Progressões Aritméticas

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1 Segund Etp Progressões Aritmétics Definição São sequêncis numérics onde cd elemento, prtir do segundo, é obtido trvés d som de seu ntecessor com um constnte (rzão).,,,,,, n 1 n 1 1º termo º termo Onde : 3 3º termo n n ésimo termo ( último) Rzão Vrição entre elementos consecutivos d PA. Clcul-se por: Clssificção d PA R n n 1 Limitd : possui quntidde de termos definidos. Ilimitd : possui infinitos termos. Crescente : possui rzão positiv. R 0 Constnte : possui rzão neutr. R 0 Decrescente : possui rzão negtiv. R 0 Termo Médio Em um PA qulquer, com número ímpr de termos, o termo do meio será clculdo trvés 1 n d médi ritmétic dos extremos. Logo: TM. Exemplo resolvido: Se x, x + 5, -6 são termos consecutivos de um progressão ritmétic (PA) então o vlor de x é? Usndo fórmul do termo médio, temos: (x, x+5, -6) x 6 x + 5 =.(x + 5) = x - 6 x + 10 = x-6 x - x = x = -16

2 Termo Gerl Sej sequênci 1,, 3, 4,, n 1, n e considerndo definição que diz: Um PA é um sequênci numéric onde cd elemento, prtir do segundo, é obtido trvés d som de seu ntecessor com um rzão, podemos deduzir: 1 R 3 R 4 3 R Ou ind: R 3 1 R 4 1 3R 5 1 4R R 7 1 6R 8 1 7R R Desse rciocínio temos: n R n 1 1 Exemplo resolvido: Qul é o décimo quinto termo d PA (4, 10...)? 1 = 4 15 = 4 + (15-1).6 r = 10 4 = 6 15 = = 4+84 = 88 Som dos Termos 1 Substituindo-se o Termo Médio por su respectiv fórmul, teremos: Sn Sn Som dos termos 1 1º termo onde: n último termo n Nº de elementos Exemplo resolvido: Ache som dos qurent primeiros termos d PA(8,...) = 8 + (40 1).(-6) S 40 = = (-6) = 8 34 S 40 = = -6 S 40 = n n, Testes 1. Em um PA temos que o 1º termo vle 4 e rzão é 3. O oitvo termo é: ) 14 b) 17 c) 1 d) 5 e) 8. Determinr o primeiro termo de um progressão ritmétic de rzão -5 e décimo termo igul 1. ) 50 b) 57 c) 45 d) 51 e) 53 3.O primeiro e o décimo termo de um PA vlem, respectivmente 6 e 30. A rzão dest PA vle:

3 A) 8 B) 6 C) 4 D) 6 E) 8 4.Pr que x, x e x 3 sejm, nest ordem, três termos consecutivos de um PA, o vlor de x deve ser: A) 5 B) 0 C) 5/ D) E) 5 5.N PA (x 9, x + 1, 3x 1) som dos três termos vle: A) 1 B) 4 C) 1 D) 5 E) Determinr x tl que x - 3; x + 1; 3x + 1 sejm três números em P. A. nest ordem. A) 4 B) 1/ C) 8 D) 9 E) NDA 7. Num PA em que 1= e 0=10 Qul é som dos 0 primeiros termos dess PA? A) 40 B) 40 C) 300 D) 350 E) Em um Progressão Aritmétic de rzão 5 e primeiro termo -5, o duodécimo termo vle: A) - 5 B) 0 C) 5 D) 50 E) A som dos trint primeiros termos de um PA cujo primeiro termo é -3 e rzão 5 é igul : A) 1935 B) 758 C) 310 D) 4170 E) Em um Progressão Aritmétic de rzão 3 e primeiro termo, o vigésimo termo vle: A) 60 B) 59 C) 58 D) 50

4 E) Ns lterntivs bixo sequênci que represent um PA de rzão 3 é: A) (8, 16, 4) B) (5, 8, 11) C) (4, 1, 36) D) (5, 1, 17) E) ( 8, 10, 1) 1. O décimo primeiro termo d sequênci (15, 19, 3,...) é um número: A) entre 30 e 40 B) entre 40 e 50 C) entre 50 e 60 D) entre 60 e 70 E) mior que Se o primeiro termo de um PA é 19 e rzão é, então som dos 7 primeiros termos dess PA vle: A) 40 B) 63 C) 88 D) 175 E) Num PA de 15 termos o primeiro é 7 e rzão é 9. Clcule o último termo. A) 95 B) 113 C) 13 D) 133 E) N sequênci definid por n = 5n, o termo 1 é igul : A) 54 B) 55 C) 56 D) 57 E) Sbendo que o primeiro termo de um PA é 5 e rzão é 11, clcule o 13 termo: A) 100 B) 11 C) 137 D) 115 E) Ddos 5 = 100 e r = 10, clcule o primeiro termo: A) 60 B) 50 C) 58 D) 61 E) Sbendo que o primeiro termo de um PA vle 1 e rzão é 7, clcule som dos 1

5 primeiros termos dest PA: A) 700 B) 71 C) 714 D) 70 E) Clcule som dos 5 primeiros termos d P.A(1, 3, 5,...) A) 65 B) 615 C) 600 D) 60 E) Pr que vlor de x sequênci (x-4, x, x+) é um P.A? A) 0 B) C) 3 D) 4 E) - 1 Gbrito 1. D. B 3. C 4. E 5. E 6. A 7. E 8. D 9. E 10. B 11. B 1. C 13. D 14. D 15. E 16. C 17. A 18. C 19. A 0. B

6 Progressões Geométrics Definição São sequêncis numérics onde, cd elemento, prtir do segundo, é obtido trvés d multiplicção de seu ntecessor por um constnte (rzão). De form nálog PA, temos:,,,,,, 1 1º termo º termo Onde : 3 3º termo n n ésimo termo ( último) n 1 Rzão É o quociente entre um elemento qulquer d PG e seu ntecessor. Clcul-se por: n q n n 1 Clssificção d PG Limitd : possui quntidde de termos definidos. Ilimitd : possui infinitos termos. 1 0 e q 1 Crescente : 1 0 e 0 q 1 Constnte : possui rzão neutr. q e 0 q 1 Decrescente : 1 0 e q 1 Alternnte : possui rzão negtiv. q 0

7 Termo Gerl Sej sequênci 1,, 3, 4,, n 1, n e considerndo definição que diz: Um PG é um sequênci numéric onde, cd elemento, prtir do segundo, é obtido trvés d multiplicção de seu ntecessor pel rzão, podemos deduzir: q 3 q 4 3 q 1 Ou ind: q 1 q 3 1 q q q q q q Desse rciocínio temos: n 1 n 1 q Exemplo resolvido: A sequênci seguinte é um progressão geométric, observe: (, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dess progressão. Rzão d progressão: 6 : = 3 n = 1 * q n 1 8 = * = * = * = 4374 Som dos Termos PG finit Dd um PG com quntidde limitd de termos, determinmos su som por: S n n 1 q 1 q 1 Exemplo resolvido: Sbendo que um PG tem 1 = 4 e rzão q =, determine som dos 10 primeiros termos dess progressão. PG infinit A som dos infinitos termos de um PG se dá por: S n 1 1 q

8 5 5 5,, Exemplo resolvido: Clcule som dos termos d P.G 4 : 1 = 5 e q = 1/ S n 10 1 q Testes 1. Determinr o primeiro, o segundo o qurto e o último elemento de cd um ds sequêncis dds bixo: ) (1, 3, 9, 7, 81, 43) 1 = = 4 = n = b) ( 1,, 4, 8, 16, 3) 1 = = 4 = n = c) (18, 64, 3, 16, 8, 4, ) 1 = = 4 = n =. Determine rzão de cd um ds PG s bixo: ) (1, 3, 9, 7,...) b) (5, 10, 0, 40,...) c) ( 4, 8, 16, 3,...) 3. O quinto termo d PG (4, 8,...) é: ) 0 b) 4 c) 3 d) 64 e) N PG (1000, 100,...) o sexto termo é: ) 0,01 b) 0,1 c) 1 d) 10 e) Clcule o qurto e o sétimo termos d P. G. (3, -6, 1,...). ) 4 = -1 e 7 = 184 b) 4 = - 4 e 7 = 19 c) 4 = -0 e 7 = 190 d) 4 = -14 e 7 = 188 e) 4 = -16 e 7 = Em um PG, o primeiro termo é e o qurto termo é 54. O quinto termo dest PG é ) 6 b) 67 c) 16 d) 167 e) 185

9 7. O segundo termo de um P. G. crescente tl que 1 = 8 e 3 = 18 é igul : ) 10 b) 11 c) 1 d) 14 e) O sexto termo de um P.G é igul Se rzão é igul 5, qul é o terceiro termo? ) 100 b) 110 c) 90 d) 80 e) Num PG de qutro termos, rzão é 5 e o último termo é 375. O primeiro termo dess PG é: ) 1 b) c) 3 d) 4 e) O primeiro termo de um progressão geométric é 10, o qurto termo é 80; logo, rzão dess progressão é: ) b) 10 c) 5 d) 4 e) A som dos termos d PG (5, 50,..., ) é: ) b) c) d) e) A som dos três primeiros termos d PG, cujo termo gerl é n =.3 n, é ) 60 b) 7 c) 78 d) 10 e) Encontre o terceiro termo d PG (3, 6, ) sbendo que rzão é igul : ) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 1

10 O limite d som dos termos d PG,,,... é ) 1/ b) 1/4 c) /3 d) 3/4 e) NDA 15. Num PG de qutro termos, o primeiro é -4 e rzão é 3. Determine o último termo. ) -100 b) -108 c) -10 d) -104 e) Clcule som dos 6 primeiros termos d PG (, 6, 18, ): ) 76 b) 74 c) 7 d) 70 e) O segundo termo d PG que possui 1 = 1 e 7 = é 4096 ) 1/ b) 1/4 c) 1/4 d) 4 e) Um sequênci numéric orientd sob form de multiplicção é compost por 6 elementos onde o primeiro destes é 5 e su rzão é 4. Determine o último termo dest sequênci. ) 104 b) 048 c) 4096 d) 510 e) Os termos extremos de um PG crescente são 1 e 43. Se som dos termos dess PG é 364, rzão e o número de termos são: ) 1/3 e 5 b) 1/3 e 6 c) 3 e 5 d) 3 e 6 e) 5 e 3 0. Determine o 1ª elemento de um progressão geométric onde o primeiro elemento é 1 e rzão é. ) 51 b)104 c) 048 d) 4096 e) 5098

11 Gbrito 1. ul. ul 3. D 4. A 5. B 6. C 7. C 8. A 9. C 10. A 11. D 1. C 13. E 14. A 15. B 16. E 17. B 18. A 19. D 0. A

12 NÚMEROS COMPLEXOS Número Imginário Chmmos de unidde imginári o vlor de - 1. Assim: i = - 1 Potêncis de i i 1 i i i 1 i i Testes 1. O vlor de i 45 é ) 1 b) i c) 0 d) i e) 1. O vlor de i 37 é ) 1 b) i c) 0 d) i e) 1 3. O vlor de i 94 é ) 1 b) i c) 0 d) i e) 1 4. O vlor d som i 13 + i 4 + i 103 é ) i b) 1 c) 0 d) 1 e) i Gbrito 1. A. D 3. E 4. B Form Algébric z bi onde Prte Rel b Coeficiente d prte i m ginári Testes A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 B) C) 3 D) 4 A) 1 1. O vlor de m pr que z = 3 + (5m 10)i sej um número rel puro deve ser. O vlor de m pr que z = (m 6) + 4i sej um número imginário puro deve ser E) 5 3. Pr que o complexo x + + 8i sej um número imginário puro, x deve ser igul A) 8 B) C) 8 D) E) ± i é idêntico A) 16i B) 16i C) 3i D) 16 E) 3i 5. A solução d equção x² 4x + 8 = 0 tem por solução

13 B) 8 8i C) 4 4i D) 4i E) i A) i Gbrito 1. B. C 3. B 4. C 5. A Iguldde de Números Complexos Pr que os complexos z 1 = + bi e z = c + di sejm iguis (z 1 = z ), devemos ter = c e b = d, ou sej, s prtes reis devem ser iguis entre si e os coeficientes ds prtes imgináris tmbém. Testes Básicos 1. Se o complexo b + 7i for igul o complexo 3 + ( + b)i, então o vlor de bdeve ser A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 10. Os vlores de e b pr que + bi A) e B) 1 e 3 C) 1 e 1 D) 1 e 1 E) 1 e 1 Gbrito 1. E. E + i = 1 + 3i são Operções entre Números Complexos Som e Subtrção: Devemos somr (ou subtrir) seprdmente sus prtes reis e sus prtes imgináris. Exemplo: Sejm z 1 = 3 + 5i e z = 7 + i os vlores de z 1 + z e z 1 z são, respectivmente: z + z 1 z + z 1 z + z 1 z + z i i i i i + i 4 + 7i z - z 1 z - z 1 z - z 1 z - z i i i i i - i i A Multiplicção se drá pel distribuição dos ftores entre os números complexos. Exemplo: Sejm z 1 = i e z = 7 + i, o vlor de z1 zé

14 z z i 7 + i z z i + 5i 7 + 5i i z z - 1-6i + 35i + 10i z z i z z i Testes 1. O produto (x 3i) (3 + xi), é um número rel, se x é igul A) B) 3 C) 0 D) E) 3. Se ( + i) ( + bi) = + 18i, então b é igul A) 1 B) 4 C) 5 D) 9 E) Se ( + bi) (1 + i) = 10, então + b é igul A) 0 B) 1 C) D) 5 E) 10 Gbrito 1. B. A 3. A Conjugdo de um Número Complexo Sej z = + bi um número complexo. Definimos como seu conjugdo o complexo z = - bi. Assim, observe: z = + bi z = bi + 3i 3i 4 5i 4 + 5i + 3i 3i 4 5i 4 + 5i A Divisão entre dois números complexos se drá pelo produto entre frção originl e frção formd pelo conjugdo do denomindor. Exemplo: Sejm z = 3 5i e w = + 4i dois números complexos, então o vlor de z/w é? z 3-5i, ssim w + 4i z 3-5i - 4i w + 4i - 4i z 3-3 4i - 5i + 5i 4i w - 4i z 6-1i - 10i + 0i w z 6-1i - 10i - 0 w 0 z i - 10i w 0

15 z - 14 w - i 0 z i w 10 Testes 1. O produto do complexo + bi pelo seu conjugdo é igul 1. Logo: A) ² + b² = 0 B) ² - b² = 0 C) ² - b² = 1 D) ² b² = 1 E) ² + b² = 1. Pr que ( + 3) + (3b )i sej igul o conjugdo de 3i, o vlor de + b é: A) B) 1 C) D) 3 E) 5 3. O conjugdo de 3 i i A) 6 i B) 3/ i C) 3/ + i D) 3/ i E) 6 + i é: 4.O quociente d divisão do complexo 8 i pelo complexo + 3i é o complexo: A) 1 6i B) 4 i/3 C) 1 i D) 19/3 i E) i 5. O quociente de 4 3 i por 3 i é 5 3i 3 A) B) C) 10 6i 3 3i 3 D) 3 i E) 3 Gbrito 1. E. E 3. C 4. C 5. A

16 Módulo de um Número Complexo Im b z 1 r q r = + b Re Testes 1. O módulo do complexo 4 3i é: A) 5 B) 5 3 C) 3 D) 5 E) 4 5. O módulo do complexo 1 i é: i A) B) C) D) 4 E) 1 3. O módulo do número complexo Z = 1 + i 3 é: A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 4. Os imginários puros que tem o mesmo módulo de + i, são: A) i B) 3 i C) 5i D) 3i E) 5 i 5.O número complexo (, b), representdo bixo no plno complexo e cujo módulo é 3, pode ser escrito n form lgébric como:

17 (, b) p 3 A) 3-3i B) 3-3i C) i 3-3i D) E) i 6. O módulo do complexo A) B) 3 C) 5 D) 3 E) 1 3i Z i é: 7. O módulo do complexo A) 6 B) 10 C) 8 D) 5 E) 15 z 7 6 8i é: Gbrito 1. D. E 3. A 4. C 5. E 6. A 7. B

18 Sugestão de sites pr consult: Referêncis Bibliográfics: YOUSSEF, A. N.; SOARES, E. & FERNANDEZ, V. P. Mtemátic: de olho no mundo do trblho. Volume único. São Pulo: Editor Scipione, 004. MACHADO, A. DOS S. Mtemátic Mchdo. Volume único. São Pulo. Editor Atul, 009. DEGENSZAJN, D; DOLCE, O; IEZZI, O. & PÉRIGO, R. Mtemátic Volume único. São Pulo: Editor Atul, 5ªed., 011.

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