VETORES. Com as noções apresentadas, é possível, de maneira simplificada, conceituar-se o

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1 VETORES INTRODUÇÃO No módulo nterior vimos que s grndezs físics podem ser esclres e vetoriis. Esclres são quels que ficm perfeitmente definids qundo expresss por um número e um significdo físico: mss (2 kg), tempo (5 h), volume (6L). etc. Vetoriis são quels que ficm perfeitmente definids qundo expresss trvés de um número, um significdo tísico e um orientção: forç (3 newtons de ixo pr cim) velocidde (4 km/h pr leste), etc. Pr representr grndezs vetoriis utilizm-se vetores. O vetor é representdo peio sin!. VETOR que é vetor: Com s noções presentds, é possível, de mneir simplificd, conceitur-se o um módulo. Vetor: ente mtemático determindo por segmentos orientdos, crcterizndo direção, o sentido e o módulo. Cd um destes vetores deve ser crcterizdo por urn direção, um sentido e Sejm os vetores V 1 e V 2 presentdos seguir: u u u u u u u u r d Vetor d (deslocmento) V 1 V 2 ) Módulo do Vetor O vetor V 1 tem 3 uniddes e o vetor V 2 tem 5 uniddes. Isso signific que, se o vetor V 1 representr forç, serão 3 uniddes de forç; se representr velocidde, serão 3 uniddes de velocidde; se representr outr grndez vetoril, serão 3 uniddes d grndez representd. Ao número de uniddes do vetor chmmos módulo ou intensidde do vetor, que é primeir crcterístic de um vetor. Vetor (celerção) F Vetor f (forç)

2 ) Direção do Vetor Como segund crcterístic, oserve que os vetores estão sore um mesm ret horizontl r. Est ret, chmd ret suporte do vetor, determin direção do vetor. O N L c) Sentido do Vetor S Finlmente, oservemos que um dos vetores ( V 1 ) pont pr esquerd e o outro ( V 2 ) pr direit. Dizemos, então, que sore mesm direção temos dois sentidos possíveis. Oservção Diremos, que dois vetores são eqüipolentes qundo têm o mesmo módulo, mesm direção e o mesmo sentido. Se, entretnto, os vetores tiverem mesm direção e o mesmo módulo, porém sentidos opostos, diremos que os vetores são simétricos. u u u u u u u u u u u Vetores eqüipolentes u u u Vetores simétricos Exercícios Dê s crcterístics dos vetores do qudro seguinte: ) u u u módulo direção sentido c) u módulo direção sentido ) u módulo direção d) u u u módulo direção sentido sentido

3 Segmento Orientdo Segmento de ret pr o qul é escolhido um sentido de orientção. A AB B r Origem Extremidde ou A BA B r Extremidde Origem Processo gráfico d dição vetoril Sejm os vetores V 1 e V 2 : u u u u u u u V 1 V 2 Pr trçr o vetor som, podemos utilizr dois processos, que podem ser plicdos indistintmente, otendo-se o mesmo resultdo. V 2 Processo do triângulo Trç-se um vetor eqüipolente. N extremidde de, trç-se um vetor eqüipolente som lig origem de V 2 extremidde de. V 2 V 1 V 1. O vetor com Processo do prlelogrmo Constrói-se um prlelogrmo cujos ldos sejm vetores eqüipolentes os vetores presentdos. A digonl do prlelogrmo, trçd prtir d origem dos vetores, é o vetor som. ( V 1 - V 2 ) V 2 V 2 ( V 2 - V 1 ) V 1 V 1

4 SOMA DE VETORES Sejm dois vetores-prcel e formndo entre si um ângulo α com 0º α 180º. O vetor-som, tmém chmdo de vetor-resultnte, qui representdo por R, é indicdo por: R = + (indicção vetoril) Aplicção Numéric: Considerndo os módulos dos vetores-prcel I = 4 e = 3 (ou = 4 e = 3), tem-se seguir o módulo do vetor-som pr os seguintes csos prticulres: ) α = 0º Os vetores e tem mesm direção e o mesmo sentido. R = + Grficmente R O módulo resultnte é igul som dos módulos ds prcels. Ex.: R = + R = R = 7 ) α = 180º Os vetores e tem mesm direção, porém sentidos opostos. R = - Grficmente R

5 O módulo resultnte é igul à diferenç dos módulos ds prcels. Ex.: R = - R = 4-3 R = 1 c) α = 90º Os vetores e formm um ângulo reto.. R 2 = 2 2 Grficmente α = 90º R R Regr do Prlelogrmo Consiste em juntr s origens dos vetoresprcel e fechr um prlelogrmo. O vetor-som é digonl do prlelogrmo cuj origem é mesm dos vetores prcel. Not: O retângulo é um cso prticulr de prlelogrmo d) 0º < α <180º Os vetores e formm um ângulo qulquer, diferentes dos nteriores: R 2 = cos α Grficmente

6 Ex.: R 2 = cos α R 2 = ,5 R = 6,1 Exercícios: 1. Complete s lcuns: As grndezs vetoriis são representds por... Vetor é um... As três crcterístics de um vetor são... Aplic-se num ojeto um forç de 10 N n verticl, de ixo, pr cim. As três crcterístics dess forç são: módulo =... direção =... sentido =... Adicionndo-se um vetor de 6 uniddes pr norte, com um vetor de 4 uniddes pr sul, otém-se um vetor de... uniddes pr... Um deslocmento de 10 km pr leste, seguido de um deslocmento de 6 km pr oeste, equivle um único deslocmento de... km pr Os indivíduos d mesm figur que cminhm n mesm clçd retilíne estão: ) n mesm direção e no mesmo sentido. ) n mesm direção e em sentidos opostos. c) em direções oposts e no mesmo sentido. d) em direções oposts e em sentidos opostos. e) em direções e sentidos indefinidos.

7 3. Um pesso cminh em um psseio, num di de Domingo, 180 m do sul pr o norte. A seguir, desloc-se 240 m do oeste pr o leste. Qul o vlor do deslocmento finl dest pesso? ) 420 m ) 240 m. c) 300 m. d) 324 m. e) NRC 4. Determine o módulo d resultnte dos vetores e em cd cso seguir: ) = 12 = 7 ) = 15 = 5 c) = 12 = 5 d) = 4 = 8 120º

8 e) = = 7 120º f) = 3 = 4 c = 5 d = 7 d c g) = = c = 8 120º 120º 120º c 5. Ache o módulo d forç resultnte dos sistems ds figurs: 2N 3N 6N 60º 5N

9 8N 6N 5N 3N 7N 2N 4N 4N 6N 6. (Fuvest-SP) Num vgão ferroviário, que se move com velocidde V O = 3 m/s em relção os trilhos, estão dois meninos, A e B, que correm um em direção o outro, cd um com velocidde V = 3 m/s em relção o vgão. As velociddes dos meninos A e B em relção os trilhos serão respectivmente: ) 6 m/s e O m/s ) O m/s e 9 m/s c) O m/s e 6 m/s d) 3 m/s e 3 m/s e) 9 m/s e O m/s

10 7. Num di sem vento, chuv ci verticlmente em relção o solo com velocidde de 10 m/s.um crro se desloc horizontlmente com 20 m/s em relção o solo. Determine o módulo d velocidde d chuv em relção o crro. 8. Num irro onde todos os qurteirões são qudrdos e s rus prlels distm 100 m um d outr, um trnseunte fz o percurso de P Q pel trjetóri representd no esquem ixo. O deslocmento vetoril desse trnseunte tem módulo, em metros, é igul : P 100m Q 100m ) 300 ) 350 c) 400 d) 500 e) Um rco está com o motor funcionndo em regime constnte; su velocidde em relção à águ tem módulo igul 5 m/s. A correntez do rio moviment-se em relção às mrgens com 2 m/s, constnte. Determine o módulo d velocidde do rco em relção às mrgens em qutro situções distints: ) o rco nveg prlelo à correntez e no seu próprio sentido (rio ixo); ) o rco nveg prlelo à correntez e em sentido contrário (rio cim); c) o rco moviment-se mntendo seu eixo num direção perpendiculr à mrgem; d) o rco moviment-se indo de um ponto outro situdo extmente em frente, n mrgem opost (60º).

11 10. Um rco trvess um rio perpendiculrmente à correntez. Sendo que os módulos ds velociddes do rco e d correntez do rio são, respectivmente, VB = 4,0 m/s e VC= 3,0 m/s, determine o módulo d velocidde resultnte. V B V C 11. Sore o loco d figur ixo tum s forçs F1, F2, F3 e F4 de módulos F1 = 20 N, F2 = 30 N, F3 = 25 N e F4 = 35 N. Determine o módulo d forç resultnte que tu sore o loco. + Θ F 4 F 1 F 2 F Os sucessivos deslocmentos efetudos por um, veículo, qundo se moviment de um ponto A pr outro B, são: 40 km pr o norte, 40 km pr o leste e 10 km pr o sul. Determine menor distânci ser percorrid pr ele retomr de B té A.

12 COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS INTRODUÇÃO Se um formig cminhr no sentido oeste-leste sore um tpete em repouso sore o piso, el terá extmente mesm velocidde em relção o piso. N O L F = formig T = tpete P = piso S Ms, se o tpete for puxdo e entrr em movimento no mesmo sentido (tmém pr leste), formig, em relção o piso, terá outr velocidde, mior do que ntes! F V FT = V TP Numericmente, se formig nd 1 cm/s sore o tpete e este é rrstdo 2 cm/s (n mesm direção e no mesmo sentido), então formig desloc-se 3 cm/s (1 cm/s + 2cm/s) em relção o piso. Isso é o que se denomin composição de movimentos. Neste cpítulo, movimentos de direções diferentes tmém serão compostos e nlisdos numericmente.

13 É possível ndr e, mesmo ssim, permnecer prdo? V > V e você soe V = V e você fic em repouso em relção o prédio V < V e você desce Se você ndr pr cim, sore um escd rolnte que desce, poderá contecer um dos seguintes csos: Su velocidde sore escl (v) Em relção à, velocidde d escd rolnte (V e ) Esse exemplo, que cmos de ver, é stnte fácil e uxili nálise respeito d composição de movimentos. Aproveitndo: o que contece se cminhrmos no mesmo sentido do movimento d escd? Isto é: se ndrmos pr ixo num escd rolnte que desce, ou se ndrmos pr cim num escd que soe? Fácil responder, não é mesmo? MOVIMENTO RESULTANTE Considere o movimento de um corpo A em relção um referencil B (com velocidde V AB ) e um segundo movimento, o do referencil B em relção outro referencil C (com velocidde V BC ). Compondo os dois movimentos presentdos, result o movimento do corpo A em relção o referencil C, cuj velocidde resultnte V BC é determind pel som vetoril: Esquemticmente V AC = V AB + V BC Movimento resultnte AC A B C Mov. AB Mov. BC

14 Por exemplo, um rco que nveg num rio present velocidde reltiv V BA (do rco em relção à águ) e velocidde resultnte V BT (do rco em relção à Terr); pr relcioná-ls é preciso que se considere tmém velocidde de rrstmento V AT (d águ em relção à Terr ). Então: V BT = V BA + V AT ou V r = V rel + V rr V r = velocidde resultnte V rel = velocidde reltiv V rr = velocidde de rrstmento A seguir, s principis situções de um rco num rio: Neste exemplo, supõe-se : V BA = 12 m/s e V AT = 5 m/s. Pr relcionr os módulos dos vetores-velocidde, nlism-se tmém direção e o sentido desses vetores:

15 Situção 1: descendo o rio, com V BA // V AT. V BT = V BA + V BT V BT = (12+5) m/s = 17 m/s Situção 2: suindo o rio, com V BA // V AT. V BT = V BA - V AT V BT = (12-5) m/s = 7 m/s Situção 3: trvessndo o rio, com V BA V AT. V BT 2 = V BA 2 + V AT 2 V BT 2 = V BT 2 = 13 m/s Situção 4: trvessndo o rio, com V BT V AT. V BA 2 = V BT 2 + V AT = V BT V BT 2 1,9 m/s PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA DOS MOVIMENTOS SIMULTÂNEOS N composição de movimentos, o princípio d simultneidde de Glileu firm que cd um dos movimentos componentes pode ser estuddo independentemente, e mis: t AB = t BC = t AC, isto é, os intervlos de tempo medidos em cd um dos movimentos (A em relção B, B em relção C e A em relção C) são iguis entre si, pois estes movimentos componentes e o resultnte são simultâneos. Num movimento composto, cd um dos movimentos componentes ocorre simultnemente com os demis e como se esses outros não existissem.

16 Exercícios 1. Um rio, de 50 m de lrgur constnte, é trvessdo por um rco, cuj máxim velocidde própri (rco em relção águ) é de 0,8 m/s. A correntez tem velocidde constnte de 0,6 m/s. ) Determine o tempo mínimo de trvessi. ) Em quntos segundos o rco é rrstdo rio ixo durnte trvessi em tempo mínimo? c) Clcule velocidde resultnte (rco em relção à Terr), ns condições nteriores. d) Determine o deslocmento percorrid pelo rco rio ixo. e) Determine distânci relmente percorrid pelo rco o finl d trvessi.

17 2. Um rco trvess um rio com velocidde própri de 10 m/s, perpendiculr à correntez. Sendo-se que lrgur do rio é de 800 metros e velocidde d correntez 5 m/s, determinr: ) o tempo gsto n trvessi; ) o deslocmento do rco rio ixo o fim d trvessi. c) distânci relmente percorrid pelo rco n trvessi; d) velocidde do rco em relção à terr. 3. Um rco nveg em um rio cuj correntez é constnte e vle 5 km/h. Sendo que velocidde do rco e de 12 km/h, determine velocidde resultnte qundo o rco: B C ) Soe o rio ) Desce o rio V B V C c) Si de A e cheg em B Rio visto de cim A

18 4. Um rco nveg por um rio desde um cidde A té um cidde B com velocidde de 36km/h e, em sentido contrário, com velocidde de 28,8 km/h. Determinr velocidde d correntez. A V V V V B 5. A figur represent um corrente ds águs de um rio que fluem com velocidde de 3 km/h. No rio estão fixds três lizs, A, B e C. 8 km B Corrente AC // corrente A 8 km C Dois nddores, cpzes de desenvolver velocidde constnte de 5 km/h, inicim, respectiv e simultnemente, os percursos de A B e de A C, percorrendo-os em linh ret em id e volt. Clculr diferenç entre os intervlos de tempo necessários pr os nddores completrem os respectivos percursos, dndo respost em hors.

19 6. Um pássro prte em vôo retilíneo e horizontl do seu ninho pr um árvore distnte 75 m e volt, sem interromper o vôo, sore mesm trjetóri. Sendo-se que sopr um vento de 5 m/s n direção e sentido d árvore pr o ninho e que o pássro mntém, em relção à mss de r, um velocidde constnte de 10 m/s, determine, em segundos, o tempo gsto n trjetóri de id e volt. 7. O motor de um rco comunic-lhe um velocidde de 18 km/h em águs prds. O rco nveg num rio cuj correntez tem velocidde de 3 m/s. Clcule distânci percorrid pelo rco em 10 minutos, nos csos: ) rio ixo; ) rio cim.

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