Objetivo A = 2. A razão desse sucesso consiste em usar somas de Riemann, que determinam

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1 Aplicções de integris Volumes Aul 28 Aplicções de integris Volumes Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo de diversos tipos de volumes de sólidos, especificmente os chmdos método ds seções trnsversis e o método ds cscs cilíndrics. Introdução A plicção mis imedit d integrl definid é noção de áre de regiões plns. N verdde, integrl é mneir dequd de estbelecer e clculr s áres de regiões não tringulrizáveis. Bst lembrr do exemplo d áre do círculo de rio r A = 2 r π/2 r2 x 2 dx = 2 r 2 cos 2 θ dθ = πr 2. r π/2 A rzão desse sucesso consiste em usr soms de Riemnn, que determinm áres de regiões que proximm região em questão. Nesse cso, s soms de Riemnn são s soms de áres de retângulos linhdos ldo ldo. Nest ul, você verá como esss idéis podem ser usds pr tribuir volume certos sólidos. Áre = πr 2 Sólidos de revolução Os sólidos de revolução são queles obtidos girndo um região pln R em torno de um eixo, chmdo eixo de rotção. Exemplo 28.1 Sej R o semicírculo limitdo por y = 1 x 2 e pelo eixo Ox. Se usrmos o eixo Ox como eixo de rotção, obteremos esfer sólid como um objeto de revolução. Se, em contrprtid, usrmos ret x = 1 como o eixo de rotção, obteremos um sólido de revolução diferente. Vej s figurs seguintes. Est grvur é tribuid o mtemático jponês Seki Kow, do século XVII. A idéi de proximção por objetos mis simples é muito poderos e prece em váris situções, n Mtemátic. Exercício 1. Fç um esboço do sólido de revolução obtido pel revolução do semicírculo do exemplo nterior em torno dos seguintes eixos: () x = 2; (b) y = CEDERJ

2 Aplicções de integris Volumes Nest ul, usremos s integris definids pr estbelecer e clculr volumes de sólidos de revolução. Volumes de sólidos de revolução Sej f : [, b] R um função contínu tl que f(x), x [, b]. Considerremos o sólido de revolução obtido pel rotção d região limitd pelo eixo Ox e pelo gráfico de f, em torno do eixo Ox. Considere = x < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b, um prtição P do intervlo [, b] e, pr cd subintervlo d prtição escolh um ponto ξ i [x i 1, x i ]. O volume do cilindro de rio f(ξ i ) e ltur x i = x i x i 1 é V i = π [ f(ξ i ) ] 2 xi. A som desses volumes, V i = π [ f(ξ i ) ] 2 xi, é um som de Riemnn e, n medid em que tommos prtições mis e mis fins, os cilindros empilhdos formm um sólido que se prece cd vez mis com o sólido de revolução originl. Como função f é contínu, função g(x) = π [ f(x) ] 2 tmbém é contínu. Isso nos lev à seguinte definição. CEDERJ 132

3 Aplicções de integris Volumes Definição 28.1 O volume V do sólido obtido pel revolução d região sob o gráfico d função contínu, positiv, f : [, b] R em torno do eixo Ox é V = lim P π [ f(ξ i ) ] 2 xi = onde P = min{ x i, x i P }. Exemplo 28.2 O volume d esfer. π [ f(x) ] 2 dx, Pr obter o volume d esfer, bst considerr f(x) = r 2 x 2, definid no intervlo [ r, r]. Nesse cso, V = r = π r π ( r 2 x 2) 2 dx = π (r 2 x 2) 2 dx (r 2 x x3 3 ) r r ) = π (r 3 r3 3 + r3 r3 = 4πr Exercício 2. Sej R região limitd pel curv y = x, pelo eixo Ox, com x [, 4]. Fç um esboço do sólido obtido pel revolução de R em torno do eixo Ox e clcule o seu volume. Exemplo 28.3 Você gor verá como clculr o volume do sólido obtido pel rotção em torno do eixo Ox do conjunto R = { (x, y) R x 2 + (y 2) 2 1}. 133 CEDERJ

4 Aplicções de integris Volumes Antes, um esboço do sólido. Ao girrmos esse disco de rio 1 e centro em (, 2) em torno do eixo Ox obteremos um sólido cuj superfície é chmd de toro e que lembr um câmr de r de um pneu. Pr clculrmos o volume desse sólido usremos seguinte bordgem. Primeiro, dividiremos curv x 2 +(y 1) 2 = 1 em dus funções, mbs sobre o mesmo intervlo, [ 1, 1]. A função f 1 (x) = x 2 tem por gráfico o semicírculo superior, enqunto função f 2 (x) = 2 1 x 2 tem por gráfico o semicírculo inferior. A integrl V 1 = 1 1 π [ f 1 (x) ] 2 dx determin o volume do toro cheio com o burco incluído. A integrl V 2 = 1 1 π [ f 2 (x) ] 2 dx determin, precismente, o volume do burco. Portnto, o volume que queremos clculr é ddo pel diferenç V 1 V 2 : V = π = 8π (2 + 1 x 2 ) 2 dx π x2 dx = 8π π 2 = 4π2. (2 1 x 2 ) 2 dx = Método ds seções trnsversis Ao observr fórmul V = π [ f(x) ] 2 dx, você não pode deixr de notr que o integrndo π [ f(x) ] 2 é, precismente, áre do disco de rio f(x), que é seção trnsversl obtid do corte do sólido de revolução ddo pelo plno perpendiculr o eixo n ltur x. Isso nos lev estender noss definição de volume outros sólidos, não necessrimente sólidos de revolução. Suponh que B sej um sólido limitdo por dois plnos perpendiculres o eixo Ox, em x = e x = b, e que pr cd x [, b], áre d seção trnsversl do sólido com o plno perpendiculr o eixo sej dd por A(x). CEDERJ 134

5 Aplicções de integris Volumes Se A(x) for um função contínu, usmos s soms de Riemnn, de mneir nálog à que foi usd no cso de sólidos de revolução, pr chegrmos à definição seguir. Ns condições que cbmos de descrever, o volume do sólido B é V = A(x) dx. Exemplo 28.4 Você verá como podemos clculr o volume de um pirâmide de bse qudrd, de ldo e de ltur h. Pr fzer isso precismos chr áre d seção trnsversl obtid pelo corte ddo pelo plno que é perpendiculr o eixo de simetri d pirâmide, n ltur x, pr todo x [, h]. Est seção é um qudrdo prlelo à bse d pirâmide, de ldo proporcionlmente menor. Podemos clculr esse ldo usndo semelhnç de triângulos. h- x h h = l h x x l l = (h x) h ( = 1 x ) h Assim, A(x) = l 2 = 2 ( 1 x h) 2, e V = h ( 2 1 x ) 2 1 dx = h 3 2 h. Isso é, o volume d pirâmide é um terço d áre d bse vezes ltur. Vmos mis um exemplo. 135 CEDERJ

6 Aplicções de integris Volumes Exemplo 28.5 Neste exemplo, vmos clculr o volume d interseção de dois cilindros de mesmo rio, cujos eixos de simetri são perpendiculres. Vmos supor que um dos cilindros tem Ox como seu eixo de simetri, e o outro cilindro, o eixo Oz. Devido à simetri, este volume é 8 vezes o volume d prte que se encontr no primeiro octnte, representd n figur seguir, à esquerd. A figur d direit mostr o sólido com um corte perpendiculr o eixo Ox. Ess seção, n ltur x, é um qudrdo de ldo 2 x 2. Assim, áre desse qudrdo é A(x) = ( 2 x 2 ). representdo n figur, é ( 2 x 2 ) dx = 2 x x3 3 O volume do oitvo do sólido, = = Portnto, interseção dos dois cilindros é Método ds cscs cilíndrics Este método é proprido pr clculr volumes de sólidos de revolução cujo eixo de simetri é o eixo Oy. Vmos considerr um retângulo de ltur h, sobre o intervlo [x i 1, x i ], com < x i 1 < x i, como mostr figur seguir. Vmos clculr o volume d csc cilíndric obtid pel rotção desse retângulo em torno do eixo Oy. CEDERJ 136

7 Aplicções de integris Volumes menor: Or, isso é o volume do cilindro mior menos o volume do cilindro V i = π x 2 i h π x 2 i 1h = πh(x 2 i x 2 i 1) = = πh(x i + x i 1 )(x i x i 1 ). Agor, sej f : [, b] R um função contínu, positiv, com e sej R região sob o gráfico de f. Queremos clculr o volume do sólido de revolução d região R em torno do eixo Oy. O método que permite fzer isso é chmdo de método ds cscs cilíndrics, pois usmos proximções do sólido por cscs cilíndrics obtids d revolução em torno do eixo Oy de retângulos que proximm áre R, num processo similr o que usmos pr obter fórmul de volume de sólidos de revolução em torno do eixo Ox. Vej como funcion: sej = x < x 1 < x 2 < < x n = b um prtição do intervlo [, b] e, como ntes, pr cd intervlo d prtição, escolhemos um ponto ξ [x i 1, x i ]. O volume d csc cilíndric obtid d revolução em torno do eixo Oy do retângulo de bse [x i 1, x i ] e ltur f(ξ i ) é V i = π f(ξ i ) (x i + x i 1 ) x i. 137 CEDERJ

8 Aplicções de integris Volumes A som dos volumes ds cscs cilíndrics é um som de Riemnn: V i = π f(ξ i ) (x i + x i 1 ) x i = 2π f(ξ i ) x i x i. O limite desss soms de Riemnn result n fórmul com qul definimos o volume do sólido: V = 2π x f(x) dx. Vej como el funcion no próximo exemplo. Exemplo 28.6 Vmos clculr o volume do cone de ltur h, com o rio d bse r. Pr isso, vmos considerá-lo como o sólido de revolução do triângulo de vértices (, ), (r, ) e (, h), em torno do eixo Oy. Primeiro, devemos chr ( equção ) d ret que contém os pontos (r, ) e (, h). Isso é fácil: y = h 1 x. Agor, usremos fórmul do método r ( ) ds cscs cilíndrics, com f(x) = h 1 x, definid no intervlo [, r]: r r ( V = 2π x h 1 x ) r ) dx = 2π (hx hx2 dx = r r ( hx 2 ) r ( = 2π hx3 hr 2 ) = 2π hr2 = πhr2 2 3r Ou sej, o volume do cone de ltur h e rio d bse r é um terço d áre d bse vezes ltur. CEDERJ 138

9 Aplicções de integris Volumes Resumo ds fórmuls Sej R região sob o gráfico d função contínu e positiv f definid em [, b]. O volume do sólido obtido d revolução de R em torno do eixo Ox é ddo por: V = π [ f(x) ] 2 dx. Se >, volume do sólido obtido d revolução de R em torno do eixo Oy é ddo por: V = 2π x f(x) dx. Se A : [, b] R é um função contínu e positiv que descreve s áres ds seções trnsversis perpendiculres o eixo Ox de um ddo sólido, então seu volume é ddo por: V = A(x) dx. Ao chegrmos o fim dest ul, vmos lembrr de um dos miores mtemáticos de todos os tempos: Arquimedes. O ápice de su obr foi escrito em dois volumes, chmdo D Esfer e do Cilindro, em que desenvolve um teori que lhe permite clculr o volume de vários sólidos, tl como você fez gor. A diferenç é que ele não dispunh de um prto tão completo como o nosso. É um pen que os mtemáticos que vierm imeditmente pós Arquimedes não tenhm conseguido dr continuidde à su obr. Ele tinh, definitivmente, um mente muito à frente de seu tempo. Exercícios Agor, os exercícios, começndo com os que form sugeridos o longo d ul. Exercício 1. Fç um esboço do sólido de revolução obtido pel revolução do semicírculo do exemplo nterior em torno dos seguintes eixos: () x = 2; (b) y = 1. Arquimedes nsceu em Sircus, em 287.C., estudou em Alexndri e tornou-se o mior mtemático de seu tempo. Pssou quse tod su vid em Sircus, servindo o rei Hierão. Morreu em 212.C., durnte o cerco de Sircus pelos romnos. Mnteve grnde correspondênci com os mtemáticos de seu tempo, que conhecer durnte su estdi em Alexndri, como Erstótenes, Apolônio e outros. 139 CEDERJ

10 Aplicções de integris Volumes Solução: Nesse cso, devemos fzer dois desenhos. Lembre-se de que o desenho pode judr, ms, em muitos csos, não cheg ser essencil. O importnte é que você tenh um bo idéi dos sólidos em questão. Exercício 2. Sej R região limitd pel curv y = x, pelo eixo Ox, com x [, 4]. Fç um esboço do sólido obtido pel revolução de R em torno do eixo Ox e clcule o seu volume. Solução: Aqui está o esboço do sólido de revolução: Pr clculr o volume usremos fórmul V = π f(x) = x, sobre o intervlo [, 4]. Assim, V = π 4 Agor é su vez de prticr. x dx = π x2 2 4 = 8π. [ f(x) ] 2 dx, onde 3. Clcule o volume do sólido de revolução d região R em torno do eixo indicdo: () R = { (x, y) R x 2, y x/2 }; (b) R = { (x, y) R x π, y cos x/2 }; (c) R = { (x, y) R 1 y x 2 4x + 4 }; (d) R = { (x, y) R 1 x 2, y e x }; (e) R = { (x, y) R x 2, 1/x y e x }; Ox. Ox. Ox. Ox. Oy. CEDERJ 14

11 Aplicções de integris Volumes 4. Esboce o gráfico d região R sob o gráfico d função y = cos x sobre o intervlo [, π]. Clcule o volume do sólido de revolução de R em torno do eixo Oy e fç um esboço desse sólido. 5. Clcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo Ox d região sob o gráfico d função f(x) = x cos x, no intervlo [, π/2]. 6. Clcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo Ox d região sob o gráfico d função f(x) = sec x, no intervlo [π/4, π/3]. 7. Em um esfer de rio 1 foi cvdo um burco cilíndrico, cujo eixo de simetri é um diâmetro máximo d esfer. Clcule o volume obtido d esfer menos o cilindro, sbendo que o rio do cilindro é 1/2. 8. Clcule o volume do sólido cuj bse é o disco x 2 + y 2 4 tl que cd um de sus seções trnsversis perpendiculres o eixo Ox é um qudrdo. 9. Um sólido é construído sobre o triângulo de vértices (, 2), (, 2) e (4, ), de tl form que cd seção perpendiculr o eixo Ox é um semicírculo. 1. Um cunh é cortd do cilindro x 2 + y 2 1 pelos plnos z = e z = y. Clcule o seu volume. 141 CEDERJ