Dessa forma o eixo ox é uma assíntota da função exponencial e assim valores de y < 0 não se relacionam com nenhum x do domínio, portanto Im = R +.

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1 6 4. Função Eponencil É todo função que pode ser escrit n form: f: R R + = Em que é um número rel tl que 0 <. Observção:. Se < 0, com R, poderímos ter, por eemplo, = - e = e ssim terímos = R, ou sej, f não seri função.. Se = 0, poderímos ter = -. Assim = 0 - = 0, que não eiste.. Se =, terímos = =, independente do vlor de, logo seri um função fim e não eponencil. 4. Gráfico d função eponencil e eemplos. O gráfico o ldo é o gráfico d função eponencil, cuj lei é =. Pr fzer seu gráfico incilmente podemos obter lguns pontos e depois pssr um linh por estes pontos. Será que função interseccion o eio o? Pr isso deverímos chr respost pr = 0 e de fto não eiste pr que isso ocorr. No cso d função ser crescente, podemos dizer que qunto mis se proim de, mis se proim de zero, ms nunc será zero. E qunto mis se proim de +, mis vi +. Esse comportmento d função eponencil é de etrem importânci. Vejmos um outro gráfico. O gráfico o ldo é o d função, cuj lei é g() Podemos fzer este gráfico nlogmente o nterior. Dest vez, nos deprmos com um função decrescente. O comportmento d função g se inverte em relção o crescimento e ssim podemos dizer que qunto mis se proim de, mis ument ilimitdmente, ou sej, vi +. Assim como qunto mis se proim de +, mis se proim de zero. Dess form o eio o é um ssíntot d função eponencil e ssim vlores de < 0 não se relcionm com nenhum do domínio, portnto Im = R +.

2 64 Tnto n função eponencil crescente, qunto n decrescente o gráfico d função interseccion o eio o no ponto (0,). Isso se considerrmos função eponencil simples, cuj lei é =. 4. Crescimento. Com função eponencil básic, ou função é pens crescente, ou pens decrescente. Como diferencir os dois csos? Tirmos est respost d ritmétic e ds regrs de potencição. Anlismos dois csos: Se 0 < < e se >. Se >, à medid que umentrmos o, mior ficrá o, isso signific que função é crescente. Ao ldo, os gráficos bordô, zul e verde são respectivmente ds funções eponenciis, cujs leis são: =, = e =,5. Por eemplo, considerndo = : - < 0 < - < 0 < Se 0 < <, à medid que umentrmos o, menor ficrá o, isso signific que função é decrescente. Ao ldo os gráficos verde, vermelho e zul são respectivmente ds funções eponenciis h, g e p, cujs leis são:, e Por eemplo, considerndo = - < 0 < 0 Se 0 < <, então função eponencil é decrescente. Se >, então função eponencil é crescente. Eemplo: Determine o crescimento ds funções bio: () f: R R + (b) g: R R + (c) h: R R

3 65 4. Estudo do Sinl A função básic f: R R + não interseccion o eio o e está tod cim = deste eio, logo é sempre positiv. Agor qundo compomos função eponencil com outrs tudo pode contecer. Isso requer que sibmos resolver equções e inequções envolvendo epressões eponenciis. 4.4 Equções eponenciis. Qul é riz d função f : lr lr? Sbemos que função eponencil básic não 5 9 * g : lr lr tem riz, ms est é o resultdo d composição d função h : lr lr, 9 p : lr lr e. 5 Descobrir riz d função f requer que resolvmos equção = 0. Outrs composições eigirão resolver outrs equções, então pssmos gor resolvêls. A resolução de problems envolvendo funções eponenciis tmbém requerem resolução de equções eponenciis. Relembrndo proprieddes de potencição e rdicição. - - b (b) -, se , se b 0. b b > , se =, se 0. 0 =. A fim de resolver um equção eponencil podemos plicr ests proprieddes e somente ests, lém ds mnipulções lgébrics conhecids. Eemplo: Resolver s equções bio: () 4 = (b) 8 (c) 5 5 (d) = 0

4 64 (e) = 05 (f) 4 = Inequções eponenciis. f : lr lr Pr que vlores do domínio ssume vlores positivos ou negtivos? Sbemos que função eponencil básic 5 9 não tem riz e é pens positiv, ms e est? Determinr em que vlores de, f é positiv requer que resolvmos 5z- - 9 > 0 e pr vlores negtivos, 5z- - 9 < 0. Pr isso lém de considerr s proprieddes de potencição e s mnipulções lgébrics já conhecids, devemos considerr s proprieddes bio relcionds com o crescimento de um função eponencil: Se >, então: Se 0 < <, então: < <. > <. Eemplo: Resolver s equções bio: () - > 7 (b) > ( ) < -4 > Propriedde < -4 > > Propriedde > + < - 4 > < 7 < S = [4, + [ S = 7, 7

5 65 (c) (d) > 0 0<< Propriedde 5- > 9 < 5- > - < 0 > Propriedde Inequção de º gru 5 > Rízes = - e = 5 > 4 Concvidde pr cim 4 5 S = ], [ 4 S =, 5 (e) < 08 (d) > < > 0 Colocndo em evidênci: 5.(5 ) > 0 (+9) < 08 Trocndo vriáveis: 08 < t = 5 5t 6t + 5 > 0 6 < 9 Rízes t > Propriedde t = t = 5 Voltndo vriável : t 50 < 5 = 5 5 = 5 S = ]-,[ = - = Concvidde pr cim e > S = ]-,-[],+[ 5. Função invers d função eponencil. Sendo f: R R + função eponencil, então g: R + R é su invers, desde = = g sej função. Não esqueç, é um número rel tl que 0 <. Como conhecemos o gráfico d função f e que gráficos de funções inverss entre si são simétricos em relção à ret =, podemos verificr se g é função. Ao ldo curv zul é o gráfico de um função eponencil em que >. A curv vermelh foi produzid pel simetri. Not-se que é um função e que, identicmente f, g é crescente. Pel simetri o eio o é ssíntot d f e ssim o eio o é ssíntot de g. Lembrmos que pel definição de função invers: (,b) f (b,) g Podemos já fzer o estudo do sinl d função g: > 0 > = 0 = < 0 0 < < Esquem simplificdo do sinl: >

6 66 No cso de 0 < <, pel simetri, podemos notr que função g tmbém é decrescente. Tmbém podemos estudr o sinl d função invers d eponencil qundo 0 < <. > 0 0 < < = 0 = < 0 > Esquem simplificdo do sinl: 0 < < : Devemos obter um modo de eplicitr n lei de g e função estrá definid. N lei d função invers d função eponencil: =, pr eplicitr que está no epoente, temos definição de LOGARITMO! Que nd mis é do que o EXPOENTE! Logritmo é o epoente!!!!! Agor podemos definir função logrítmic básic: g: R + R = log Em que: 0 < e só está definido pr > 0. Observção: Qulquer lterção n função logrítmic básic requer minucioso estudo, por isso estudremos o logritmo como lgo independente d definição de função, resolveremos equções e inequções logrítmics. Eemplo: Determine o mior subconjunto dos reis A, que torn f: A R de lei f() = log 4 um função. 5. Logritmo. Se 0 <, o resultdo de é estritmente positivo, ssim se = b, temos b > 0. Logritmo é o epoente de um equção eponencil. = b = log b Desde su crição, no século XV, form crids tbels indicndo lguns vlores de logritmos n bse 0. Felizmente hoje não necessitmos destes rtifícios devido o mplo uso ds clculdors, ms o cálculo não é nosso objetivo. O uso do logritmo vi lém de qunto ele vle. Assim, precismos desenvolver s proprieddes dos logritmos, ssim como temos s proprieddes de potencição. E por eemplo se um respost resultr em log, deimos ssim, d mesm form que se o resultdo é, n mtemátic, não dizemos que o resultdo é,4, deimos.

7 67 5. Cálculo dos logritmos e fição d definição Assim como pr os números positivos escrevemos 9 pr o número que o qudrdo é 9, escrevemos log 9 pr o epoente de que o resultdo é 9. A rdicição é operção invers d potencição em relção à bse d potênci: = 9 9 = A logritmção é operção invers d potencição em relção o epoente d potênci: = 9 log 9 = Eemplo: Clcule os logritmos bio, trnsformndo n equção eponencil se necessário. () log 55 (b) log 8 (c) log (d) log (e) log 7 7 (f) log (g) log 4 (f)log 66 (g) log 8. Clcule log. Esse vlor eistem mesmo pensndo que se log = =, não podemos colocr mbos os membros n mesm bse. Isso quer dizer que respost não é um número frcionário. É um número irrcionl. Observe o gráfico. O log está muito bem definido < log <, se proimndo mis de. Como clculr? Podemos encontrr quntos dígitos etos quisermos. Não sem trblho, pois seri como clculvm os logritmos originlmente. Vmos repetir o procedimento pens pr termos idei do mecnismo e reforçr definição. Prtiremos de um proimção, escolhemos um vlor de que creditmos que se proime do log, por eemplo, pelo gráfico está próimo de,5. Depois proimmos mis os resultdos testndo os vlores, ltermos o vlor de pr que X fique cd vez mis próimo de, preenchendo tbel bio.,5,6,55,59,58,585,584,58496 log,884,04,98,0049,98969,00007,00090, log,58496 Pr chegr esse resultdo num clculdor científic o problem é que clculdor só us bse 0 e bse e.

8 68 Observção: Há bses especiis que possuem notção própri: logb (não prece bse) possui bse 0. lnb = log eb possui bse e,7788 As dus são s únics que podem ser clculds em qulquer clculdor científic, por isso no decorrer do estudo veremos um mecnismo pr mudr de bse. 5. Proprieddes dos logritmos. Mostrremos s proprieddes de logritmos juntmente com s proprieddes de potencição, pois são INVERSAS um d outr. 0 = log = 0 = log =. = + log (. ) = log + log log = log log log log f()= g()=log f(g())= = = log z log = log = Eemplo:. Sbendo que log b = - e log b =, clcule log b.. Se loge = + log + logb logc, então clcule E.. Se log8 = e log = b, clcule: () log (b) log 8

9 Fórmul de mudnç de bse. Cso queirs lgum eplicção dicionl como se cheg fórmul d mudnç de bse, procure tendimento. log log log Em que é nov bse. Eemplo: Resolver s equções bio e clcule proimdmente o vlor de : () = (b) 5 = 7 (c) 8 = 5.5 Equções eponenciis e logrítmics. Nos eemplos nteriores já conseguimos resolver lgums equções eponenciis que somente com o conhecimento de eponencil não conseguirímos. Agor incrementremos estes csos e resolveremos equções logrítmics, com bse ns sus proprieddes. Eemplo: Resolver s equções bio e deie s resposts com os resultdos logrítmicos mis simples possíveis: () - = 4 (b) = (c) log 4(+)=log 4(+5) (d) log (4 + )=log ( + ) (e) log (-)= (f) log 4(log )=

10 70 (g) log 7 log 6 0 (h) log(+) log() = (i) ln + ln( + ) = ln0 (j) log = + log 9(-9) 5.6 Inequções logrítmics. Ao resolver inequções logrítmics devemos ter o mesmo cuiddo do que com s equções eponenciis, pois se estmos comprndo desiguldde de potêncis devemos sber como comprr os epoentes. Tudo depende d bse ser de um função eponencil ser crescente ou decrescente lembrm-se? O mesmo cso gor, com o grvnte que ind temos s condições de eistênci do logritmo, ou sej bse 0< e logritmndo estritmente positivo. Pr > se log < log, então <. O sinl de desiguldde permnece o mesmo, pois sendo um função crescente se umentrmos o, o ument. Se diminuirmos o, o tmbém diminui e vice-vers. Pr 0 < < se log > log, então <. O sinl d desiguldde mud, pois sendo um função decrescente se umentrmos o, o diminui. Se diminuirmos o, o ument e vice-vers. Pr resolvermos inequções logrítmics usremos lém d definição de função crescente e decrescente, eistênci dos logritmos, pois não bst relcionr os logritmndos de mneir corret se cd logritmo que constr n inequção originl não eistir. Assim, pr solução d inequção logrítmic teremos que fzer intersecção desss dus condições: comprção dos logritmndo e condição de eistênci dos logritmos. Eemplo: Resolver s inequções bio: () log4 < log45 I - Bse = 4 >. Comprr os logritmndos com mesmo sinl de desiguldde. < 5 II Condição de eistênci de log4. > 0 I II = 0 < < 5 S = ]0, 5[

11 7 (b) log ² log ( ) I Bse 0 < = <. Comprr os logritmndos invertendo o sinl de desiguldde. > + Inequção de º gru > 0 Estudo do sinl d função f() = - = - = Rízes d função f Concvidde pr cim, onde queremos os positivos. < - ou > Onde função f() é positiv II Condição de eistênci dos logritmos. - log > 0 0 log(+) + > 0 > I II 0 III S = ]-,-] [, +[ (c) log(²-8) < I- log(²-8) < log9 Bse = >, o sinl de desiguldde é o mesmo qundo comprrmos os logritmndos. 8 < 9 Inequção do segundo gru. 8 9 < 0 Estudo do sinl d função f() = 8-9 = - = 9 Rízes d função, cujo gráfico é côncvo pr cim. - < < 9 Intervlo de em que f() é negtivo. II Condição de eistênci. log( 8) 8 > 0 Estudo do sinl d função f()= 8 = 0 = 8 Rízes d função, cujo gráfico é côncvo pr cim. < 0 ou > 8 Intervlo de em que f() é positiv. I 9 II 0 8 III S = ]-,0[ ]8, 9[ (d) log log ( ) log ( ) ( ) log ( I- log ) Bse 0 < <, invertemos o sinl de desiguldde qundo comprmos os logritmndos. (-) < + < + Inequção do segundo gru. < 0 Estudo do sinl d função f() =. = - = Rízes de f, cujo gráfico é côncvo pr cim. < < Intervlos em que f é negtiv. II Condição de eistênci dos logritmos. log > 0 log( ) > 0 > log( ) + > 0 > - = II > III = < < (Se tiver dúvids, fç representção geométric dos intervlos I e II e vej o que eles têm em comum. S= ],[

12 7 (e) ln ln > 6 I Troc de vriável. t = ln Bse = e >. t t 6 > 0 Estudo do sinl d função f(t) = t t t= 4 4 t = - t = Rízes de f, cujo gráfico é côncvo pr cim. t < - ou t > Intervlos em que f é positiv. ln < - ou ln > Voltndo vriável. < e ou > e Bse = e >, mesmo sinl d desiguldde. II Condição de eistênci dos logritmos: > 0 I II = 0 < < e ou > e S = 0, e, e 6 Eercícios. Clssifique s funções eponenciis, cujs leis estão bio segundo seu crescimento. () (b) (d) = - (e) e (c) 4 Compre s potêncis bio, colocndo entre els os sinis dequdos de < ou >: () (c) 7 (d) e (b) (0,9) 4 (0,9) -5 Resolv s equções eponenciis bio: () = 64 (b) - = 9 (c) (d) (e) + - = (f) = 84 (g) 9. = - 8 (h) = 60 e 0 Resolv s inequções eponenciis bio: () 5 > +0 (b) 0,0 0,0 (c) (d) (0,5) - + (0,5) - > 48 (e) < 0 Determine o mior subconjunto A dos reis que tornm s epressões bio em leis de um função f: A R. () = 7 7 (b) 64

13 7 () Estudo o sinl d função f: R R em que f() =. (b) A função f interseccion ret = -? Justifique. (c) Qul imgem d função f? (d) Em que ponto o gráfico de f interseccion o eio o? (e) Esboce o gráfico d função f. 7 Eercícios. Determine o mior subconjunto dos reis que torn equção bio n lei de um função: - log - log log ² 5 Determine função invers ds leis bio, incluindo seu domínio Resolv s equções bio, em R: 6- = = + 8- log 5 4 log 6 9- log (6-5) = log (-) 0- log(4-) = - - log log 0 log log (²--5)-log = 4 - log = log Complementres Resolvs s inequções bio, em R: 5- > 7 6- log 9 < log 9 (-5) 7- log log 5 8- log > Estude o sinl d função bio: f: R + R = log log 4 8. Resposts dos eercícios do item () Decrescente (b) Crescente (c) Crescente (d) Decrescente (e) Crescente () > (b) < (c) < (d) <

14 74 () S = {6} (b) S = {4} (c) S = (d) S = {-5} (e) S = {} (f) S = {} (g) S = {0,} (h) S = {} 4 () S = ]5, +[ (b) S = R-{} (c) S = ]-4, +[ (d) S = ]-,-] (e) S = ]-, [ 5 () A = ]-, 0] [,+[ (b) A = ]6, +[ 6 () > 0, ; = 0 = e < 0, (b) Não, pois depende d solução d equção 0, que não eiste. (c) A ret = - é ssíntot d função (resultdo de (b), poderemos generlizr o conceito de ssíntot qundo estudrmos limites), dest form Im = ]-, +[ (d) P(0,) (e) 9. Resposts dos eercícios do item 7 - A = ], 5[ - A=]-,[],+[ - A = ]-,[],[ 4-5- f: ]-9,+[ R g: ]4,+[ R 4 log 9 5 log log 7- log = 9- S= 0-40

15 75 - = - S = {,6} - S = {-,5} S, 6- S= 0, 7- S= 8- S= ]8,+[ 4-5- S = 7, log 9- f>0,, 0 6 ; f=0 = 6 ou = ; f<0 6,