4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe"

Transcrição

1 4 Teorem de Green Sej U um berto de R 2 e r : [, b] U um cminho seccionlmente, fechdo e simples, isto é, r não se uto-intersect, excepto ns extremiddes Sej região interior r([, b]) prte d dificuldde n formlizção d versão mis gerl do Teorem de Green deve-se o fcto de ser difícil definir com rigor o interior de um curv fechd No nosso curso ceitmos noção intuitiv do que deve ser tl região do plno Outr dificuldde reside n definição de orientção de um cminho Vmos resignr-nos à seguinte definição: dizemos que o cminho fechdo simples r está orientdo no sentido positivo se r percorre curv r([, b]) deixndo à esquerd os pontos do interior de Teorem (Teorem de Green) Sej U um berto de R 2 e F (F, F 2 ) um cmpo vectoril de clsse sobre U Suponh-se que r : [, b] U é um cminho fechdo simples, seccionlmente, orientdo no sentido positivo Sej o interior de r([, b]) Temos então: F d r x F ) dydx () Pels rzões cim referids, prov deste teorem pr o cso gerl está longe de ser relizável no âmbito deste curso prticulr de regiões do plno: ssim, vmos restringir-nos um clsse

2 Definição Sej U R 2 um berto limitdo Diz-se que U é um região regulr se for simultnemente x-regulr e y-regulr, isto é, U {(x, y) R 2 : f (x) < y < f 2 (x) e < x < b} e U {(x, y) R 2 : h (y) < x < h 2 (y) e c < y < d}, com f, f 2, h, h 2 funções de clsse f 2 (x) f (x) b Região x-regulr Exemplos ) Um intervlo I ], b[ ]c, d[ é um região regulr de R 2 b) Um círculo D R 2, de rio R e centro em P (x, y ) é um região regulr om efeito, D {(x, y) R 2 : y R 2 (x x ) 2 < y < y + R 2 (x x ) 2 } D {(x, y) R 2 : x R 2 (y y ) 2 < x < x + R 2 (y y ) 2 } Vmos então provr o Teorem de Green no cso em que é um região regulr Neste cso, fronteir de é curv 2 3 4, 2

3 com {(x, y) R 2 : x b e y f (x)}; 2 {(x, y) R 2 : x b e f (b) y f 2 (b)}; 3 {(x, y) R 2 : x b e y f 2 (x)}; 4 {(x, y) R 2 : x e f () y f 2 ()} Pr obtermos um cminho r pr orientdo positivmente, podemos considerr: r (t) (t, f (t)) r 2 (t) (b, t) r 3 (t) ( + b t, f 2 ( + b t)) r 4 (t) (, f () + f 2 () t) t [, b]; t [f (b), f 2 (b)]; t [, b]; t [f (), f 2 ()] b ssim, (F, ) d r (F, ) d r + (F, ) d r 2 + (F, ) d r 3 + (F, ) d r b b F (t, f (t))dt b F (t, f 2 (t))dt { F (t, f (t)) F (t, f 2 (t)) } dt 3

4 Por outro ldo, F dxdy b b [ f 2 (x) f (x) F dy ] dx { F (x, f 2 (x)) F (x, f (x)) } dx Do mesmo modo, um vez que região tmbém pode ser descrit por {(x, y) R 2 : h (y) < x < h 2 (y) e c < y < d}, temos: e (, F 2 ) d r F 2 x dxdy d c d c { F2 (h 2 (t), t) F 2 (h (t), t) } dt { F2 (h 2 (y), y) F 2 (h (y), y) } dy ssim, F d r (F, ) d r + (, F 2 ) d r x F ) dxdy ** Sej o qudrdo de vértices em (, ), (2, ), (2, 2) e (, 2) 4

5 Sej F o cmpo vectoril ddo por F (y 2, x) plicndo o Teorem de Green, obtemos: F d r 2 x F ) [ y y 2 ] 2 dx 2 ** 2 2 [ 2 dx 4 ( 2y ) dy ] dx Sej região limitd pels prábols y x 2 e y x pr x > Sej F (F, F 2 ) o cmpo vectoril F (xy, x) Pelo Teorem de Green, temos ( ) [ x 2 +2 F d r x dxdy x 2 ( ) ] x dy dx [ ] x 2 +2 ( y xy dx 2x 3 2x 2 2x + 2 ) dx x 2 [ x ] 3 x3 x 2 + 2x 5 6 ** so e 2 sejm dus regiões do plno, tl como ilustr figur seguinte, onde se poss plicr o Teorem de Green, vmos ver que fórmul () do Teorem de Green vle ind pr união 2 5

6 Repre-se que é interior à curv 2 Pr um ddo cmpo vectoril F (F, F 2 ), temos: 2 x F x F ) ) F + F ; 3 F + F 2 3 Somndo s dus equções obtemos fórmul do Teorem de Green pr região : x F ) ( F2 x F ) dydx + F + F + F F + F + F F + F F 2 3 F F 2 x F ) dydx ** Est discussão elucid-nos como trtr regiões que têm burcos Por exemplo, considere-se coro circulr 2 d figur seguinte 6

7 Est região não é o interior de um curv simples, ms sim região limitid por dus curvs simples, sber, e 4 i 2 3 Repre-se que fronteir de é e i Ddo um cmpo vectoril F (F, F 2 ), podemos plicr o Teorem de Green pr e pr 2 : 2 x F x F ) ) 2 6 F + F + F + F ; F + F + F + F Somndo, obtemos mis um vez fórmul do Teorem de Green: x F ) F + F F i e Note-se que s orientções indicds pr e e i deixm à esquerd os pontos de ** 7

8 Por exemplo, ind em relção à figur nterior, suponh-se que s circunferêncis têm rios R e R 2 2 onsideremos o cmpo vectoril F (y 3, x 3 ) plicndo o Teorem de Green, obtemos: F x F [ 2 ] r 3 dr dθ 3 2π 2π dθ 45 2 π ) dydx 3 2π [ r 4 4 ( x 2 + y 2) dxdy ] 2 dθ Exercícios Verifique vlidde do Teorem de Green nos seguintes csos: ) D o círculo de rio R centrdo n origem e F (x, y) (xy 2, x 2 y) b) D região delimitd pels curvs y x e y x 2 e F (x, y) (xy, x) 2 Sej fronteir do qudrdo [, ] [, ], orientd no sentido directo Usndo o Teorem de Green, clcule: ) (y 4 + x 3 )dx + 2x 6 dy b) x 2 ydx + 3yx 2 dy c) (3x 4 + 5)dx + (y 5 + 3y 2 )dy 2y + sen x d) dx + x + ey + x 2 + y dy 2 3 Sej circunferênci de rio R centrd n origem, orientd no sentido directo Usndo o Teorem de Green, clcule: ) ydx xdy b) (2e x )dx + (x + sen y 2 )dy 8

9 4 Sej um curv fechd simples qulquer Usndo o Teorem de Green, prove que ydx + xdy 5 Suponh que o vector F (x, y) (P (x, y), Q(x, y)) é prlelo o vector tngente à curv fechd ) Mostre que (Q(x, y), P (x, y)) é perpendiculr o vector tngente P b) Mostre que D x + Q dxdy, onde D é região limitd pel curv 6 Sej um curv fechd simples e D região limitd por Utilize o Teorem de Green pr mostrr que áre de D é dd por xdy ydx 2 7 Usndo o exercício nterior determine áre d: ) circunferênci de rio R b) elipse de semi-eixos e b c) região limitd pels curvs y x 3 e y x 8 Utilizndo o Teorem de Green, determine áre d região limitd pel curv, cuj prmetrizção é dd por: ) r(θ) ( cos 3 θ, sen 3 θ), com θ [, 2π], onde R b) s(θ) (( sen θ), ( cos θ)), com θ [, 2π], onde > r(θ), θ [, 2π] (, ) s(θ), θ [, 2π] 9

10 9 Sej fronteir de D {(x, y) R 2 : x 2 + y 2, x 2 + y 2 9}, orientd de modo que região D estej sempre à esquerd d curv Usndo o Teorem de Green, clcule (x 3 y 3 )dx + (x 3 + y 3 )dy onsidere áre D limitd pel prábol x 2 2y +4 e pel rect y 2 Utilize o Teorem de Green pr clculr y x 2 + y 2 dx x x 2 + y 2 dy, onde é fronteir de D, percorrid no sentido directo onsidere o qudrdo D [ 2, 2] [ 2, 2] plique o Teorem de Green pr clculr x x2 + y 2 dx + y x2 + y 2 dy, onde é fronteir de D, percorrid no sentido negtivo 2 onsidere o cmpo vectoril ) Mostre que F (x, y) ( ) y x 2 + y, x 2 x 2 + y 2 F 2π, pr qulquer curv fechd simples orientd no sentido positivo, cuj áre por el limitd contenh origem b) Mostre que F, pr qulquer curv fechd simples, cuj áre por el limitd não contenh origem 3 O seguinte exercício fornece um form de clculr áre de um polígono qulquer ) Mostre que xdy ydx b 2 2 b, onde é o segmento de rect com início em (, b ) e finl em ( 2, b 2 )

11 b) onsidere o polígono D cujos vértices são (, b ), ( 2, b 2 ),, ( n, b n ) ordendos no sentido directo Mostre que áre de D é metde de ( b 2 2 b ) + ( 2 b 3 3 b 2 ) + + ( n b n n b n ) + ( n b b n ) c) lcule áre do polígono com vértices (, ), (2, ), (, 3), (, 2) e (, )

Teorema de Green no Plano

Teorema de Green no Plano Instituto Superior Técnico eprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise Prof. Gbriel Pires Teorem de Green no Plno O teorem de Green permite relcionr o integrl de linh o longo de um curv fechd com

Leia mais

16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green

16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green ÁLULO VETORIAL álculo Vetoril pítulo 6 6.4 Teorem de Green Nest seção, prenderemos sore: O Teorem de Green pr váris regiões e su plicção no cálculo de integris de linh. INTROUÇÃO O Teorem de Green fornece

Leia mais

equação paramêtrica/vetorial da curva: a lei γ(t) =... Dizemos que a curva é fechada se I = [a, b] e γ(a) = γ(b).

equação paramêtrica/vetorial da curva: a lei γ(t) =... Dizemos que a curva é fechada se I = [a, b] e γ(a) = γ(b). 1 Lembrete: curvs Definição Chmmos Curv em R n : um função contínu : I R n onde I R é intervlo. (link desenho curvs) Definimos: Trço d curv: imgem equção prmêtric/vetoril d curv: lei (t) =... Dizemos que

Leia mais

CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 12) y x 2 + y, 2. x x 2 + y 2), F 1 y = F 2

CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 12) y x 2 + y, 2. x x 2 + y 2), F 1 y = F 2 Instituto Superior Técnico eprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise Prof. Gbriel Pires CI-II Resumo ds Auls Teórics (Semn 12) 1 Teorem de Green no Plno O cmpo vectoril F : R 2 \ {(, )} R 2 definido

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral www.engenhrifcil.weely.com Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois

Leia mais

Definição 1. (Volume do Cilindro) O volume V de um um cilindro reto é dado pelo produto: V = area da base altura.

Definição 1. (Volume do Cilindro) O volume V de um um cilindro reto é dado pelo produto: V = area da base altura. Cálculo I Aul 2 - Cálculo de Volumes Dt: 29/6/25 Objetivos d Aul: Clculr volumes de sólidos por seções trnsversis Plvrs-chves: Seções Trnsversis - Volumes Volume de um Cilindro Nosso objetivo nest unidde

Leia mais

Teoremas de Green e Stokes

Teoremas de Green e Stokes Análise Mtemátic III Teorems de Green e Stokes Mnuel Guerr Conteúdo 1 Teorem de Green 2 2 Teorem de Stokes 8 ibliogrfi 12 Índice remissivo 13 1 Os Teorems de Green e Stokes relcionm o vlor de integris

Leia mais

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido

MTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude

Leia mais

Integrais em curvas e superfícies

Integrais em curvas e superfícies Análise Mtemátic III Integris em curvs e superfícies Mnuel Guerr onteúdo 1 Integris em curvs 2 1.1 omprimento de um curv................................. 2 1.2 urvs prmetrizds pelo seu comprimento.......................

Leia mais

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática

Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr

Leia mais

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas 8.1 Áres Plns Suponh que um cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Volume. Objetivos da Aula. Aula n o 25: Volume por Casca Cilíndrica e Volume por Discos

CÁLCULO I. 1 Volume. Objetivos da Aula. Aula n o 25: Volume por Casca Cilíndrica e Volume por Discos CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o 25: Volume por Csc Cilíndric e Volume por Discos Objetivos d Aul Clculr o volume de sólidos de revolução utilizndo técnic do volume por csc

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas;

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o : Áre entre Curvs, Comprimento de Arco e Trblho Objetivos d Aul Clculr áre entre curvs; Clculr o comprimento de rco; Denir Trblho. 1 Áre entre

Leia mais

Volumes de Sólidos de Revolução. Volumes de Sólidos de Revolução. 1.O método do disco 2.O método da arruela 3.Aplicação

Volumes de Sólidos de Revolução. Volumes de Sólidos de Revolução. 1.O método do disco 2.O método da arruela 3.Aplicação UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Volumes de Sólidos

Leia mais

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução (9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

Escola Politécnica FGE GABARITO DA P2 15 de maio de 2008

Escola Politécnica FGE GABARITO DA P2 15 de maio de 2008 P Físic Escol Politécnic - 008 FGE 03 - GABARTO DA P 5 de mio de 008 Questão Um cpcitor com plcs prlels de áre A, é preenchido com dielétricos com constntes dielétrics κ e κ, conforme mostr figur. σ σ

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais MTDI I - 2007/08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 63 Introdução o estudo de equções diferenciis Existe um grnde vriedde de situções ns quis se desej determinr um quntidde vriável prtir de um

Leia mais

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA pítulo III INTEGRIS DE LINH pítulo III Integris de Linh pítulo III O conceito de integrl de linh é um generlizção simples e nturl do conceito de integrl definido: f ( x) dx Neste último, integr-se o longo

Leia mais

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana Integrl Definid Interpretção Geométric Áre de um figur pln Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S. Interpretção Geométric

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região

Leia mais

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos 3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição

Leia mais

META: Introduzir o conceito de integração de funções de variáveis complexas.

META: Introduzir o conceito de integração de funções de variáveis complexas. Integrção omplex AULA 7 META: Introduzir o conceito de integrção de funções de vriáveis complexs. OBJETIVOS: Ao fim d ul os lunos deverão ser cpzes de: Definir integrl de um função complex. lculr integrl

Leia mais

Seu pé direito nas melhores faculdades

Seu pé direito nas melhores faculdades MTMÁTI Seu pé direito ns melhores fculddes 0. João entrou n lnchonete OG e pediu hmbúrgueres, suco de lrnj e cocds, gstndo $,0. N mes o ldo, lgums pessos pedirm 8 hmbúrgueres, sucos de lrnj e cocds, gstndo

Leia mais

Aula 5 Plano de Argand-Gauss

Aula 5 Plano de Argand-Gauss Ojetivos Plno de Argnd-Guss Aul 5 Plno de Argnd-Guss MÓDULO - AULA 5 Autores: Celso Cost e Roerto Gerldo Tvres Arnut 1) presentr geometricmente os números complexos ) Interpretr geometricmente som, o produto

Leia mais

Lista 5: Geometria Analítica

Lista 5: Geometria Analítica List 5: Geometri Anlític A. Rmos 8 de junho de 017 Resumo List em constnte tulizção. 1. Equção d elipse;. Equção d hiperból. 3. Estudo unificdo ds cônics não degenerds. Elipse Ddo dois pontos F 1 e F no

Leia mais

Objetivo A = 2. A razão desse sucesso consiste em usar somas de Riemann, que determinam

Objetivo A = 2. A razão desse sucesso consiste em usar somas de Riemann, que determinam Aplicções de integris Volumes Aul 28 Aplicções de integris Volumes Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo de diversos tipos de volumes de sólidos, especificmente os chmdos método ds seções

Leia mais

DECivil Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas MECÂNICA I ENUNCIADOS DE PROBLEMAS

DECivil Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas MECÂNICA I ENUNCIADOS DE PROBLEMAS Eivil Secção de Mecânic Estruturl e Estruturs MEÂNI I ENUNIOS E ROLEMS Fevereiro de 2010 ÍTULO 3 ROLEM 3.1 onsidere plc em form de L, que fz prte d fundção em ensoleirmento gerl de um edifício, e que está

Leia mais

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A. MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função

Leia mais

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,

x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5, - Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor

Leia mais

Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em:

Relembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em: Universidde Slvdor UNIFAS ursos de Engenhri álculo IV Prof: Il Reouçs Freire álculo Vetoril Texto 4: Integris de Linh Até gor considermos três tipos de integris em coordends retngulres: s integris simples,

Leia mais

Área entre curvas e a Integral definida

Área entre curvas e a Integral definida Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções

Leia mais

xy 1 + x 2 y + x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 y xy 2 = 0 (y 1 y 2 ) x + (x 2 x 1 ) y + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = 0

xy 1 + x 2 y + x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 y xy 2 = 0 (y 1 y 2 ) x + (x 2 x 1 ) y + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) = 0 EQUAÇÃO DA RETA NO PLANO 1 Equção d ret Denominmos equção de um ret no R 2 tod equção ns incógnits x e y que é stisfeit pelos pontos P (x, y) que pertencem à ret e só por eles. 1.1 Alinhmento de três pontos

Leia mais

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas;

Objetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas; Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Aul 35 Funções vetoriis Integris Objetivo Conhecer integrl de funções vetoriis; Aprender clculr comprimentos de curvs prmetrizds; Aprender clculr áres de regiões

Leia mais

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:

fundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que: Cpítulo 8 Integris Imprópris 8. Introdução A eistênci d integrl definid f() d, onde f é contínu no intervlo fechdo [, b], é grntid pelo teorem fundmentl do cálculo. Entretnto, determinds plicções do Cálculo

Leia mais

Cálculo III-A Módulo 3 Tutor

Cálculo III-A Módulo 3 Tutor Universidde Federl Fluminense Instituto de Mtemátic e Esttístic eprtmento de Mtemátic Aplicd Cálculo III-A Módulo Tutor Eercício 1: Clcule mss totl M, o centro d mss, de um lâmin tringulr, com vértices,,

Leia mais

Substituição Trigonométrica. Substituição Trigonométrica. Se a integral fosse. a substituição u = a 2 x 2 poderia ser eficaz, mas, como está,

Substituição Trigonométrica. Substituição Trigonométrica. Se a integral fosse. a substituição u = a 2 x 2 poderia ser eficaz, mas, como está, UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. Introdução Se integrl

Leia mais

Universidade de Mogi das Cruzes UMC. Cálculo Diferencial e Integral II Parte III

Universidade de Mogi das Cruzes UMC. Cálculo Diferencial e Integral II Parte III Cálculo Diferencil e Integrl II Págin Universidde de Mogi ds Cruzes UMC Cmpos Vill Lobos Cálculo Diferencil e Integrl II Prte III Engenhri Civil Engenhri Mecânic mrili@umc.br º semestre de 05 Cálculo Diferencil

Leia mais

Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1

Definição Definimos o dominio da função vetorial dada em (1.1) como: dom(f i ) i=1 Cpítulo 1 Funções Vetoriis Neste cpítulo estudremos s funções f : R R n, funções que descrevem curvs ou movimentos de objetos no espço. 1.1 Definições e proprieddes Definição 1.1.1 Um função vetoril, é

Leia mais

Matemática /09 - Integral de nido 68. Integral de nido

Matemática /09 - Integral de nido 68. Integral de nido Mtemátic - 8/9 - Integrl de nido 68 Introdução Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I = [; b] e tl que f () ; 8 [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos

Leia mais

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção http://www.dc.ufrn.br/ 1 Introdução O conceito

Leia mais

Cálculo III-A Módulo 8

Cálculo III-A Módulo 8 Universidde Federl Fluminense Instituto de Mtemátic e Esttístic Deprtmento de Mtemátic Aplicd álculo III-A Módulo 8 Aul 15 Integrl de Linh de mpo Vetoril Objetivo Definir integris de linh. Estudr lgums

Leia mais

As fórmulas aditivas e as leis do seno e do cosseno

As fórmulas aditivas e as leis do seno e do cosseno ul 3 s fórmuls ditivs e s leis do MÓDULO 2 - UL 3 utor: elso ost seno e do cosseno Objetivos 1) ompreender importânci d lei do seno e do cosseno pr o cálculo d distânci entre dois pontos sem necessidde

Leia mais

NOTAS DE AULA CURVAS PARAMETRIZADAS. Cláudio Martins Mendes

NOTAS DE AULA CURVAS PARAMETRIZADAS. Cláudio Martins Mendes NOTAS DE AULA CURVAS PARAMETRIZADAS Cláudio Mrtins Mendes Segundo Semestre de 2005 Sumário 1 Funções com Vlores Vetoriis 2 1.1 Definições - Proprieddes.............................. 2 1.2 Movimentos no

Leia mais

Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade

Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade Cpítulo IV Funções Contínus 4 Noção de Continuidde Um idei muito básic de função contínu é de que o seu gráfico pode ser trçdo sem levntr o lápis do ppel; se houver necessidde de interromper o trço do

Leia mais

(x, y) dy. (x, y) dy =

(x, y) dy. (x, y) dy = Seção 7 Função Gm A expressão n! = 1 3... n (1 está definid pens pr vlores inteiros positivos de n. Um primeir extensão é feit dizendo que! = 1. Ms queremos estender noção de ftoril inclusive pr vlores

Leia mais

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento

Leia mais

PROFª DRª ANA SÁ PROF DR FILIPE OLIVEIRA PROF DR PHILIPPE DIDIER

PROFª DRª ANA SÁ PROF DR FILIPE OLIVEIRA PROF DR PHILIPPE DIDIER ANÁLISE MATEMÁTIA II B PROFª DRª ANA SÁ PROF DR FILIPE OLIVEIRA PROF DR PHILIPPE DIDIER FAULDADE DE IÊNIAS E TENOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIA 7 n Índice 1 álculo integrl em R n : Integris duplos 1

Leia mais

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA POLITÉCNICA UNVERSDDE DE SÃO PULO ESOL POLTÉN Deprtmento de Engenhri de Estruturs e Geotécnic URSO ÁSO DE RESSTÊN DOS TERS FSÍULO Nº 5 Flexão oblíqu H. ritto.010 1 FLEXÃO OLÍU 1) udro gerl d flexão F LEXÃO FLEXÃO

Leia mais

Simulado EFOMM - Matemática

Simulado EFOMM - Matemática Simuldo EFOMM - Mtemátic 1. Sejm X, Y, Z, W subconjuntos de N tis que: 1. (X Y ) Z = {1,,, },. Y = {5, 6}, Z Y =,. W (X Z) = {7, 8},. X W Z = {, }. Então o conjunto [X (Z W)] [W (Y Z)] é igul (A) {1,,,,

Leia mais

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2

Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2 Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte 2 No teto nterior vimos que, se F é um primitiv de f em [,b], então f()d = F(b) F(). Isto reduz o problem de resolver

Leia mais

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência

Aula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Aul 7 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Objetivo Conhecer dois critérios de convergênci de integris imprópris:

Leia mais

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp 8.1 Áres Plns Suponh que cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região D é

Leia mais

Matemática B Extensivo V. 2

Matemática B Extensivo V. 2 Mtemátic B Etensivo V. Eercícios 0) B 0 0 00 0 E 00 + 0 + 0) B 0 4 0 880 8 número de volts 0 0 0 menor determinção Segue, m + m 0) A 00 cteto djcente cotg cteto oposto Teorem de Pitágors: + 9 + 9 44 44

Leia mais

Aula de solução de problemas: cinemática em 1 e 2 dimensões

Aula de solução de problemas: cinemática em 1 e 2 dimensões Aul de solução de problems: cinemátic em 1 e dimensões Crlos Mciel O. Bstos, Edurdo R. Azevedo FCM 01 - Físic Gerl pr Químicos 1. Velocidde instntâne 1 A posição de um corpo oscil pendurdo por um mol é

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 5: Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Integral

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 5: Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Integral Eercícios de Integrl Eercícios de Fição Cálculo I (5/) IM UFRJ List 5: Integrl Prof Milton Lopes e Prof Mrco Cbrl Versão 55 Fi : Determine se é Verddeiro (provndo rmtiv) ou Flso (dndo contreemplo): b ()

Leia mais

Integrais Imprópias Aula 35

Integrais Imprópias Aula 35 Frções Prciis - Continução e Integris Imprópis Aul 35 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 05 de Junho de 203 Primeiro Semestre de 203 Turm 20304 - Engenhri de Computção

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015 13 de Fevereiro de 2015 Prte I Álgebr Liner 1 Questão: Sejm

Leia mais

CAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES

CAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES CAPÍTULO 5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES 5.- Teorems Fundmentis do Cálculo Diferencil Os teorems de Rolle, de Lgrnge, de Cuch e regr de L Hospitl são os qutro teorems fundmentis do cálculo diferencil

Leia mais

Matemática B Superintensivo

Matemática B Superintensivo GRITO Mtemátic Superintensivo Eercícios 0) 4 m M, m 0 m N tg 0 = b = b = b = = cos 0 = 4 = = 4. =.,7 =,4 MN =, +,4 + MN =,9 m tg 60 = = =.. = h = + = 0 m 04) 0) D O vlor de n figur bio é: (Errt) 4 sen

Leia mais

A integral de Riemann e Aplicações Aula 28

A integral de Riemann e Aplicações Aula 28 A integrl de Riemnn - Continução Aplicções d Integrl A integrl de Riemnn e Aplicções Aul 28 Alexndre Nolsco de Crvlho Universidde de São Pulo São Crlos SP, Brzil 16 de Mio de 2014 Primeiro Semestre de

Leia mais

REVISÃO Lista 12 Geometria Analítica., então r e s são coincidentes., então r e s são perpendiculares.

REVISÃO Lista 12 Geometria Analítica., então r e s são coincidentes., então r e s são perpendiculares. NOME: ANO: º Nº: PROFESSOR(A): An Luiz Ozores DATA: REVISÃO List Geometri Anlític Algums definições y Equções d ret: by c 0, y mb, y y0 m( 0) e p q Posições de dus rets: Dds s rets r : y mr br e s y ms

Leia mais

Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3)

Integral imprópria em R n (n = 1, 2, 3) Universidde Federl do Rio de Jneiro Instituto de Mtemátic Deprtmento de Métodos Mtemáticos Integrl Imprópri Integrl imprópri em R n (n =,, 3) Autores: Angel Cássi Bizutti e Ivo Fernndez Lopez Introdução

Leia mais

as raízes de ( ) Então resolver Q( x ) = 0 é equivalente a resolver as equações:

as raízes de ( ) Então resolver Q( x ) = 0 é equivalente a resolver as equações: (9) 5-0 O ELITE RESOLVE IME 0 DISURSIVS MTEMÁTI MTEMÁTI QUESTÃO 0 5 O polinômio P ( ) + 0 0 + 8 possui rízes comples simétrics e um riz com vlor igul o módulo ds rízes comples. Determine tods s rízes do

Leia mais

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução

Elementos de Análise - Lista 6 - Solução Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto

Leia mais

Física III Escola Politécnica GABARITO DA P2 14 de maio de 2015

Física III Escola Politécnica GABARITO DA P2 14 de maio de 2015 Físic - 4323203 Escol olitécnic - 2015 GABARTO DA 2 14 de mio de 2015 Questão 1 Considere um csc esféric condutor de rios interno e externo e b, respectivmente, conforme mostrdo n figur o ldo. A resistividde

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Ânderson Vieira

Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Ânderson Vieira CÁLCULO DE ÁREAS Cálculo de áres Cálculo Diferencil e Integrl II Prof. Ânderson Vieir Considere região S que está entre dus curvs y = f(x) e y = g(x) e entre s curvs verticis x = e x = b, onde f e g são

Leia mais

Cálculo em Computadores 2006 Integrais e volumes 1. Cálculo em Computadores Integrais de funções de duas variáveis reais 4

Cálculo em Computadores 2006 Integrais e volumes 1. Cálculo em Computadores Integrais de funções de duas variáveis reais 4 Cálculo em Computdores 2006 Integris e volumes 1 Contents Cálculo em Computdores 2006 Integris de funções de dus vriáveis 1 Áres no plno 2 1.1 exercícios...............................................

Leia mais

INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana.

INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana. INTEGRAL DEFINIDO O oneito de integrl definido está reliondo om um prolem geométrio: o álulo d áre de um figur pln. Vmos omeçr por determinr áre de um figur delimitd por dus rets vertiis, o semi-eio positivo

Leia mais

Prova 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolha 5 questões

Prova 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolha 5 questões Prov 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolh 5 questões 1. Sej f : [, b] R um função limitd. Mostre que f é integrável se, e só se, existe um sequênci de prtições P n P [,b] do intervlo [, b] tl

Leia mais

Adriano Pedreira Cattai

Adriano Pedreira Cattai Adrino Pedreir Ctti pctti@hoocomr Universidde Federl d Bhi UFBA, MAT A01, 006 Superfícies de Revolução 1 Introdução Podemos oter superfícies não somente por meio de um equção do tipo F(,, ), eistem muitos

Leia mais

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo

Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo Mtemátic ásic II - Trigonometri Not 0 - Trigonometri no Triângulo Retângulo Márcio Nscimento d Silv Universidde Estdul Vle do crú - UV urso de Licencitur em Mtemátic mrcio@mtemticuv.org 18 de mrço de 014

Leia mais

1. Prove a chamada identidade de Lagrange. u 1,u 3 u 2,u 3. u 1 u 2,u 3 u 4 = u 1,u 4 u 2,u 4. onde u 1,u 2,u 3 e u 4 são vetores em R 3.

1. Prove a chamada identidade de Lagrange. u 1,u 3 u 2,u 3. u 1 u 2,u 3 u 4 = u 1,u 4 u 2,u 4. onde u 1,u 2,u 3 e u 4 são vetores em R 3. Universidde Federl de Uberlândi Fculdde de Mtemátic Disciplin : Geometri Diferencil Assunto: Cálculo no Espço Euclidino e Curvs Diferenciáveis Prof. Sto 1 List de exercícios 1. Prove chmd identidde de

Leia mais

Exercícios. setor Aula 25

Exercícios. setor Aula 25 setor 08 080409 080409-SP Aul 5 PROGRESSÃO ARITMÉTICA. Determinr o número de múltiplos de 7 que estão compreendidos entre 00 e 000. r 7 00 7 PA 05 30 4 n 994 00 98 98 + 7 05 n + (n ) r 994 05 + (n ) 7

Leia mais

Física III Escola Politécnica GABARITO DA P3 24 de junho de 2010

Física III Escola Politécnica GABARITO DA P3 24 de junho de 2010 P3 Questão 1 Físic - 4320301 Escol Politécnic - 2010 GABARTO DA P3 24 de junho de 2010 onsidere um fio infinito percorrido por um corrente estcionári. oplnr com o fio está um espir retngulr de ldos e b

Leia mais

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1.

ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1. Revist d Mtemátic UFOP, Vol I, 2011 - X Semn d Mtemátic e II Semn d Esttístic, 2010 ISSN 2237-8103 ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX Aln Cvlcnte Felippe 1, Júlio Césr do Espírito Snto 1 Resumo: Este trblho

Leia mais

O binário pode ser escrito em notação vetorial como M = r F, onde r = OA = 0.1j + ( )k metros e F = 500i N. Portanto:

O binário pode ser escrito em notação vetorial como M = r F, onde r = OA = 0.1j + ( )k metros e F = 500i N. Portanto: Mecânic dos Sólidos I - TT1 - Engenhri mbientl - UFPR Dt: 5/8/13 Professor: Emílio G. F. Mercuri Nome: ntes de inicir resolução lei tentmente prov e verifique se mesm está complet. vlição é individul e

Leia mais

3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR

3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR 3 CÁLCULO INTEGRAL EM IR A importâni do álulo integrl em IR reside ns sus inúmers plições em vários domínios d engenhri, ms tmém em ísi, em teori ds proiliddes, em eonomi, em gestão 3 Prtição de um intervlo

Leia mais

Aula 20 Hipérbole. Objetivos

Aula 20 Hipérbole. Objetivos MÓDULO 1 - AULA 20 Aul 20 Hipérbole Objetivos Descrever hipérbole como um lugr geométrico. Determinr su equção reduzid no sistem de coordends com origem no ponto médio entre os focos e eixo x como o eixo

Leia mais

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x.

x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x. Universidde Federl Fluminense Mtemátic II Professor Mri Emili Neves Crdoso Cpítulo Integrl. Diferenciis dy Anteriormente, foi considerdo um símolo pr derivd de y em relção à, ms em lguns prolems é útil

Leia mais

EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c.

EQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c. EQUAÇÃO DO GRAU Você já estudou em série nterior s equções do 1 gru, o gru de um equção é ddo pelo mior expoente d vriável, vej lguns exemplos: x + = 3 equção do 1 gru já que o expoente do x é 1 5x 8 =

Leia mais

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são:

5) Para b = temos: 2. Seja M uma matriz real 2 x 2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição. e as matrizes são: MATEMÁTIA Sej M um mtriz rel x. Defin um função f n qul cd elemento d mtriz se desloc pr posição b seguinte no sentido horário, ou sej, se M =, c d c implic que f (M) =. Encontre tods s mtrizes d b simétrics

Leia mais

IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução:

IME MATEMÁTICA. Questão 01. Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5. Resolução: IME MATEMÁTICA A mtemátic é o lfbeto com que Deus escreveu o mundo Glileu Glilei Questão Clcule o número nturl n que torn o determinnte bixo igul 5. log (n ) log (n + ) log (n ) log (n ) Adicionndo s três

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. A desigualdade isoperimétrica e uma aplicação

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. A desigualdade isoperimétrica e uma aplicação UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA A desiguldde isoperimétric e um plicção Belo Horizonte 2012 ARIANA PATRICI SANTOS QUINTÃO PEREIRA A desiguldde

Leia mais

1 Distribuições Contínuas de Probabilidade

1 Distribuições Contínuas de Probabilidade Distribuições Contínus de Probbilidde São distribuições de vriáveis letóris contínus. Um vriável letóri contínu tom um numero infinito não numerável de vlores (intervlos de números reis), os quis podem

Leia mais

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x.

1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x. 6. Primitivs cd. 6. Em cd cso determine primitiv F (x) d função f (x), stisfzendo condição especi- () f (x) = 4p x; F () = f (x) = x + =x ; F () = (c) f (x) = (x + ) ; F () = 6. Determine função f que

Leia mais

4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem.

4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem. EFOMM 2010 1. Anlise s firmtivs bixo. I - Sej K o conjunto dos qudriláteros plnos, seus subconjuntos são: P = {x K / x possui ldos opostos prlelos}; L = {x K / x possui 4 ldos congruentes}; R = {x K /

Leia mais

Definimos a unidade imaginária j, como sendo um número não real de tal forma que: PROPRIEDADES: j 4 = j 2 x j 2 = ( -1) x ( -1) = 1 ;

Definimos a unidade imaginária j, como sendo um número não real de tal forma que: PROPRIEDADES: j 4 = j 2 x j 2 = ( -1) x ( -1) = 1 ; TÍTULO: NÚMEROS COMPLEXOS INTRODUÇÃO: Os números complexos form desenvolvidos pelo mtemático K Guss, prtir dos estudos d trnsformção de Lplce, com o único ojetivo de solucionr prolems em circuitos elétricos

Leia mais

Física III Escola Politécnica GABARITO DA PR 28 de julho de 2011

Física III Escola Politécnica GABARITO DA PR 28 de julho de 2011 Físic III - 4320301 Escol Politécnic - 2011 GABARITO DA PR 28 de julho de 2011 Questão 1 () (1,0 ponto) Use lei de Guss pr clculr o vetor cmpo elétrico produzido por um fio retilíneo infinito com densidde

Leia mais

2. Prisma de base hexagonal: formado 8 faces, 2 hexágonos (bases), 6 retângulos (faces laterais).

2. Prisma de base hexagonal: formado 8 faces, 2 hexágonos (bases), 6 retângulos (faces laterais). unifmu Nome: Professor: Ricrdo Luís de Souz Curso de Design Mtemátic Aplicd Atividde Explortóri V Turm: Dt: SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: CÁLCULO DE ÁREA SUPERFICIAL E DE VOLUME Objetivo: Conecer e nomer os principis

Leia mais

Matemática A. Versão 2. Na sua folha de respostas, indique de forma legível a versão do teste. Teste Intermédio de Matemática A.

Matemática A. Versão 2. Na sua folha de respostas, indique de forma legível a versão do teste. Teste Intermédio de Matemática A. Teste Intermédio de Mtemátic Versão Teste Intermédio Mtemátic Versão Durção do Teste: 90 minutos 09.0.0.º no de Escolridde Decreto-Lei n.º 74/004, de 6 de mrço N su folh de resposts, indique de form legível

Leia mais

Matemática A - 10 o Ano Ficha de Trabalho

Matemática A - 10 o Ano Ficha de Trabalho Fich de Trlho Álger - Rdicis Mtemátic - 0 o no Fich de Trlho Álger - Rdicis Grupo I. Sejm e dois números nturis diferentes que tis que x =. onclui-se então que x pode ser ddo por qul ds expressões ixo?

Leia mais

2.4 Integração de funções complexas e espaço

2.4 Integração de funções complexas e espaço 2.4 Integrção de funções complexs e espço L 1 (µ) Sej µ um medid no espço mensurável (, F). A teori de integrção pr funções complexs é um generlizção imedit d teori de integrção de funções não negtivs.

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto:

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: www.engenhrifcil.weely.com Resumo com eercícios resolvidos do ssunto: (I) (II) Teorem Fundmentl do Cálculo Integris Indefinids (I) Teorem Fundmentl do Cálculo Ness postil vmos ordr o Teorem Fundmentl do

Leia mais

CPV 82% de aprovação na ESPM em 2011

CPV 82% de aprovação na ESPM em 2011 CPV 8% de provção n ESPM em 0 Prov Resolvid ESPM Prov E 0/julho/0 MATEMÁTICA. Considerndo-se que x = 97, y = 907 e z =. xy, o vlor d expressão x + y z é: ) 679 b) 58 c) 7 d) 98 e) 77. Se três empds mis

Leia mais

3. Seja Σ um alfabeto. Explique que palavras pertencem a cada uma das seguintes linguagens:

3. Seja Σ um alfabeto. Explique que palavras pertencem a cada uma das seguintes linguagens: BCC244-Teori d Computção Prof. Lucíli Figueiredo List de Exercícios DECOM ICEB - UFOP Lingugens. Liste os strings de cd um ds seguintes lingugens: ) = {λ} ) + + = c) {λ} {λ} = {λ} d) {λ} + {λ} + = {λ}

Leia mais

Reta vertical é uma reta paralela ao eixo das ordenadas, é do tipo: Reta vertical é uma reta paralela ao eixo das ordenadas, é do tipo:

Reta vertical é uma reta paralela ao eixo das ordenadas, é do tipo: Reta vertical é uma reta paralela ao eixo das ordenadas, é do tipo: mta0 geometri nlític Referencil crtesino no plno Referencil Oxy o.n. (ortonormdo) é um referencil no plno em que os eixos são perpendiculres (referencil ortogonl) s uniddes de comprimento em cd um dos

Leia mais

A força não provém da capacidade física, e sim de uma vontade indomável. Mahatma Gandhi

A força não provém da capacidade física, e sim de uma vontade indomável. Mahatma Gandhi A forç não provém d cpcidde físic, e sim de um vontde indomável. Mhtm Gndhi Futuros militres, postos! É hor de meter o ggá! Este é o módulo 8 do curso de MATEMÁTICA d turm AFA-EN-EFOMM- EsPCE-EEAr. Nesse

Leia mais