NOTAS DE AULA CURVAS PARAMETRIZADAS. Cláudio Martins Mendes

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1 NOTAS DE AULA CURVAS PARAMETRIZADAS Cláudio Mrtins Mendes Segundo Semestre de 2005

2 Sumário 1 Funções com Vlores Vetoriis Definições - Proprieddes Movimentos no Espço

3 Cpítulo 1 Funções com Vlores Vetoriis Até qui trblhmos com funções f : R R. Estudremos gor funções com vlores vetoris. As mesms são úteis pr descrever superfícies e curvs espciis. São tmbém úteis pr descrever o movimento de objetos no espço. 1.1 Definições - Proprieddes Definição F : I R 3, I R, intervlo F (t) = (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) ou F (t) = f 1 (t) ı + f 2 (t) j + f 3 (t) k é dit um função com vlores vetoriis. Definição Se F (t) = (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) então ( ) lim F (t) = lim f 1 (t), lim f 2 (t), lim f 3 (t). t t t t Definição F é dit contínu em se lim t F (t) = F (). Definição F tem derivd F (t) se F F (t + h) F (t) (t) = lim h 0 h Observe que F (t+h) F (t) lim h 0 h = ( ) f 1 (t+h) f 1 (t) f 2 (t+h) f 2 (t) f 3 (t+h) f 3 (t) lim, lim, lim h 0 h h 0 h h 0 h = (f 1(t), f 2(t), f 3(t)).. 2

4 Definição ou b F (t)dt = b b ( b F (t)dt = f 1 (t)dt, f 1 (t)dt ı + b f 3 (t)dt j + b b f 2 (t)dt, b f 3 (t)dt k. ) f 3 (t)dt Proprieddes: Consideremos: (i) (F + G) (t) = F (t) + G (t) F, G : I R 3 µ : I R (ii) (µ F ) (t) = µ(t)f (t) + µ (t)f (t) (iii) (F G) (t) = F (t) G (t) + F (t) G(t), onde denot o produto esclr. (iv) (F G) (t) = F (t) G (t) + F (t) G(t), onde denot o produto vetoril. Fremos prov de (iii). As outrs serão deids como eercício. Prov de (iii): Sej F (t) = f 1 (t) ı + f 2 (t) j + f 3 (t) k e G(t) = g 1 (t) ı + g 2 (t) j + g 3 (t) k. 3 (F G)(t) = f i (t) g i (t) i=1 (F G) (t) = = ( 3 3 f i (t) g i (t)) = (f i (t) g i (t)) = i=1 i=1 3 (f i (t) g i(t) + f i(t) g i (t)) = 3 3 f i (t) g i(t) + f i(t) g i (t) = i=1 i=1 i=1 = F (t) G (t) + F (t) G(t). Pssremos nos utilizr de funções do tipo cim pr estudr os movimentos no espço. 1.2 Movimentos no Espço Pr descrever o movimento de um prtícul no espço precismos eplicr onde prtícul está em cd instnte de tempo t de um certo intervlo. Assim, cd instnte t no intervlo considerdo I, corresponde um ponto γ(t) e o movimento é descrito por um função γ : I R 3. 3

5 z γ(t) γ(t) 3 Definição Um curv no R 3 é um plicção contínu γ : I R 3, onde I é um intervlo d ret. γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t), γ 3 (t)). = γ 1 (t) As equções : = γ 2 (t) são chmds equções prmétrics de γ. z = γ 3 (t) Como vimos, função vetoril γ tem derivd γ (t) em t I se γ (t) = lim h 0 γ(t + h) γ(t) h. Lembre-se: γ (t) = (γ 1(t), γ 2(t), γ 3(t)). Definição γ : I R 3 um curv. Trço de γ é imgem do intervlo I por γ. γ é dit diferenciável de clsse C r se γ 1, γ 2, γ 3 o forem em I. γ(t + h) γ(t) A figur seguir mostr que o vetor tem direção que, conforme h tende h zero, proim-se d direção que costummos chmr direção tngente à curv γ em γ(t). 4

6 z z γ(t) o γ(t+h) γ(t+h) γ(t) γ(t) o γ(t+h) γ (t) γ(t+h) γ(t) h, 0<h<1 A derivd γ (t) se eiste e é diferente do vetor nulo é chmd o vetor tngente γ em γ(t). Ele é usulmente representdo com origem em γ(t), como n figur. Eemplos: 1. γ : [0, 2π] R 2 definid por γ(t) = (cos t, sen t). Temos γ (t) = ( sen t, cos t). Notemos que: (i) γ (t) = 1 (ii) γ (t) γ(t) = 0 γ (t) γ(t) 2. γ : [ 0, 5π 2 ] R 3 ; γ(t) = (cos t, sen t, t). 5

7 z γ ( ) 5π 2 γ(0) 3. γ : [ 0, π ] R 2 ; dd por γ(t) = (cos 2t, sen 2t). γ (t) γ(t) Compre com o eemplo 1. Note que diferentes curvs podem ter o mesmo trço. 4. Curvs podem ser, em gerl, muito rbitráris. Por eemplo, eiste um curv contínu, curv de Peno, cujo trço é o qudrdo [0, 1] [0, 1] R 2 (Pr miores detlhes o leitor pode consultr o Livro de Elon Lges Lim, Elementos de Topologi Gerl, pg. 252 ) Muits vezes chmmos o vetor γ (t) como o vetor velocidde. Isto tem sentido pois estmos entendendo um curv como o movimento de um prtícul no espço. Esse movimento é descrito em função do tempo por γ(t). Observe que o número, γ(t + h) γ(t) h 6

8 pr h pequeno, é velocidde médi de γ no intervlo de t t + h. Se γ (t) eiste, não é difícil provr que γ γ(t + h) γ(t) (t) = lim. h 0 h De fto: Notemos que 0 γ(t + h) γ(t) γ ( ) (t) h γ(t + h) γ(t) γ (t) h 0, com h 0. Logo γ(t + h) γ(t) h ( ) Usmos propriedde Assim γ (t), com h 0. u v u v. γ (t) é um limite de velociddes médis sobre intervlos rbitrrimente pequenos. Por est rzão γ (t) é chmdo velocidde de γ no ponto γ(t) e γ (t) é dito o vetor velocidde de γ no ponto γ(t). Definição Um curv γ : I R 3 é dit regulr (ou suve) se for diferenciável de clsse C 1 e se γ (t) = (γ 1(t), γ 2(t), γ 3(t)) (0, 0, 0), t I. Definição γ : [, b] R 3 é dit regulr por prtes (ou suve por prtes ) se eistir um prtição finit de [, b] em subintervlos tl que restrição de γ cd subintervlo sej regulr. γ é dit fechd se γ() = γ(b). Se γ é fechd e o seu trço não se intercept em nenhum outro ponto então γ é dit curv fechd simples. γ() = γ(b) γ() = γ(b) Fechd não simples Fechd simples 7

9 Eemplos: 1. γ : [ 1, 1 ] R 2, γ(t) = (t 3, t 2 ). = t 2 = (t 3 ) 2/3 = 2/3 Assim o trço d curv está contido no gráfico d função = 2/3. Notemos que γ C. Aind γ (t) = (3t 2, 2t), t ( 1, 1). γ não é regulr, um vez que γ (0) = (0, 0). γ é regulr por prtes. Obs. Note diferenç entre trço de curv e gráfico de f : R R. 2. γ : R R 2, γ(t) = (t 3 4t, t 2 4). γ (t) = (3t 2 4, 2t) (0, 0), t R. γ C. Assim γ é regulr. Note: γ( 2) = γ(2) = (0, 0) γ ( 2) = (8, 4) e γ (2) = (8, 4) -4 8

10 3. O gráfico de um função contínu = f(), b, pode ser prmetrizdo ssim: = t t [, b] = f(t) b Um resultdo que temos é o seguinte: um curv regulr (ou suve) não tem bicos (quins). De fto: Um curv regulr é tl que o vetor tngente vri de mneir contínu. Em um bico (quin) mudnç do vetor tngente só pode ser contínu se no bico ele for nulo (contr regulridde d curv). A recíproc deste resultdo não é verddeir. Pr tnto consideremos o eemplo: γ : R R 2, γ(t) = (t 3, t 3 ). Neste cso γ (0) = (0, 0) e ssim γ não é regulr ms o seu trço não form bico. 9

11 Iremos gor fzer um convenção: Sej γ : [, b] R 3. Iremos denotr por γ curv definid como: γ : [, b] R 3, γ(t) = γ( + b t). γ(b) γ γ γ() Eercícios: 1. Mostre que se γ(t) é constnte então γ (t) é ortogonl γ(t), t I. Resolução: Temos (γ γ)(t) = γ(t) γ(t) = γ(t) 2 = C. Derivndo obtemos (γ γ) (t) = 0. Usndo propriedde d derivd do produto esclr obtemos: (γ γ) (t) = 2 γ (t) γ(t). Logo γ (t) γ(t) = 0. Assim γ (t) é ortogonl γ(t), t I. Observe: Se γ(t) é constnte então etremidde de γ(t) se desloc sobre um 10

12 superfície esféric de centro n origem. O vetor tngente γ (t) é sempre ortogonl um rio d esfer. 2. A figur bio é descrit por um ponto P sobre um circunferênci de rio que rol sobre o eio. Est curv é chmd ciclóide. Determinr um prmetrizção del. C P t 2 Q o A B Sej P (, ). 11

13 t C(t, ) cos t P (,) sen t Q(t,) O giro d circunferênci implic que OB = rco BP =.t. Logo: = OB AB = OB P Q = t sen t = (t sen t). Tmbém = BC QC = cos t = (1 cos t). Portnto ciclóide tem representção prmétric: = (t sen t) = (1 cos t). d Assim: = (1 cos t) e d = sen t, que são funções contínus. Aind, ests se dt dt nulm em t = 2 n π, n N. Logo ciclóide não é suve. Not 1: Vmos registrr qui lgums proprieddes d ciclóide. Pr miores detlhes o leitor pode consultr o Livro Cálculo com Geometri Anlític - Vol. 2 - Simmons - pg Tngente - topo do círculo comprimento = 4(2) P 2π áre = 3(π 2 ) Not 2: Vmos qui tmbém presentr lgums curiosiddes à respeito dest curv. O leitor interessdo em miores detlhes pode consultr o Livro citdo nteriormente n Not 1, pg N situção representd seguir, consideremos o problem de deslizr rruel sob ção d grvidde somente. 12

14 A rruel B rme delgdo (rbitrário) Qul deve ser form do rme (trjetóri) que permit rruel ir de A té B no menor tempo possível? A respost é um ciclóide (invertid) com A n origem. Não é o segmento de ret. (Menor tempo: brquistócron) A B - ponto mis bio Soltndo-se rruel em qulquer ponto entre A e B o tempo levdo té chegr B é o mesmo. (Tempos iguis: Tutócron) Ambos problems form resolvidos no sec. XVII pelos Irmãos Bernouilli. O comprimento de um curv é distânci totl percorrid pel prtícul móvel. Prov-se que dd um curv diferenciável de clsse C 1, γ : [, b] R 3, seu comprimento é ddo por c(γ) = Vejmos um interpretção: b γ (t) dt 13

15 γ(b) t i i b γ γ (t i ) γ() γ (t i ) i comprimento do rco destcdo, melhorndo proimção qundo i 0. Assim: c(γ) = lim i 0 n γ i (t i ) i = i=1 b γ (t) dt Observção: O Leitor interessdo n dedução dest fórmul pode consultr, por eemplo, o livro Advnced Clculus - Buck - pg Eemplos: 1. γ : [0, 2π] R 2, γ(t) = (cos t, 0) -1 1 O comprimento d curv é 4. Clcule pel definição. 2. Clculr o comprimento d hélice circulr γ(t) = (cos t, sen t, t), t [0, 2π] c(γ) = 2π 0 2π sen2 t + cos 2 t + 1 dt = 2 dt = 2 2 π 0 3. Clculr o comprimento do gráfico d função de clsse C 1, f : [, b] R. Podemos pensr n prmetrizção γ : [, b] R 2, γ(t) = (t, f(t)). b c(γ) = 1 + [f (t)] 2 dt - fórmul já deduzid nteriormente. 14

16 Definição Sej γ : [, b] R 3. Dizemos: γ(t) - vetor posição. γ (t) - vetor velocidde. γ (t) - vetor celerção. Eemplos: 1. Consideremos situção: γ(t) γ (t) γ (t) Conclu que γ (t) pont pr o ldo côncvo de γ, como ilustrdo cim. 2. Um prtícul desloc-se num plno obedecendo lei: γ : [0, 2] R 2, γ(t) = (t 2 t) ı + t j Determine velocidde e celerção no instnte t. Esboce trjetóri e represente geometricmente γ (1) e γ (1). γ (t) = (2t 1) ı + j γ (t) = 2 ı γ (1) = (0, 1) γ (1) = ı + j γ (1) = 2 ı. γ (1) γ(1) γ(0) γ(2) γ (1) 2 15

17 3. Um prtícul percorre um circunferênci com velocidde ngulr constnte. Mostre que celerção é representd por um vetor de módulo constnte, orientdo pr o centro d circunferênci (este vetor é chmdo celerção centrípet ). Sem perd de generlidde, podemos supor: θ = ângulo formdo por OP no instnte t. P (, ) γ(t) θ A(, o) Temos: velocidde ngulr w = constnte. Assim: θ = w t. = cos (wt) Logo: = sen (wt). γ(t) = cos(wt) ı + sen(wt) j. γ (t) = w sen(wt) ı + w cos(wt) j. γ (t) = w 2 cos(wt) ı w 2 sen(wt) j. Temos então que: γ (t) = w 2 e γ (t) = w 2 γ(t) o que comprov que γ (t) pont pr o centro d circunferênci. 4. Consideremos o movimento ddo por: γ(t) = cos(wt) ı + sen(wt) j + h k 16

18 z θ w γ(t) γ (t) Definimos w = w k - chmdo velocidde ngulr de γ. ı j k w γ(t) = 0 0 w = w sen(wt) ı + w cos(wt) j = γ (t). cos(wt) sen(wt) h Portnto: o vetor velocidde é o produto vetoril d velocidde ngulr w pelo vetor posição γ(t). 5. Vmos gor eminr o comportmento de um projetil disprdo por um cnhão. Introduzimos o sistem de coordends. o α γ(t) A Vmos desprezr resistênci do r, considerndo pens forç d grvidde. Sej v 0 = v 0 g = g j, onde g = g = 9, 8m/s 2 17

19 Pel 2 ā Lei de Newton ( F = m ) temos: Integrndo: m = m g ou γ (t) = g γ (t) = t g + c Temos que v 0 = γ (0) = c Logo γ (t) = t g + v 0 Integrndo novmente: γ(t) = 1 2 t2 g + t v 0 + d Aind: 0 = γ(0) = d Logo: γ(t) = 1 2 t2 g + t v 0 = 1 2 t2 g j + t(v 0 cos α ı + v 0 sen α j) Temos então s equções prmétrics: ( ) = (v 0 cos α)t = 1 2 t2 g + (v 0 sen α)t Eliminndo t, temos: g = 2v0 2 cos 2 α 2 + (tg α) - o que mostr que trjetóri é um prábol. Alcnce (ou ponto A): Fzemos = 0 em ( ) t( 1 2 g t + v 0 sen α) = 0 t = 0 - corresponde o ponto O ou t = 2 v 0 sen α g Substituindo n 1 equção de ( ) obtemos: - corresponde o ponto A. = v 0 cos α 2 v 0 sen α g = v2 0sen(2α) g. Em prticulr: lcnce máimo se sen(2α) = 1 ou sej α = Altur Máim: = tg + v 0 sen α = 0 18

20 t = v 0 sen α g Assim ltur máim ocorre em t = v 0 sen α g e h m = v2 0 sen 2 α 2g. 19

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