dt { F (t, f (t)) F (t, f 2 (t)) } dt 3

4 Por outro ldo, F dxdy b b [ f 2 (x) f (x) F dy ] dx { F (x, f 2 (x)) F (x, f (x)) } dx Do mesmo modo, um vez que região tmbém pode ser descrit por {(x, y) R 2 : h (y) < x < h 2 (y) e c < y < d}, temos: e (, F 2 ) d r F 2 x dxdy d c d c { F2 (h 2 (t), t) F 2 (h (t), t) } dt { F2 (h 2 (y), y) F 2 (h (y), y) } dy ssim, F d r (F, ) d r + (, F 2 ) d r x F ) dxdy ** Sej o qudrdo de vértices em (, ), (2, ), (2, 2) e (, 2) 4

5 Sej F o cmpo vectoril ddo por F (y 2, x) plicndo o Teorem de Green, obtemos: F d r 2 x F ) [ y y 2 ] 2 dx 2 ** 2 2 [ 2 dx 4 ( 2y ) dy ] dx Sej região limitd pels prábols y x 2 e y x pr x > Sej F (F, F 2 ) o cmpo vectoril F (xy, x) Pelo Teorem de Green, temos ( ) [ x 2 +2 F d r x dxdy x 2 ( ) ] x dy dx [ ] x 2 +2 ( y xy dx 2x 3 2x 2 2x + 2 ) dx x 2 [ x ] 3 x3 x 2 + 2x 5 6 ** so e 2 sejm dus regiões do plno, tl como ilustr figur seguinte, onde se poss plicr o Teorem de Green, vmos ver que fórmul () do Teorem de Green vle ind pr união 2 5

6 Repre-se que é interior à curv 2 Pr um ddo cmpo vectoril F (F, F 2 ), temos: 2 x F x F ) ) F + F ; 3 F + F 2 3 Somndo s dus equções obtemos fórmul do Teorem de Green pr região : x F ) ( F2 x F ) dydx + F + F + F F + F + F F + F F 2 3 F F 2 x F ) dydx ** Est discussão elucid-nos como trtr regiões que têm burcos Por exemplo, considere-se coro circulr 2 d figur seguinte 6

7 Est região não é o interior de um curv simples, ms sim região limitid por dus curvs simples, sber, e 4 i 2 3 Repre-se que fronteir de é e i Ddo um cmpo vectoril F (F, F 2 ), podemos plicr o Teorem de Green pr e pr 2 : 2 x F x F ) ) 2 6 F + F + F + F ; F + F + F + F Somndo, obtemos mis um vez fórmul do Teorem de Green: x F ) F + F F i e Note-se que s orientções indicds pr e e i deixm à esquerd os pontos de ** 7

8 Por exemplo, ind em relção à figur nterior, suponh-se que s circunferêncis têm rios R e R 2 2 onsideremos o cmpo vectoril F (y 3, x 3 ) plicndo o Teorem de Green, obtemos: F x F [ 2 ] r 3 dr dθ 3 2π 2π dθ 45 2 π ) dydx 3 2π [ r 4 4 ( x 2 + y 2) dxdy ] 2 dθ Exercícios Verifique vlidde do Teorem de Green nos seguintes csos: ) D o círculo de rio R centrdo n origem e F (x, y) (xy 2, x 2 y) b) D região delimitd pels curvs y x e y x 2 e F (x, y) (xy, x) 2 Sej fronteir do qudrdo [, ] [, ], orientd no sentido directo Usndo o Teorem de Green, clcule: ) (y 4 + x 3 )dx + 2x 6 dy b) x 2 ydx + 3yx 2 dy c) (3x 4 + 5)dx + (y 5 + 3y 2 )dy 2y + sen x d) dx + x + ey + x 2 + y dy 2 3 Sej circunferênci de rio R centrd n origem, orientd no sentido directo Usndo o Teorem de Green, clcule: ) ydx xdy b) (2e x )dx + (x + sen y 2 )dy 8

9 4 Sej um curv fechd simples qulquer Usndo o Teorem de Green, prove que ydx + xdy 5 Suponh que o vector F (x, y) (P (x, y), Q(x, y)) é prlelo o vector tngente à curv fechd ) Mostre que (Q(x, y), P (x, y)) é perpendiculr o vector tngente P b) Mostre que D x + Q dxdy, onde D é região limitd pel curv 6 Sej um curv fechd simples e D região limitd por Utilize o Teorem de Green pr mostrr que áre de D é dd por xdy ydx 2 7 Usndo o exercício nterior determine áre d: ) circunferênci de rio R b) elipse de semi-eixos e b c) região limitd pels curvs y x 3 e y x 8 Utilizndo o Teorem de Green, determine áre d região limitd pel curv, cuj prmetrizção é dd por: ) r(θ) ( cos 3 θ, sen 3 θ), com θ [, 2π], onde R b) s(θ) (( sen θ), ( cos θ)), com θ [, 2π], onde > r(θ), θ [, 2π] (, ) s(θ), θ [, 2π] 9

10 9 Sej fronteir de D {(x, y) R 2 : x 2 + y 2, x 2 + y 2 9}, orientd de modo que região D estej sempre à esquerd d curv Usndo o Teorem de Green, clcule (x 3 y 3 )dx + (x 3 + y 3 )dy onsidere áre D limitd pel prábol x 2 2y +4 e pel rect y 2 Utilize o Teorem de Green pr clculr y x 2 + y 2 dx x x 2 + y 2 dy, onde é fronteir de D, percorrid no sentido directo onsidere o qudrdo D [ 2, 2] [ 2, 2] plique o Teorem de Green pr clculr x x2 + y 2 dx + y x2 + y 2 dy, onde é fronteir de D, percorrid no sentido negtivo 2 onsidere o cmpo vectoril ) Mostre que F (x, y) ( ) y x 2 + y, x 2 x 2 + y 2 F 2π, pr qulquer curv fechd simples orientd no sentido positivo, cuj áre por el limitd contenh origem b) Mostre que F, pr qulquer curv fechd simples, cuj áre por el limitd não contenh origem 3 O seguinte exercício fornece um form de clculr áre de um polígono qulquer ) Mostre que xdy ydx b 2 2 b, onde é o segmento de rect com início em (, b ) e finl em ( 2, b 2 )

11 b) onsidere o polígono D cujos vértices são (, b ), ( 2, b 2 ),, ( n, b n ) ordendos no sentido directo Mostre que áre de D é metde de ( b 2 2 b ) + ( 2 b 3 3 b 2 ) + + ( n b n n b n ) + ( n b b n ) c) lcule áre do polígono com vértices (, ), (2, ), (, 3), (, 2) e (, )