Determinantes. Vamos associar a cada matriz quadrada A um número a que chamaremos determinante. a11 a Uma matriz de ordem 2, A =

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1 Determinantes Vamos associar a cada matriz quadrada A um número a que chamaremos determinante de A. [ ] a11 a Uma matriz de ordem 2, A 12, é invertível se e só se a 21 a 22 a 11 a 22 a 21 a 12 0, como vimos. O número a 11 a 22 a 21 a 12 ser zero ou não é importante. Chama-se determinante da matriz A e denotamos por A ou det(a). onde Consideremos agora a matriz de ordem 3, B a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Utilizando o método de eliminação de Gauss obtemos: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 0 a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 a 23 a 13 a 21 0 a 11 a 32 a 12 a 31 a 11 a 33 a 13 a 31 a 11 a 12 a 13 0 a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 a 23 a 13 a 21, 0 0 a 11. a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 O número o determinante da matriz B. Podemos escrevê-lo de outro modo: [ a22 a a 11 det 23 a 32 a 33 ] [ a21 a a 12 det 23 a 31 a 33 1 ] [ a21 a + a 13 det 22 a 31 a 32 ]

2 ou ainda a 11 det B 11 a 12 det B 12 + a 13 det B 13, onde B 11, B 11, B 13 são obtidas de B eliminando a primeira linha e uma das três colunas. Definição 0.1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Representamos por A ij a matriz que se obtém de A por supressão da linha i e da coluna j. Ao det(a ij ) chama-se menor de índices i e j. A C ij ( 1) i+j det(a ij ) chama-se co-factor ou complemento algébrico de índices i e j. Chama-se matriz dos co-factores da matriz A, à matriz cuja entrada na linha i e coluna j é o co-factor C ij. Definição 0.2 Chama-se adjunta da matriz A, e denota-se por adj(a), à transposta da matriz dos co-factores de A. Vamos generalizar a noção de determinante para matrizes quadradas de qualquer ordem. Enunciamos um resultado importante. Teorema 0.3 Teorema de Laplace. Seja A [a ij ] uma matriz quadrada de ordem n. O determinante de A é igual à soma dos produtos dos elementos de uma sua qualquer coluna ou linha pelos respectivos complementos algébricos, isto é, dados k, p {1,..., n} tem-se ou det A A det A A n a r,p ( 1) r+p det A rp r1 n a k,r ( 1) k+r det A kr r1 Proposição 0.4 Se A e B forem matrizes quadradas da mesma ordem, então det(ab) det(a)det(b). Se A é uma matriz não singular, então det(a) é não nulo e det(a 1 ) 2 1 det(a).

3 Propriedades Seja A uma matriz quadrada de ordem n. 1. O determinante de A e da sua transposta são iguais, A A T. De acordo com 1, qualquer teorema que diga respeito a linhas terá resultado análogo para colunas. 2. Se a matriz A tem uma linha ou coluna (fila) nula então A Se multiplicarmos uma fila por α não nulo então A vem multiplicado por α. 4. αa α n A. 5. Se a matriz A for triangular (superior ou inferior) então A é o produto dos elementos da diagonal principal, o termo principal. 6. Se em A trocarmos duas filas paralelas então A muda de sinal. 7. Se a matriz A tem duas filas paralelas idênticas então A Se a matriz A tem duas filas paralelas proporcionais então A Se os elementos de cada fila de A são polinómios de m termos, então A é igual à soma dos m determinantes que se obtêm a partir de A substituindo a fila considerada pelos seus 1. o termo, 2. o termo, etc, m. o termo. 10. A não se altera quando se adiciona aos elementos de uma fila os elementos correspondentes de outra fila paralela multiplicados por α não nulo. 11. A não se altera quando se adiciona aos elementos de uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas. 12. Se a característica da matriz A é inferior à sua ordem então A Se a característica da matriz A é igual à sua ordem então A 0. Assim, se A 0, a matriz A é singular e portanto não invertível; se A 0, a matriz A é não singular e portanto invertível. Podemos enunciar uma última propriedade: 3

4 Proposição 0.5 As seguintes afirmações são equivalentes: 1. A matriz A é invertível. 2. O sistema Ax b é possível e determinado, para qualquer b. 3. A O sistema Ax 0 é determinado. Resolução de um determinante utilizando as propriedades ( 5) / / / / /5 5 [1 1 ( 2) 18/5] 36 4

5 Cálculo da inversa de uma matriz: Aplicações do determinante Teorema 0.6 Para qualquer matriz A de ordem n, n 2, tem-se: Aadj(A) det(a)i. Se det(a) é não nulo, então a inversa de A existe e é dada por A 1 1 deta adj(a). Resolução de sistemas: Para resolver sistemas possíveis e determinados com matrizes quadradas podemos utilizar a Regra de Cramer. Vamos ver para o caso de uma matriz de ordem 3, B B 1 adjb 1 b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 ( 1) 1+1 B 11 ( 1) 2+1 B 21 ( 1) 3+1 B 31 ( 1) 1+2 B 12 ( 1) 2+2 B 22 ( 1) 3+2 B 32 ( 1) 1+3 B 13 ( 1) 2+3 B 23 ( 1) 3+3 B 33. Seja o sistema BX c, sendo B uma matriz invertível. Então X B 1 c ou: x 1 x 2 x 3 1 ( 1) 1+1 B 11 ( 1) 2+1 B 21 ( 1) 3+1 B 31 ( 1) 1+2 B 12 ( 1) 2+2 B 22 ( 1) 3+2 B 32 ( 1) 1+3 B 13 ( 1) 2+3 B 23 ( 1) 3+3 B 33 c 1 c 2 c 3 Assim x 1 ( 1)1+1 B 11 c 1 +( 1) 2+1 B 21 c 2 +( 1) 3+1 B 31 c 3 ou seja: 5

6 x 1 ( 1) 1+1 det b 22 b 23 b 32 b 33 c 1 ( 1) 2+1 det b 12 b 13 b 32 b 33 c 2 +( 1) 3+1 det b 12 b 13 b 22 b 23 c 3 O numerador é afinal o determinante da matriz B, onde a 1 a coluna é substituída pela coluna c. Do mesmo modo, no cálculo de x 2 e x 3 os numeradores são, respectivamente, o determinante da matriz B, onde a 2 a coluna é substituída pela coluna c e o determinante da matriz B, onde a 3 a coluna é substituída pela coluna c. Podemos agora enunciar: Teorema 0.7 Regra de Cramer. Seja B uma matriz invertível de ordem n e seja c R n. Seja B i a matriz obtida substituindo-se a i-ésima coluna de B por c. Se X for a única solução de BX c, então x i det(b i), para i 1,..., n. det(b) 6