1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < <

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1 MATEMÁTICA Assinle lterntiv verddeir: ) 6 < 7 6 < 6 b) 7 6 < 6 < 6 c) 7 6 < 6 < 6 d) 6 < 6 < 7 6 e) 6 < 7 6 < 6 Pr * {} temos: ) *, * + e + * + ) + > + + > ) Ds equções (I) e (II) result 7 6 < ( 6 ) < 6 Respost: C O sistem de inequções bio dmite k soluções inteirs. Pode-se firmr que: > ) k < b) k < c) k < 6 d) 6 k < 8 e) k 8 > > > Como o gráfico d função f() é do tipo < + < ( ) + + Pr 6 result 7 6 < ( 6 ) (I) e o gráfico d função g() é do tipo ) < > + > + < temos o seguinte qudro de sinis: > ( ) Pr 6 result ( 6 ) < 6 (II) Assim, os vlores de que stisfzem inequção são tis que < < ou > 7. Deste, são inteiros e menores ou igul os seguintes vlores, 8, 9,, e, num totl de 6. Assim, k 6. Respost: D IME (Conhecimentos Geris) Outubro/6

2 Sejm Z e Z números compleos tis que Z é imginário puro e Z Z Z. Pr quisquer vlores de Z e Z que tendm esss condições tem-se que: ) Im(Z ) > b) Im(Z ) c) Z Z d) Re(Z ) e) Re(Z ) Im(Z ) Sejm Z + yi e Z i, com, y, e, pois Z é imginário puro. ) Z Z ( + yi) i + (y ) i e Z Z Z + (y ) + (y ) que é equção de um cir - cun ferênci de rio e centro (; ), fio de Z. ) Conforme o vlor de, positivo ou negtivo, eistem dus opções pr est circunferênci. No desenvolvimento de. senβ + cosβ 6 o vlor do termo independente de é igul. 6 Considerndo que β é um número rel, com < β < e, o vlor de β é: ) b) c) 9 d) e) 8 ) O termo gerl do desenvolvimento de (. sen β + cos β) é k 6 T k + (. sen β) k. ( cos β) k 8 k (sen β) k. (cos β) k. k ) É independente de o termo onde k k. ) Pr k temos T + (sen β). (cos β).. T 6. (sen (β). cos (β)) ) De todos os números compleos Z cujos fios per ten cem ests circunferêncis o de mior módulo é quele cujo fio é o simétrico d origem em relção o centro (ponto de coordends (; )) e tem módulo igul Z. Assim, Z Z. Respost: C Assim. (sen (β). cos (β)) 6 6 sen (β). cos (β) sen (β). cos (β) sen (β) β + k ou 6 IME (Conhecimentos Geris) Outubro/6

3 β + k., k 6 No intervlo [; ] pens β serve. 8 Respost: E Clcule o vlor de sen cos α., sbendo-se que ) sen α + cos α (sen α + cos α) sen α cos α () (sen α. cos α) ) sen 6 α + cos 6 α (sen α + cos α) (sen α sen αcos α + cos α) (). [(sen α + cos α) (senα. cosα) ] Respost: B 6 k k β + ou β + sen α + cos α sen 6 α + cos 6 α 6 ) b) c) d) e) sen α + cos α Assim sen 6 α + cos 6 α Sej A com. Sbe-se que det(a A + I) 6. A som dos vlores de que stisfzem ess condição é: ) b) c) d) e) Obs: det(x) denot o determinnte d mtriz X. ) Observemos que A A + I A A A + I A (A I) (A I) A (A I) I. (A I) (A I). (A I) (A I) ) det (A A + I) 6 det [(A I) ] 6 [det (A I)] 6 det (A I) ± ) A I e det (A I) + 6 ( ) 8 ) Assim, 8 ou 8 e som dos possíveis vlores de é. Respost: D 7 Sej equção y log y y log y 6, y > O produto ds rízes reis dest equção é igul : ) b) c) d) e) y log y y log y 6 Fzendo y log y temos y log y y log ( y) y. log y y log y Substituindo n equção dd result 6 6 ou, que não serve, pois se y >, então >. Pr temos y log y log y log y log IME (Conhecimentos Geris) Outubro/6

4 log y. log y log (y). log y S.(k k+7.8 7k 8k + k log y + log y log y ou log y y ou y 9 O produto ds rízes é. 9 Respost: A 8 Sej f() O vlor mínimo de f() está no intervlo: ) (, 8] b) (8, 9] c) (9, ] d) (, ] e) (, ) I) Consideremos que eisti um termo k, com k 7 e k *, tl que k. ) A som dentro do rdicl fic ssim: S (k ) + (k ) termos + k + (k + ) (8 k) termos k + k k 7 ; (k ) termos (8 k) termos pois se k k. ) S. ( k + ) (k ) + +. ( + k 7 ). (8 k) Como k 7, k k e k 7 7 k Assim: S.(k + )(k ) + (7 k)(8 k) S k 8k Est som tem vlor mínimo pr 8 k 9 e, portnto, som é mínim. qundo 9. Neste cso, o menor vlor d som é S min ( ) 9. 8 e o menor vlor d função f é f(9) 9. 8 II) Se não eistir termo k, com k 7 e k *, tl que k, então 7 > e: S > ( + 6) > 9. 8 Neste cso f() Ds prtes (I) e (II) temos que o menor vlor de f() é 9. 8, pertencente o intervlo (8; 9] Respost: B 9 Sejm, y e z números compleos que stisfzem o sistem de equções bio: + y + z 7 + y + z + + y z O vlor d som + y + z é: ) b) c) d) e) ) + y + z 7 ( + y + z) 7 + y + z + (y + z + yz) 9 + (y + z + yz) 9 y + z + yz IME (Conhecimentos Geris) Outubro/6

5 yz + z + y ) + y + z yz yz 8 yz determindos. Assim, por eemplo, se firmos trinc (; ; 6) os demis termos são, e, formndo sequênci (,, 6,,, ). ) Colocndo o número no triângulo superior temos s seguintes configurções ) Observemos que + y ( + y) ( y + z ) (7 z) ( z y) + y 7 7z 7y z + z + yz + y z 7 7z 7y z y z 7z z 7y (I) De modo nálogo + z y 7y y 7z (II) y + z 7 7yz (III) ) Somndo-se membro membro s igulddes (I), (II) e (III) temos: + y + z ( + y + z ) ( + y + z) 7 (y + z + yz) + y + z y + z Respost: B Um heágono é dividido em 6 triângulos equiláteros. De qunts forms podemos colocr os números de 6 em cd triângulo, sem repetição, de mneir que som dos números em três triângulos djcentes sej sempre múltiplo de? Soluções obtids por rotção ou refleão são diferentes, portnto s figurs bio mostrm dus soluções distints. Observe que A e B diferem pens no sentido (horário ou ntihorário). O mesmo ocorre com s dupls (C, D), (E, F) e (G, H). ) Agor bst rodr ests configurções de modo que o poss ocupr s seis posições possíveis. Ao todo são possibiliddes. Respost: D Sejm um progressão ritmétic (,,,, ) e um progressão geométric (b, b, b, b, ) de termos inteiros, de rzão r e rzão q, respectivmente, onde r e q são inteiros positivos, com q > e b >. Sbe-se, tmbém, que + b, + b 6. O vlor de b é: ) b) c) d) e) ) + b + b q + b 6 ( + r) + b.q 6 r + b q b q r + b q (q ) ) b) c) 6 d) 8 e) 96 ) Fid primeir trinc cuj som é múltipl de os demis termos d sequênci ficm ) Considerndo que r e q são inteiros positivos, q > e b é inteiro positivo. Est equção dmite s seguintes soluções: IME (Conhecimentos Geris) Outubro/6

6 ) Pr r, b e q temos e s progressões são: PA ( ; ; ; ; ; ) e PG (; ; ; ; ) Respost: A Sejm os pontos A (, ), B (, ), C (, ), D (, ) e E,. A ret r pss por A e cort o ldo CD, dividindo o pentágono ABCDE em dois polígonos de mesm áre. Determine som ds coordends do ponto r b q Observção Possível Não serve, pois q > 7 Não serve, pois q > Não serve, pois q > 7 Não serve, pois q > de interseção d ret r com ret que lig C e D. 6 7 ) b) c) d) e) ) Sej S áre d figur X. Assim, S ABCF S AEDF S ABC + S ACF S AED + S ADF b b + b b b (II) b ) Ds equções (I) e (II) result b (7 b) (7 b) b 7b 7 7b ) Pr b (como mostr figur) temos 7b e 7 7b. Assim, (7b ) (7 7b) 7b b b 9 ) Dest form, 7. e b + 7 Respost: C ) O ponto F (; b) de intersecção d ret r com ret suporte de CD está linhdo com C e D e, portnto, b + b 7 7 b (I) IME (Conhecimentos Geris) Outubro/6 6 Ddo um qudrdo ABCD, de ldo, mrcm-se os pontos E sobre o ldo AB, F sobre o ldo BC, G sobre o ldo CD e H sobre o ldo AD, de modo que os segmentos formdos AE, BF, CG e DH tenhm comprimento igul. A áre do novo qudrilátero formdo pels interseções dos segmentos AF, BG, CH e DE mede: ) b) c) d) e)

7 Um tronco de pirâmide regulr possui vértices. A som dos perímetros ds bses é 6 cm, som ds áres ds bses é cm e su ltur mede cm. Clcule o volume do tronco de pirâmide. ) cm b) cm c) cm d) cm e) cm ) Ds congruêncis dos triângulos ABF, BCG, CDH e DAE tem-se que AF // CH,BG // DE e AP^E é reto, pois α + β 9. Assim, PQRS é um qudrdo. ) No triângulo ABF tem-se AF AB + BF AF + AF ) D semelhnç dos triângulo ABF e APE result AP AB PE AE AP PE BF AF 9 AP e PE ) PQ AF AP QF AF AP PE 9 PQ PQ ) Sejm p e q s medids ds rests d bse mior e menor, e S B e S b sus respectivs áres. Conforme enuncido, em cm e cm temos: 6p p + q 6 + 6q 6 6p S B +S b 6q + p + q 6 p +q p e q, pois p > q ) Dest form, áre do qudrilátero PQRS é PQ Respost: A 6. ) S B e S b IME (Conhecimentos Geris) Outubro/6

8 ) Lembrndo que o volume do tronco de pirâmide V V Respost: E H regulr é ddo por V (S B + S b + S B. S b ), onde H e su ltur, em cm, temos O polinômio P() b + 8 c possui três rízes inteirs positivs distints. Sbe-se que dus ds rízes do polinômio são divisors de 8 e que o produto dos divisores positivos de c menores do que c é c. Qul é o vlor de b? ) b) c) 7 d) e) 9 ) Sejm, e, inteiros, positivos, dois dois distintos e rízes de P() b + 8 c. Admitmos que e sejm divisores de 8, e, sem perder generlidde, <. Dest form { ; } {; ; ; ; 8; ; 6; ; ; 8} ) Dos vlores de c presentdos n tbel pens o stisfz condição de o produto de seus divisores positivos menores que c (; ; ; e 6) é igul c, pois ) Dest form, e 6 Aind pels relções de Girrd, b Respost: E ) Pels relções de Girrd temos: Como é positivo devemos ter. < 8 ) A tbel mostr s possibiliddes pr os pres (, ) que permitem obter inteiro e positivo, lém de presentr os possíveis vlores de c pr os csos em que eles são distintos. c IME (Conhecimentos Geris) Outubro/6 8