razão e o termo independente de ax então a + b é a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. Solução: b Considere as funções f, g : Solução: f -1 (x) = a

Transcrição

1 . Os ldos de um triângulo de vértices, B e medem B = cm, B = cm e = cm. circunferênci inscrit no triângulo tngenci o ldo B no ponto N e o ldo no ponto K. Então, o comprimento do segmento NK, em cm é: ) ) d). Sejm e números inteiros positivos. Se e são, ness ordem, termos consecutivos de um progressão geométric de rzão e o termo independente de é igul, então + é ). ).. d).. K Do inômio de Newton: N Tp P p P p p p p p B Pel lei dos cossenos temos: cos cos cos Sendo que N = K, concluímos que o triângulo NK é equilátero, NK = N = K. Por outro ldo, N = p, onde p é o semiperímetro de B. Logo, NK LTERNTIV:. Se é um número rel que stisfz = +, então é igul ) + +. ) d) Se. LTERNTIV: p Do termo independente: P ; ssim: LTERNTIV: B. onsidere s funções f, g : dds por f() = + e g() = c + d, com,,c,d, e c. Se f - o g - = g - o f -, então um relção entre s constntes,, c e d é dd por ) + d = d + c. ) d + = c + d. + d = + cd. d) + c = d +. c + d = + cd. f - () = f - o g - () = f - g o f e g g g f d c d c d c c d c d c MTEMÁTI

2 omo f o g g o f, temos : d c c d c Triângulos: m! n n! m m,. n n,.n,. n.. (m )!! (n )!! d c d d d LTERNTIV: c. Sejm,... e y,...y números reis ritrários e = (ij) um mtriz definid por ij = i + j, i, j. Se r é crcterístic d mtriz, então o mior vlor possível de r é: ) ) d) = X + Y X ~ rk (X) = nlogmente, rk(y) = O mior posto possível pr um som de mtrizes de posto é esse máimo ocorre pois y e não são múltipls. LTERNTIV: B. Sore dus rets prlels r e s são tomdos pontos, m pontos em r e n pontos em s, sendo m > n. om os pontos são formdos todos os triângulos e qudriláteros conveos possíveis. Se-se que o quociente entr o número de qudrilátero e o número de triângulos é /. Então os vlores de n e m são, respectivmente. ( n)!.n! ( n)!. (n )! ( I) (II) ( n)! n!.( n).n ( n)! (n )!. ( n)( n).n(n ) ( n)( n).n n(n )( n) ( n) (n ) ( n n ) n n n n n n (nãoconvém,pois n m ) n e m LTERNTIV: E. onsidere definição: dus circunferêncis são ortogonis qundo se interceptm em dois pontos distintos e nesses pontos sus tngentes são perpendiculres. om relção às circunferêncis : + (y + ) =, : + y = e : ( - ) + y =, podemos firmr que ) Somente e são ortogonis. ) Somente e são ortogonis. é ortogonl e. d), e são ortogonis dus dus. Não há ortogonlidde entre s circunferêncis. Os centros e rios ds circunferêncis são, respectivmente: (, ) : R ; (, ) : ; R (, ) : R s circunferêncis serão ortogonis qundo distânci entre seus centros for hipotenus do triângulo retângulo, em que os ctetos são os rios. R R' ' m > n e m + n = m= -n (I) Qudriláteros: m,. n, m! n!. (m )!! (n )!! ) e : d d R R e são ortogonis MTEMÁTI

3 ) e : d R R e são ortogonis ) e : d R R e não LTERNTIV: são ortogonis. s rízes do polinômio + z + z + z + z + z + z + z, qundo representds no plno compleo, formm os vértices de um polígono conveo cuj áre é ) ) d) O polinômio do enuncido pode ser escrito n form: Z : onde Z s rízes de Z são os vertices de um octógono regulr inscrito num circunferênci de rio. Im B log e log log log log log log log log log log log log log log Note que log Ms, (, ) (, ), Por tn to LTERNTIV: E. O lugr geométrico ds soluções d equção + + =, qundo <,, é representdo no plno compleo por ) Dois pontos. ) Um segmento de ret. Um circunferênci menos dois pontos. d) Um circunferênci menos um ponto. Um circunferênci. D. Re ' " E F G omo, áre do polígono BDEFG vle: S S OB S OG LTERNTIV: D sen Dí, ' i " i ;. Se log = e log =, então onsidermos curv prmetrizd ) ) d) y y y MTEMÁTI

4 omo, y Logo, ssim o, o lugr geométrico é um circunferênci menos dois pontos. LTERNTIV:. Em um triângulo de vértices, B e são ddos Bˆ, Ĉ e o ldo B = cm. Se o ldo B é o diâmetro de um circunferênci, então áre d prte do triângulo B etern à circunferênci, em cm, é ) ) d) B D o tg tg tg. om relção à equção, que podemos firmr ) No intervlo, som ds soluções é igul. ) No intervlo, som ds soluções é mior que. equção dmite pens um solução rel. d) Eiste um únic solução no intervlo,. Eistem dus soluções no intervlo, tg tg tg tg tg tg tg Pr tg Temos : tg tg tg, pois tg tg tg tg tg ou tg tg tg tg. B tg omo ÂB DÔB Sendo S áre pedid no enuncido: S SB Ssetor SOD OBP sen S S omo: >, + > LTERNTIV: D Logo + + > LTERNTIV: B MTEMÁTI

5 . Sejm e B mtrizes qudrds n n tis que +B = B e In mtriz identidde n n. Ds firmções: I. In B é inversível; II. In é inversível; III. B = B. Por Srrus, temos: ( ) ( ) - é riz do polinômio. Usndo Briot Ruffini: ( i ) é (são) verddeir(s) ) Somente I. ) Somente II. Somente III. d) Somente I e II. Tods. + B = B B B = In B + B = In (In ) (In B) = In det [(In ) (In B)] = det (In) det (In ) det (In B) = Segue que: det (In ) e det (In B) Logo In e In B são inversíveis. Portnto, I e II são verddeirs. omo (In ) (In B) = In In e In B são inverss entre si, logo comutm. ssim temos: (In B) (In ) = In In B + B = In + B = B omo + B = B, temos: B = B Portnto III é verddeir. LTERNTIV: E y z. Se o sistem y ( )z dmite infinits soluções, y ( )z então os possíveis vlores do prâmetro são: ) ),,,,,,,,, d),,,,,, ssim os vlores de que nulm o polinômio ( i ) são:,,, LTERNTIV: B. onsidere mtriz,. Se o polinômio p() é ddo por p() = det, então o produto ds rízes de p() é ) / ) / / d) / / Em primeiro lugr gostrímos de destcr que em um polinômio p(), é um indetermind, isto é, um símolo lgérico strto. ssim sendo, não fz sentido flr ou. Por outro ldo, se considerrmos como vriável ssocid função polinomil f:, f() = p(), neste cso fz sentido pesquisr sus rízes reis. onsidermos questão ml formuld e mígu, dess form presentmos seguir dus linhs de rciocínio. ) Por hió n ª linh e ª colun, temos: P() ( ) Dess form, o produto ds rízes vle /, por Girrd. Otendo como grito letr D. ) Se considerrmos pens sus rízes reis, temos pelo esoço do gráfico, que há um únic riz rel com < <, dess form questão não tem sentido e fic sem lterntiv corret. Pr que o sistem dmit infinits soluções, então o determinnte d mtriz dos coeficientes deve ser nulo: MTEMÁTI

6 . onsidere clssificção: dois vértices de um prlelepípedo são não djcentes qundo não pertencem à mesm rest. Um tetredro é formdo por vértices não djcentes de um prlelepípedo de rests cm, cm e cm. Se o tetredro tem sus rests oposts de mesmo comprimento, então o volume do tetredro, é em cm ) ) d) Do triângulo Do triângulo N B MN M B MN N M MN E EB DG F BG ED F EG BD HF D H B F G LTERNTIV:. Um progressão ritmétic (,,...,n) stisfz propriedde: pr cd n, som d progressão é igul n + n. Nesss condições, o determinnte d mtriz é ). ).. d).. nlisndo os vlores iniciis do P, temos: s fces do prlelepípedo são prlelogrmos de digonis congruentes, portnto são retângulos. Dí, o volume do prlelepípedo é V = =. Logo, o volume do tetredro é / =. LTERNTIV: D p / n S p / n S r (Rzão d P) Pr o determinnte otemos:. Os triângulos equiláteros B e BD têm ldo comum B. Sej M o ponto médio de B e N pondo médio de D. Se MN = N = cm, então ltur reltiv o ldo B do triângulo D mede, em cm, Denominndo: : olun L: Linh ) ) d) D = r r r r r r r r r r r r r N B L L L L L L Sustituindo os ddos: D = M omo os triângulos B e BD são equiláteros, pel simetri: D MN e MN M. D LTERNTIV:. São dds dus cis, um dels contém três ols rncs e dus prets e outr contém dus ols rncs e um pret. Retir-se o cso, um ol de cd ci. Se P é proilidde de que pelo menos um ol sej pret e P proilidde de s dus ols serem d mesm cor, então P + P vle MTEMÁTI

7 ). ( c ) ; Se e ). c c c d).. S,,. LTERNTIV: E. Um poliedro conveo tem fces tringulres e qudrngulres. Se-se que o número de rests, o número de fces tringulres e o número de fces qudrngulres formm, ness ordem, um progressão ritmétic de rzão. Determine o número de vértices do poliedro. Digmos que sejm T fces tringulres, Q fces qudrngulres, rests i i (, T, Q) P.. de rzão, logo T = P = Pelo menos um ol ser pret P P rncs P s dus ols d mesm cor. PBB PPP P Logo P P P P BB PPP = T + Q = T Por outro ldo, T Q T T T T T T T Logo =, Q = dí F = T + Q =. omo o poliedro é conveo, temos: V + F = V V LTERNTIV: E. Pr que o sistem y y c dmit pens soluções reis, todos os vlores reis de c pertencem o conjunto. ),. ),,.,. d),.,,.. Encontre o conjunto solução S d inequção eponencil: k k. log. No plno crtesino são dds s circunferêncis: : = : ( ) + =. Determine o centro e o rio de um circunstânci Tngente simultnemente e, pssndo pelo ponto (, ) omo y y y c c MTEMÁTI

8 Solução : º R R R R R R R R R R R ( R ) R R R R R R R ( R ) R R R R R R R R O centro é, y Tl que R y R, R R R R R R R R R R R R R R R O centro de R Solução : ' é O ',y R y y com y r oter que pss por, tngente : y tg tg e : y r I r II r III Há qutro possiiliddes por cus dos duplos sinis em (II) e (III). º usndo + e + resolvendo, otemos:,r e é MTEMÁTI

9 º Usndo + e otemos:,,e r Sej, º Usndo e + otemos:,,e r º Usndo e otemos: não convém E z z,,e r não convém omo, Temos e. Sej cos isen. ) Use propriedde Pedem-se k = cos epressr cos, cos e cos k + isen k, k, pr em função de z. Logo, E z E z ( ) E E ) Determine inteiros e tis que cos + cos + cos. cos isen.. Um ret r sepr um plno em dois semiplnos e. onsidere pontos e B tis que e B de modo que d(,r) =,d (B,r) = e d(,b) =. Um circunferênci contid em pss pelos pontos e B e encontrr r nos pontos M e N. Determine menor distânci possível entre os pontos M e N. ) I) cos isen. cos isen. cos II) III) cos isen cos isen cos cos isen cos isen D semelhnç entre os triângulos OBP e OQ: X = y + y = OB e y Utilizndo potênci de ponto: OM ON OB O O D desiguldde entre s medis ritmétic e geométric: cos OM ON OM ON (vlor mínimo) ) cos cos cos. De um ci que contém ols rncs e ols prets, são selecionds o cso k ols. ) Qul proilidde de que etmente r ols sejm rncs, ns condições k r e k. ) Use o item () pr clculr som MTEMÁTI

10 r r r d pr (, B) possui o simétrico (B, ) ou sej, dos csos que sorm temos pens colocndo o cso miml, temos pres contr. rncs escolhe r prets escolhe k r r k r ) P B r k ) omo r =,..., no cso k =, temos r r r P B r r r r r. Quntos pres de números inteiros positivos (, B) eistem cujo mínimo múltiplo comum é? Pr efeito de contgem, considerr (, B) (B, ). mmc,b B Lemre que o,b m k k, mmc em que k,,,, m possiiliddes m possiiliddes m possiiliddes m possiiliddes Note que se m, n Há n possiilid de, e o outro pode vrir no conjunto,,,..., n possiiliddes. Devemos ecluir o cso,n vezes. possiiliddes pois escolhemos n ou n Temo, portnto, pres ordendos. Ecetundo o cso n contdo dus. rest lterl de um pirâmide ret de se qudrd mede cm e áre do círculo inscrito n se mede cm. Dois plnos, e, prlelos à se, decompõem pirâmide em três sólidos de mesmo volume. Determine ltur de cd um desses sólidos. h h h Do círculo inscrito n se: cm V. r r Sendo o centro d se, no V temos: V V cm cm O volume d pirâmide de ltur h é um terço do volume totl: h V h h cm onsiderndo pirâmide de ltur h + h: h h h h V cm Por fim: h h h cm h. Sej p () um polinômio não nulo. Se ³ - ² + e ³ - ² + são divisores de p(), determine o menor gru possível de p(). Note que: ³ - ² + = ( )². ( ) ³ - ² + = ( ) ( )² Segue que p() é divisível por ( ) ². ( ) ². omo p() é não nulo, seu menor gru é. MTEMÁTI

11 . No plno crtesino são ddos o ponto P = (,) e o triângulo de vértices = (,), B = (,) e = (,). Determine um ponto N sore o eio dos de modo que ret que pss por P e N divid o triângulo B em dus regiões de mesm áre. Sej N = (, ) ; ret r, que pss por M e N corresponde : y r o M r ret sup orte de : y XM e ym omo ret r divide o B em dus regiões de mesm áre, temos : ou ou ssim: MTEMÁTI