Exercícios. setor Aula 25

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1 setor SP Aul 5 PROGRESSÃO ARITMÉTICA. Determinr o número de múltiplos de 7 que estão compreendidos entre 00 e 000. r PA n n + (n ) r (n ) (n ) n n Determinr o número de múltiplos de e 3 que estão compreendidos entre 00 e 00. m ( e 3) m (6) 0 PA r 6 n 98 n + (n ) r (n ) 6 6 (n ) 96 n 6 n 7 3. Três números em PA têm som igul e o produto do primeiro pelo terceiro é igul 7. O mior desses números é: ) 7 b) 9 c) d) 5 e) 3 Sej PA (x r, x, x + r). x r + x + x + r 3x x 4 (x r) (x + r) 7 x r 7 Substituindo: 6 r 7 r 9 r ± 3 r 3 PA (, 4, 7) r 3 PA (7, 4, ) Livro Unidde III (Cp. ) Cderno de Unidde II Tref Mínim Resolv os exercícios 0, e, série 9. Resolv os exercícios 3, 4 e 5, série 9. ALFA ANGLO VESTIBULARES

2 Aul 6 SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA, n IN*. N PA (5,, 9, ) som dos 0 primeiros termos é igul : ) 70 d) 40 b) 70 e) 570 c) 40 PA 5 r 3 n ( + n Sn n i ) i b) PA (0,, 4, 6,...) 0 n + (n ) r n 0 + (n ) n n ( + n ) n S n (0 + n ) n S n S n n n n n 0 + 9r ( 3) 0 4 ( S ) 0 (5 + ( 4)) 0 S ) Clcule som dos n primeiros números pres positivos. b) Clcule som dos n primeiros números pres não negtivos. ) PA (, 4, 6, 8,...) r n + (n ) r n + (n ) n n ( + n ) n S n ( + n) n S n n + n n + n 3. Clculr o º- termo e rzão de um PA cuj som dos n primeiros termos é n + 4n, n, n IN*. Temos: S n n + 4n S () + 4 () 5 S + () + 4() + Substituindo: Logo: r r 7 5 r Livro Unidde III Cderno de Unidde II Tref Mínim Lei o item 4, cp.. Lei os exemplos 4 e 5, cp.. Resolv os exercícios 6 9, série 9. Resolv os exercícios 0 3, série 9. ALFA ANGLO VESTIBULARES

3 Aul 7 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA I TERMO GERAL n q n, n IN* II PROPRIEDADE DA MÉDIA GEOMÉTRICA (, b, c) é PG b c III NOTAÇÕES ESPECIAIS 3 termos: 4 termos: x q, x, xq x x 3,, x, x onde q 3 3. Num PG tem-se que o quinto termo é 3 e rzão é. O nono termo vle: ) 6 b) c) 8 d) 8 e) q ( ) termos: x x,, x, xq, xq q q. O décimo termo d PG (3, 6,, ) é igul : ) 5 d) 56 b) 04 e) 768 c) q 0 q Determinr x de modo que x, x +, x + constitum, nest ordem, um PG. ( x, x +, x + ) é PG ( x + ) x x + x + 4 3x + 3x + x + 4 x 3. Qul rzão d PG (,, ) em que 4 sendo que todos os seus termos são reis? e 5 4, ) d) ± b) e) ± c) 5 q 4 4 q 4 4 q 4 6 q ± Livro Unidde III Cderno de Unidde II Tref Mínim Lei o item 7, cp.. Lei os exemplos 9 e 0, cp.. Resolv os exercícios 4 7, série 9. Resolv os exercícios 8, 9 e 30, série 9. ALFA ANGLO VESTIBULARES

4 Auls 8 e 9 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA I SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG q n q Sn ( ) q q S n n (n IN * ) II SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA COM q : + S i i q. Clcule: S n +..., n IN* PG q S q S. Obter som dos 6 primeiros termos d PG,, 4, Obter x que verifique: PG S 6 q S 6 (q 6 ) q n x x x x , n IN* 4 n x PG q x S 4 S q x x 4 x 4 x 3x 4 x 4 3 ALFA ANGLO VESTIBULARES

5 4. O vlor de S n n 3 em que n IN*, é: ) d) b) e) c) , A som ds áres é: S S S S S 3 5. (PUCCmp-SP) Ddo um qudrdo de ldo e um sucessão de qudrdos cujs digonis são iguis o ldo do qudrdo precedente, podemos firmr que som ds áres desses qudrdos vle: ) d) b) e) Livro Unidde III Cderno de Unidde II c) Tref Mínim,, PG dos ldos,,, PG ds áres,,, 4 AULA 8 Lei os itens 8 e 9, cp.. Lei os exemplos e, cp.. Resolv os exercícios 33, 34 e 35, série 9. AULA 9 Resolv os exercícios 38 e 39, série 9. AULA 8 Resolv os exercícios 36 e 37, série 9. AULA 9 Resolv o exercício 40, série 9. ALFA ANGLO VESTIBULARES

6 Aul 30 MATRIZ: CONCEITO OPERAÇÕES DEFINIÇÃO Chm-se mtriz do tipo m n (lê-se m por n) tod tbel constituíd por m n elementos dispostos em m linhs e n coluns. CLASSIFICAÇÃO Mtriz qudrd: m n Mtriz retngulr: m n Mtriz linh: m Mtriz colun: n NOTAÇÃO As mtrizes são representds em form de tbel de dois modos diferentes e usuis. Temos bixo mtriz A do tipo 3 representd dos três modos. A A 3 4, 0 REPRESENTAÇÃO GENÉRICA Por exemplo, um mtriz A do tipo 3 é representd por 3 3 Um mtriz A do tipo m n é denotd por A ( ij ) m n onde i e j indicm posição d linh e colun do elemento ij. MATRIZ QUADRADA Um mtriz qudrd do tipo n n é dit de ordem n e: ) os elementos tis que i j definem nel digonl principl; ) os elementos tis que i + j n + definem nel digonl secundári. Assim, por exemplo: dig. sec dig. princ. MATRIZ NULA Tem todos os elementos iguis zero. MATRIZ OPOSTA Chm-se mtriz opost de A mtriz que se obtem trocndo os sinis dos elementos de A e indicmos por A. Exemplo: A MATRIZ IDENTIDADE OU UNIDADE Chm-se mtriz identidde (ou unidde) de ordem n, que se indic por I n, tod mtriz qudrd de ordem n tl que seus elementos d digonl principl são iguis um e os demis elementos iguis zero. Exemplos: MATRIZ TRANSPOSTA Dd mtriz A do tipo m n, chm-se trnspost de A, e indic-se por A t, à mtriz do tipo n m que tem s coluns (linhs) ordendmente iguis às linhs (coluns) de A. Assim: Assim, o elemento ij d mtriz A é igul o elemento b ji d mtriz B A t. 3 0 A 0 I I A A t PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES Sendo A, B e C mtrizes do mesmo tipo e 0 mtriz nul do mesmo tipo ds nteriores, temos: ) A + B B + A (comuttiv) ) A + (B + C) (A + B) + C (ssocitiv) 3) A + 0 A 4) A + ( A) 0 5) (A + B) t A t + B t PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ Sendo A e B mtrizes do mesmo tipo e r e s números reis, temos: ) r(sa) (rs)a 3) (r + s)a ra + sa ) r(a + B) ra + rb 4) (r A) t r A t ALFA ANGLO VESTIBULARES

7 . Escrev em form de tbel mtriz A ( ij ) 3 com ij i j. 3 A 3 Logo, A 0 3 ) A + B b) A B c) I A + B Clcule x, y e z de modo que se tenh x x y 4 x y + z 8 x 4 x ± x x y y + z 8 x y x y z 7 4. Dds s mtrizes A ( ij ) 3 4 com ij i B (b ij ) 4 3 com b ij j obtenh o elemento c 3 d mtriz C A + B t. c b t b Sendo A B 0, 3 4 e I mtriz identidde de ordem, clcule: ) A + B b) A B c) I A + B Livro Unidde IV Cderno de Unidde III Tref Mínim Lei os itens 0, cp.. Lei os exemplos 8, cp.. Resolv os exercícios 5, série. Resolv os exercícios 6, série. ALFA ANGLO VESTIBULARES

8 Aul 3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES A m n B n p C m p m p Cd elemento c ij d mtriz C é obtido multiplicndo-se ordendmente os elementos d linh i de A pelos elementos d colun j de B, e somndo-se os produtos, ssim, obtidos: c ij i b j + i + b j in b nj Observmos que: Somente existe o produto de um mtriz A por outr mtriz B se o número de coluns de A é igul o número de linhs de B. Se existir o produto de A por B, o tipo d mtriz produto é ddo pelo número de linhs de A e pelo número de coluns de B. Pode existir o produto de A por B, ms não existir o produto de B por A. PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Sendo A, B e C mtrizes e um número rel e supondo s operções bixo possíveis temos que: ) A(BC) (AB)C (ssocitiv) ) A(B + C) AB + AC (dist. pel esquerd) 3) (A + B) C AC + BC (dist. pel direit) 4) A m n I n A m n 5) I m A m n A m n 6) ( A)B A( B) (AB) 7) (AB) t B t A t. Obter o produto ds mtrizes em cd cso bixo: ) 0 AB b) Qulificr como (V) verddeiro ou (F) flso. ) ( F ) Se existe o produto d mtriz A pel mtriz B, então existe o produto de B por A. b) ( F ) Se existe o produto d mtriz A pel mtriz B e existe o produto de B por A, então AB BA. c) ( V ) Existe o produto d mtriz A pel trnspost de A. d) ( F ) Se o produto d mtriz A pel mtriz B é um mtriz nul, então A ou B é nul. ) Flso Ex: A 3 4 B 4 5 C 3 5 B 4 5 A 3 4 b) Flso 0 Ex: c) Verddeiro A m n A t n m d) Flso Ex: ALFA ANGLO VESTIBULARES

9 3. Dds s mtrizes e B, A 0 4 obtenh mtriz X tl que AX B. A X B x sej então: X y 0 x y 4 x x + y 4 x x + y 4 Substituindo: + y 4 y Assim: x Livro Unidde IV Cderno de Unidde II Tref Mínim Lei os itens e 3, cp.. Lei os exemplos 9, cp.. Resolv os exercícios 5, série. Resolv os exercícios 6 0, série. ALFA ANGLO VESTIBULARES

10 Aul 3 MATRIZES. O vlor de x sbendo que s mtrizes x e B 4 A comutm é: ) 0 d) b) e) c) 3 4 x 4 x x 4 x + 6 x x + 4x (UEL-PR) Considere mtriz 0. Sbendo-se que M 8 0 M, conclui-se b 0 8 que o número rel pode ser: ) 3 d) b) e) c) b b Logo, 8 ± 3 Livro Unidde IV Cderno de Unidde III Tref Mínim Lei o item, cp.. Lei os exemplos 3, 4 e 5, cp.. Resolv os exercícios 4, série. Resolv os exercícios 5, 6, 7, 9 e 30, série. ALFA ANGLO VESTIBULARES

11 Aul 33 DETERMINANTES. REGRAS PRÁTICAS Dd mtriz qudrd A ( ij ) de ordem n podemos ssocir el um único número, denomindo determinnte de A, que denotmos por deta, e que será representdo colocndo-se os elementos d mtriz entre dus brrs verticis: det A ) Se n, o determinnte d mtriz A é igul o seu único elemento. A [ ] deta deta ) Se n, temos seguinte regr prátic: O determinnte de um mtriz de ordem é igul à diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári. Exemplo: n n A n n nn n n n n nn ) Se n 3, temos regr prátic de Srrus. Repetimos, à direit d mtriz, s dus primeirs coluns. Acompnhndo os trços em digonl, multiplicmos os elementos entre si, ssocindo o sinl indicdo. Exemplo: Clcule os determinntes: 5 3 ) b) 0 ( ) sen 5 cos 5 c) sen 5º + cos 5º cos 5 sen 5 d) 3 0 sen5 cos 5 sen5 cos 5 sen 5 cos 5 + sen 5 cos 5 sen (5 + 5 ) sen 30 / 3 e) Simplificndo b b :, obtemos: b ) b b) + b c) d) b e) b b + b ( + b) ( b) b ALFA ANGLO VESTIBULARES

12 3. O conjunto solução d equção 0, é: ) {0} b) {} c) { } d) {3} e) { 3} x x 0 x 6 x 3 x 0 Livro Unidde IV Cderno de Unidde III Tref Mínim Lei o item, cp.. Lei os exemplos 5, cp.. Resolv os exercícios 5, série. Resolv os exercícios 6 0, série. Aul 34 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Sendo A um mtriz de ordem n, s principis proprieddes dos determinntes são s seguintes: P ) O determinnte d mtriz A é igul o determinnte d su trnspost deta deta t P ) Se todos os elementos situdos cim ou bixo d digonl principl de A forem iguis zero, o determinnte de A será igul o produto dos elementos d digonl principl. P 3) Se B é mtriz obtid de A qundo um fil de A é multiplicd por um constnte k, então: detb k deta P 4) B é mtriz que se obtém qundo trocds entre si s posições de dus fils prlels, então: det B det A Conseqüênci: Se A tem dus fils prlels iguis, então deta 0. P 5) (Teorem de Binet) Se A e B são mtrizes qudrds de mesm ordem, então o determinnte do produto de A por B é igul o produto ds determinntes de A e B, isto é: det(a B) deta detb P 6) Se A, B e C são mtrizes qudrds de mesm ordem, tis que os elementos correspondentes de A, B e C são iguis entre si, exceto os de um fil, em que os elementos dess fil de C são iguis às soms dos seus elementos correspondentes de A e B, então. Sbendo que Clcule: d g b e h c f i 3d g b 3e h c 3f i 3d g d g b 3e h 3( ) b e h ( 6) c 3f i c f i d + d. O determinnte b e b + e vle: c f c + f ) 0 d) + b + c b) e) n.r.. c) + b d d d b e b + b e e c f c c f f detc deta + detb. ALFA ANGLO VESTIBULARES

13 3. Sendo A um mtriz de ordem 3 e deta 4, clcule: ) det(a ) b) det(a) ) det (A ) det (A A) det A det A (det A) 4 6 b) det(a) ordem 3 A: s 3 linhs de A ficm multiplicds por. det (A): de cd um ds 3 linhs si um em evidênci. Assim: det (A) 3 det A det (A) 8 4 det (A) 3 Livro Unidde IV Cderno de Unidde III Tref Mínim Lei o item 4, cp.. Resolv os exercícios 0 3, série. Resolv os exercícios 5, 7, 9, 30 e 3, série. ALFA ANGLO VESTIBULARES