Aprender o conceito de vetor e suas propriedades como instrumento apropriado para estudar movimentos não-retilíneos;

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1 Aul 5 Objetivos dest Aul Aprender o conceito de vetor e sus proprieddes como instrumento proprido pr estudr movimentos não-retilíneos; Entender operção de dição de vetores e multiplicção de um vetor por um esclr; Entender os conceitos de bse e componentes de um vetor e compreender o significdo geométrico d projeção de um vetor o longo de um dd direção.

2 cinemátic Considere dois pontos distintos P 1 e P 2, eles determinm um únic ret r que pss por eles. Além disso, o segmento de ret entre os pontos P 1 e P 2 tmbém é único. Nesse segmento de ret, são possíveis dois sentidos de percurso: o de P 1 pr P 2 e o de P 2 pr P 1. O segmento de ret o qul tribuímos um sentido é chmdo de segmento de ret orientdo. Pr brevir lingugem, chmmos um segmento de ret orientdo simplesmente de set. Ao fzer o desenho de um set, indicmos que el tem sentido, ou orientção, de P 1 pr P 2, desenhndo um pont no seu ponto finl, como mostr Figur 2.1. Figur 2.1: Segmento de ret orientdo ou set P P. Nesse cso, o ponto P 1 é chmdo de ponto inicil d set, ou origem d set, e o ponto P 2, de ponto finl d set. Vmos representr set cim por P 1 P 2. A ret n qul está um set (como ret r n figur cim) é chmd de ret suporte d set. Ess ret tem um direção com relção outros objetos, como por exemplo, direção horizontl, ou verticl, ou inclind de um ângulo com relção outr ret. Definimos direção d set como sendo direção de su ret suporte. Em cd direção há dois sentidos, por exemplo, n direção verticl, há os sentidos pr cim e pr bixo, e n horizontl, o que chmmos de sentidos pr esquerd e pr direit (especificdos, é clro, em relção à superfície d Terr e o observdor). Um set ou segmento de ret orientdo tem sempre um dos sentidos dentre os dois possíveis o longo de su direção. Um set tem tmbém um certo comprimento, ddo em lgum unidde. Esse comprimento é tmbém chmdo de módulo d set. Tlvez gor você poss estr se perguntndo: - Será que um set e um vetor são mesm cois? A respost é: - Não são! Não necessrimente. Ms tlvez você queir rgumentr: - Or, ms um set não é definid por seus módulo, direção e sentido!? Isso não é extmente o mesmo que um vetor, um segmento de ret orientdo? 1 2

3 Aul 5 Bem, deixe-nos explicr isso direito: Vmos dizer que sets com mesm direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo são sets equipolentes. Considere gor o conjunto de tods s sets equipolentes à set P 1 P 2, lgums estão ilustrds n Figur 2.2. Figur 2.2: Sets equipolentes que representm o vetor em diferentes pontos do espço. Tods têm o mesmo módulo, direção e sentido, ms cd set tem um origem diferente. Por outro ldo, o vetor ssocido à set P 1 P 2 é justmente esse conjunto, ou sej, o conjunto de tods s sets equipolentes é o que chmmos de vetor! Em nosso curso, um vetor será normlmente denotdo por um únic letr em negrito, por exemplo,. Eventulmente, um vetor tmbém poderá ser representdo pel conhecid notção: r. Já o módulo de um vetor será denotdo por ou r Tmbém poderemos representr o módulo de um vetor bolindo o negrito d letr, ou sej, simplesmente por. Agor considere um vetor. O vetor que tem mesm direção e o mesmo módulo que, porém sentido oposto o de, é chmdo vetor oposto e é representdo por. A Figur 2.3 mostr um vetor e seu oposto. Figur 2.3: Vetor e seu oposto. Tmbém é conveniente definir o que chmremos de set nul. Um set nul é simplesmente um ponto. A set nul constituíd pelo ponto P é representd por PP. Por definição, um set nul tem módulo igul zero. Um vez que não podemos tribuir um direção e um sentido um set nul, dizemos que el tem direção e sentido indetermindos. Cd ponto do espço é um set nul e tods s sets nuls são, por definição, equipolentes entre si. Chmmos o conjunto de tods s sets nuls de vetor nulo. Em nosso curso, o vetor nulo será denotdo

4 cinemátic por 0 ou r 0. Adição de vetores Ddos dois vetores e b, consideremos um set qulquer que represente. Tomemos o ponto finl dess set como o ponto inicil de um set que represente b. Definimos som de com b, que representmos por +b, como sendo o vetor representdo pel set que tem por ponto inicil o ponto inicil d set que represent, e por ponto finl o ponto finl d set que represent b, como mostr Figur 2.4. Figur 2.4: Adição de vetores e b de cordo com regr do triângulo. A operção que ssoci os vetores e b, o vetor +b, é chmd de dição de vetores, ou dição vetoril. Os vetores e b que formm som +b são chmdos componentes vetoriis do vetor +b. Ess regr de obter som de dois vetores é chmd de regr do triângulo. N figur cim fic clro porque dição vetoril é chmd ssim. A dição vetoril goz de lgums proprieddes muito importntes que enuncimos seguir. 1. A dição vetoril é comuttiv, isto é, pr quisquer vetores e b, temos: + b = b +. (2.1.1) 2. A dição vetoril é ssocitiv, isto é, pr quisquer vetores, b e c, temos: ( + b) + c = + ( b + c). (2.1.2) 3. O vetor nulo 0 é o elemento neutro d dição vetoril, isto é, pr qulquer vetor, temos: + 0 =. (2.1.3) 4. Pr cd vetor existe o vetor oposto -, que stisfz iguldde: ( ) =. + 0 (2.1.4) A demonstrção d propriedde d Eq. (2.1.1) é evidente prtir d Figur 2.5.

5 Aul 5 Figur 2.5: + b= b+ o triângulo superior n figur mostr dição de b com, e o triângulo inferior, dição de com b. A som é mesm e está o longo do ldo comum os dois triângulos. Esse ldo comum é um digonl do prlelogrmo formdo pelos dois triângulos. Ess propriedde nos permite obter som de dois vetores por meio de um outr regr, que você já deve conhecer, regr do prlelogrmo. Multiplicção de um número por um vetor Vmos gor definir um operção que, prtir de um número rel e um vetor, produz um vetor. Sej λ um número rel não nulo e um vetor não nulo. A esse número e esse vetor ssocimos um vetor, que simbolizmos por λ: I. com mesm direção de ; II. com módulo igul o módulo de λ vezes o módulo de ; III. com o mesmo sentido de, se λ é positivo, ms com sentido oposto o de, se λ é negtivo. Entretnto, se λ= 0 ou se = 0, definimos λ como sendo o vetor nulo. Ess operção é chmd multiplicção de um número por um vetor. No contexto dess operção, o número costum ser chmdo de esclr. Podemos então chmr ess operção de multiplicção de um esclr por um vetor. A Figur 2.6 mostr lguns exemplos de produto de um número por um vetor, Figur 2.6: exemplos de produtos de um número por um vetor.

6 cinemátic O produto de um número por um vetor tmbém é um múltiplo do vetor, com λ = λ. (2.1.5) Note que se λ>1, o vetor estic, e qundo 0<λ<1, o vetor se contri! Um outr propriedde que vle pen mencionr é que o vetor, oposto o vetor, pode ser obtido como o produto de 1 por, isto é, ( 1)=. Interessnte tmbém é notr que podemos obter um vetor unitário trvés d multiplicção de um esclr por um vetor. De fto, um vetor é chmdo unitário se o seu módulo é igul 1 (n unidde de medid que estiver sendo usd), isto é, o vetor u é unitário se, e somente se, u = 1. Assim, ddo um vetor não nulo, o seu módulo é um número diferente de zero e, portnto, tem um inverso 1/. Multiplicndo-se esse número por, obtém-se o vetor unitário (1/ ). Logo, pel propriedde (2.1.5), = =. (2.1.6) Bses e Componentes de um vetor É fácil ver que, usndo-se pens operção do produto de número por vetor, demonstr-se que todos os vetores em um mesm direção podem ser escritos como múltiplos de um único vetor unitário que tem ess direção. Podemos expressr ess firmção do seguinte modo: se é um vetor qulquer n direção de um vetor unitário u, então: = ± u. (2.1.7) Vmos usr gor um sistem de eixos coordendos OXYZ e considerr um vetor unitário n direção de cd eixo, com sentido igul o sentido positivo do eixo. Vmos denotr por u x, u y e u z os vetores unitários com direção e sentido dos eixos OX, OY e OZ respectivmente, conforme ilustrdo n Figur 2.7. Figur 2.7: Os vetores unitários u x, u y e u z. Qulquer vetor no espço tridimensionl pode ser escrito em termos dos três

7 Aul 5 vetores unitários u x, u y e u z. (Um demonstrção dess firmção pode ser vist n Aul 8 d Apostil Físic 1A, Módulo 1. A prtir d Eq. (2.1.7), tmbém é fácil perceber que um vetor, em termos dos vetores u x, u y e u z, deve ser escrito como (2.1.8) onde x, y e z são s componentes esclres do vetor n bse de vetores u x, u y e u z. Aliás, os vetores u x, u y e u z formm um bse ortonorml de vetores tridimensionis. - O quê!? Você não sbe o que é um bse de vetores!? Tmbém não sbe o que é um bse ortonorml!? - Tudo bem. Dizemos que três vetores e 1, e 2 e e 3 formm um bse qundo: I. qulquer vetor pode ser escrito em termos de e 1, e 2 e e 3, de cordo com expressão = 1 e e e 3, n qul 1, 2 e 3 são números; e II. não existe mis do que um trinc de números 1, 2 e 3 que permit escrever citd expressão pr. O conjunto dos vetores u x, u y e u z stisfz s dus proprieddes cim e, portnto, podemos firmr que formm um bse. Estes três vetores tmbém são unitários e perpendiculres entre si, portnto, formm um bse ortonorml. O uso de um bse reduz vários cálculos que fzemos com vetores cálculos com s sus componentes esclres. Isso constitui um grnde vntgem, pois s componentes esclres são números que podemos mnipulr mtemticmente com mis fcilidde. Por exemplo, como trinc de componentes esclres é únic, ddos dois vetores e b, escritos n bse u x, u y e u z como eles só serão iguis se = u + u + u x x y y z z, = u + u + u e b = b u + b u + b u, x x y y z z x x y y z z = b, = b e = b. x x y y z z (2.1.9) Se um vetor c for som de e b, isto é, c= +b, sus componentes n bse u x, u y e u z são Se = λb, temos c = + b ; x x x c = + b ; y y y c = + b. z z z (2.1.10)

8 cinemátic x y z = λb ; x = λb ; y = λb. z (2.1.11) O vetor nulo 0 é escrito n bse u x, u y e u z como 0= 0u x + 0u y + 0u z, isto é, sus componentes são tods iguis zero. Devemos precir importânci do conceito de bse. Existem infinitos vetores no espço tridimensionl, ms todos eles podem ser escritos em termos de pens três vetores, os vetores de um bse. Pr isso, bst sber como encontrr s componentes de um vetor qulquer n bse que se está usndo. Vmos prender como fzer isso no cso de um bse ortonorml n seção seguinte. Projeções e componentes de um vetor Sej um vetor diferente de zero, u um vetor unitário e θ o ângulo entre eles. Definimos projeção do vetor o longo do vetor unitário u como sendo o número ddo pelo produto do módulo do vetor pelo cosseno do ângulo entre os vetores, cos θ. (2.1.12) A Figur 2.8 ilustr o cso em que 0< θ< π/2, com s sets de e u desenhds prtir de um origem comum, que chmmos de O, Figur 2.8: Vetor e o vetor unitário u e o ângulo θ entre eles. Pelo triângulo retângulo mostrdo n figur cim, o comprimento do cteto OP' é igul projeção do vetor o longo do vetor unitário u. Entretnto, projeção não é extmente um comprimento. Embor no cso em que 0< θ< π/2, projeção de o longo de u sej um número positivo, no cso em que π/2< θ< π, projeção é um número negtivo! Além disso, pel definição em (2.1.12), se for perpendiculr u, projeção é nul, e se for prlelo u, projeção é ou, se tiver o mesmo sentido de u ou o sentido oposto u respectivmente. Sej gor set OP', e chmemos de o vetor el ssocido. A Figur 2.9 bixo mostr os vetores, u e no cso em que 0< θ< π/2.

9 Aul 5 Figur 2.9: Os três vetores, u e, ilustrndo projeção de o longo de u. Usndo pens definição de produto de um número por um vetor, você pode verificr que ' cos θ u. (2.1.13) = ( ) E podemos plicr o resultdo cim os vetores unitários u x, u y e u z, que form vistos n seção nterior. Consideremos Figur 2.10 bixo, que exibe gor os ângulos θ x, θ y e θ z entre e u x, u y e u z respectivmente, Figur 2.10: Vetor, unitários vetores unitários ux, uy e uz e os ângulos θx, θy e θz. Usndo Eq. (2.1.13), não é difícil concluir que cosθ u cosθ u cosθ u = ( ) + ( ) + ( ) x x y y z z. (2.1.14) Portnto, pel Eq. (2.1.8), s componentes esclres de um vetor escrito n bse u x, u y e u z são s projeções deste vetor o longo dest bse ortonorml, ou sej, = cosθ ; = cosθ e = cos θ. x x y y z z (2.1.15) Como pllicção, vmos considerr um situção muito comum, n qul todos os vetores de um problem estão em um mesmo plno. Vmos escolher os eixos OX e OY pr representr os vetores nesse plno. Pelo resultdo cim, qulquer vetor do plno pode então ser escrito como cosθ u cos θ u, = ( ) + ( ) x x y y onde os ângulos θx e θy podem ser vistos n Figur (2.1.16)

10 cinemátic Figur 2.11: Vetor no plno OXY. Anlogmente, podemos definir o ângulo θ como sendo o ângulo que o vetor fz com o eixo OX e escrever s componentes de n Eq. (2.1.16) como x = cosθ e = sen θ, y (2.1.17) onde usmos o fto de que θ= θ x e que θ y = π/2 - θ x. É possível tmbém encontrr o módulo de e θ qundo conhecemos s componentes de : 2 2 y = + e tn θ =. (2.1.18) x y Terminmos est seção com um observção de cráter prático. Temos procurdo distinguir o conceito de vetor do conceito de set. Pr cd vetor há um infinidde de sets que o representm e é o conjunto de tods els que define o vetor. Entretnto, seguiremos dorvnte prátic comum de se referir um set como sendo o vetor el ssocido, e vice-vers. x

11 Velocidde Médi Aul 1 CRÉDITOS Texto dptdo por Lizrdo H. C. M. Nunes d postil Físic 1A, de Crlos Frin de Souz, Mrcus Venicius C. Pinto e Pulo Crrilho Sores Filho. Revisão Mônic dos Sntos Dhmouche Equipe do Portl d Educção Progrmção Visul André Nogueir Ilustrção Fbin Roch Fbio Muniz André Nogueir

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