A = (a ij ) 4x4, associada à tabela, possui a seguinte lei de formação:

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1 . O digrm ddo represent cdei limentr simplificd de um determindo ecossistem. As sets indicm espécie de que outr espécie se liment. Atribuindo vlor qundo um espécie se liment de outr e zero, qundo ocorre o contrário, tem-se seguinte tbel: A mtriz ) ij b) ij c) ij d) ij e) ij Urso Esquilo Inseto Plnt Urso Esquilo Inseto Plnt A = ( ij ) 4x4, ssocid à tbel, possui seguinte lei de formção:, se i j =, se i > j, se i = j =, se i j, se i j =, se i < j, se i j =, se i = j, se i < j =, se i > j b. É dd mtriz A = b, onde e b são números reis. Se. = 3 5 b, então o determinnte de A é igul ) 3b + 4. b) b² + ². c) b² + 5. d) 5 +. e) 5. Págin de 5

2 3. O fluxo de veículos que circulm pels rus de mão dupl, e 3 é controldo por um semáforo, de tl modo que, cd vez que sinliz pssgem de veículos, é possível que 9 36 pssem té crros, por minuto, de um ru pr outr. N mtriz S = 9 75 cd termo Sij indic o tempo, em segundos, que o semáforo fic berto, num período de minutos, pr que hj o fluxo d ru i pr ru j. Então, o número máximo de utomóveis que podem pssr d ru pr ru 3, ds 8h às h de um mesmo di, é ) 43 b) 576 c) 9 d) 8 e) 4. Considere s firmções bixo: I) Se M é um mtriz qudrd de ordem n >, não nul e não inversível, então existe mtriz não nul N, de mesm ordem, tl que M N é mtriz nul. II) Se M é um mtriz qudrd inversível de ordem n tl que det (M M) =, então existe mtriz não nul X, de ordem n x, tl que MX = X. cosθ senθ III) A mtriz π tgθ é inversível, k, k. θ θ + π sen sec θ Dests, é(são) verddeir(s) ) pens II. b) pens I e II. c) pens I e III. d) pens II e III. e) tods. 5. Os lunos de um clsse form consultdos sobre qutro possibiliddes diferentes de horário pr o exme finl d disciplin (possibiliddes A, B, C e D ). Cd luno ordenou su preferênci d.ª à 4.ª escolh (.ª é mis desejd, e 4.ª menos desejd). A purção dos resultdos dess consult mostrou que form escolhids pens 9 ordenções diferentes, dentre s 4 possíveis. A tbel indic os resultdos d consult com os ddos grupdos. Número de votos ª escolh A A A B B B C C D ª escolh B B C C A C D A C 3ª escolh C D B D C A B D A 4ª escolh D C D A D D A B B Exemplo: do totl de 5 lunos, 3 preferem A à B, B à C e C à D (primeir colun d tbel). ) Usndo os ddos d tbel, determine o horário vencedor, e com que porcentgem de votos, em um eleição mjoritári simples. Definição: eleição mjoritári simples é quel em que se lev em considerção pens.ª escolh de cd eleitor. b) Admit, gor, que são tribuídos peso qutro (4 pontos) à.ª escolh de cd luno, três (3 pontos) à.ª escolh, dois ( pontos) à 3.ª escolh e um ( ponto) à 4.ª escolh. Págin de 5

3 Dd mtriz x9 = [ ] V P resulte mtriz = [ ] V , determine mtriz P 9x4 de form que x9 9x4 Tx4 A B C D do totl de pontos dos horários A, B, C e D. Em seguid, ordene clssificção dos qutro horários, do que obteve mis pontos pr o que obteve menos pontos. 6. Determine tods s mtrizes M M X ( ) tis que MN = NM, N M x ( ) 7. Um indústri utiliz borrch, couro e tecido pr fzer três modelos de sptos. A mtriz Q fornece quntidde de cd componente n fbricção dos modelos de sptos, enqunto mtriz C fornece o custo unitário, em reis, destes componentes. A mtriz V que fornece o custo finl, em reis, dos três modelos de sptos é dd por: ) V = 8 9 b) V = 6 8 c) V = 8 d) V = e) V = 8 8. A prefeitur de certo município plnej solicitr o governo federl um verb especil pr construção de css populres nos setores S, S e S 3 desse município. Serão construíds css dos tipos, e 3, que terão custo de construção de. reis, 3. reis e 4. reis respectivmente. Relizdo, em cd setor, cdstrmento ds fmílis que necessitm de mordi, form obtidos os ddos d mtriz seguir, onde o elemento A ij represent o número de fmílis que pleiteim um cs do tipo i e morm no setor S j. Págin 3 de 5

4 3 5 4 A = Com bse nos ddos presentdos e considerndo que cd fmíli cdstrd será contempld com um cs, identifique s firmtivs correts: ( ) O número totl de css que serão construíds, nos três setores, será de 7. ( ) O custo totl previsto pr construção de tods s css, nos três setores, será mior que sete milhões de reis. ( ) O setor é o setor onde será construído o mior número de css. ( ) O número de css do tipo serem construíds nos três setores será mior que o número de css do tipo que serão construíds nos mesmos setores. ( ) A prefeitur gstrá mis com construção ds css do tipo do que com s css do tipo A trnsmissão de mensgens codificds em tempos de conflitos militres é crucil. Um dos métodos de criptogrfi mis ntigos consiste em permutr os símbolos ds mensgens. Se os símbolos são números, um permutção pode ser efetud usndo-se multiplicções por mtrizes de permutção, que são mtrizes qudrds que stisfzem s seguintes condições: cd colun possui um único elemento igul (um) e todos os demis elementos são iguis zero; cd linh possui um único elemento igul (um) e todos os demis elementos são iguis zero. Por exemplo, mtriz M = permut os elementos d mtriz colun Q = b, c b trnsformndo- n mtriz p = c, pois P = M. Q. c Pode-se firmr que mtriz que permut b, trnsformndo- em, é c b ). b). c). d). e).. Assinle (s) proposição(ões) corret(s). Págin 4 de 5

5 x + 3y z = ) As soluções do sistem homogêneo x 8y + 8z = são terns ordends do tipo 3x y + 4z = (,b,c) com(+b+c) múltiplo de. b ) Se det A = 8 pr A = c d, então det B = 8 pr b B = +c b+d. 4) O vlor de x pr que os pontos A(3, 5), B(x,9) e C(,) sejm colineres é 3. 8) Se A,B,C são mtrizes inversíveis, então ( AB ) ( AC ).B = C. 5 6) Se A = 3 então t 4-5 (A + A A ) = Dds s mtrizes ) Se x = π então det B =. ) A mtriz A.B é trnspost de B. 4) B A = B 8) det ( A.B) = cos x 6) det B, pr todo x R. sen x A = e B = sen x, ssinle o que for correto.. Um fábric decide distribuir os excedentes de três produtos limentícios A, B e C dois píses d Améric Centrl, P e P. As quntiddes, em tonelds, são descrits medinte mtriz Q: Pr o trnsporte os píses de destino, fábric recebeu orçmentos de dus empress, em reis por toneld, como indic mtriz P: 5 3 º empres P = 4 º empres ) Efetue o produto ds dus mtrizes, n ordem que for possível. Que represent o elemento 3 d mtriz produto? b) Que elemento d mtriz produto indic o custo de trnsportr o produto A, com segund empres, os dois píses? c) Pr trnsportr os três produtos os dois píses, qul empres deveri ser escolhid, considerndo que s dus presentm extmente s mesms condições técnics? Por quê? 3. Sejm M e N mtrizes qudrds de ordem, cujos determinntes são denotdos respectivmente por, Det (M) e Det (N). Sej O é mtriz nul de ordem. Assinle firmtiv corret. ) Se Det (M) = então M = O. b) Det (M + N) = Det (M) + Det (N). c) Det (3M) = 3 Det (M). d) Det (-M) = - Det (M). e) Se Det (MN) = então Det (M) = ou Det (N) =. Págin 5 de 5

6 4. Considere mtriz A 3 = ,cujos coeficientes são números reis. ) Suponh que extmente seis elementos dess mtriz são iguis zero. Supondo tmbém que não há nenhum informção dicionl sobre A, clcule probbilidde de que o determinnte dess mtriz não sej nulo. b) Suponh, gor, que ij = pr todo elemento em que j > i, e que ij = i j + pr os elementos em que j i. Determine mtriz A, nesse cso, e clcule su invers, A. 5. Assinle (s) proposição(ões) corret(s). ) O ortocentro de qulquer triângulo é equidistnte dos três vértices. ) O vlor numérico de t n figur seguir é t = ) A rzão d progressão ritmétic (log, log e log ) é igul X + Y = ) Resolvendo o sistem mtricil obtém se X = X + Y = ) Sendo A = e B =, então o produto entre mtriz invers de A e mtriz trnspost de B é mtriz A -. B t = Identifique s firmtivs seguir como verddeirs (V) ou flss (F). ( ) Sbe-se que um mtriz A é inversível se existir um mtriz B tl que AB = BA = I n, onde I n é mtriz unidde de ordem n. A invers d mtriz é mtriz ( ) Um resturnte típico d região do litorl oferece s seguintes entrds: csquinh de siri, pnquec de siri, ostrs, slds, crnguejo. Os prtos principis são: peixe com gengibre, indiá, cldeird, filé de lingudo. As sobremess disponíveis são bolinho de polvilho, bolo de pinhão, mbojpe (bolo de milho), cnjic, rroz doce, milho. Com tod ess vriedde, um cliente pode escolher de novent forms diferentes um entrd, um prto principl e um sobremes. ( ) Se num pesc típic no estuário de Gurtub um pescdor pesc seis groups, dois roblos e dez betrs, e se um peixe destes for escolhido o cso, probbilidde de ele não ser betr é igul à probbilidde de ele ser roblo ou group. ( ) É verddeir iguldde sen π + =. 8 Págin 6 de 5

7 Assinle lterntiv que present sequênci corret, de cim pr bixo. ) V F V F. b) V F F F. c) V F V V. d) F V F F. e) F V V V. 7. Sendo 5 ) 5 b) c) 5 d) 5 e) A = e 7 B =, mtriz x X = y n equção 6 A X = B será: 8. Considere os pontos P, P e P 3 e mtriz: onde cd ij é o vlor d distânci entre o ponto P i e o ponto P j. No triângulo formdo por esses pontos, medin reltiv P mede: ) 6 b) 8 c) d) e) 4 9. O vlor A + 4B qundo A = e B = 4 4 ) b) 4 c) é igul : Págin 7 de 5

8 d) e) Assinle (s) proposição(ões) CORRETA(S). i+ j i ) O elemento 64 d mtriz A = ( ij ) de ordem 8, onde ij = ( ) é 3. j ) O triângulo ABC, cujs coordends dos vértices são: A(,), B(,) e C(,), tem uniddes de áre. 4) Pr dus mtrizes A e B de mesm ordem, vle sempre: (AB) t = A t B t. 8) A mtriz invers d mtriz A é mtriz A - A = A 5 = 5 6) O elemento b 3 d mtriz B = At, onde A = ( xy), de ordem 3 e xy = x +y é 8. Págin 8 de 5

9 Gbrito: Respost d questão : [C], se i j A expressão ij =, se i < j dd. represent mtriz, que represent tbel Respost d questão : [E] Fzendo o produto de mtrizes, temos: b = b = e = b Considerndo = 4 e b =, clculmos o determinnte de A: det ( A ) = + b = 4 + = = 5. Respost d questão 3: [C] Se cd minuto podem pssr té crros, temos que em 75 (s 3 ) segundos podem 75 s crros pssr té = 5 crros. 6 s Como de 8 h às h existem = 6 períodos de minutos, segue que podem pssr té 5 6 = 9 utomóveis no período considerdo. Respost d questão 4: [E] I) (verddeir) Considerndo o produto M.N =. Multiplicndo mtriz M por cd mtriz colun N, encontrmos sistems lineres homogêneos indetermindos, logo existem outrs soluções lém d trivil. II) verddeir, det(m M ) = e det(m) (invertível) Det(M(M-)) =, logo o det(m). det(m-) = ou sej det(m) = (não convém) ou det(m -) = O sistem MX = X (M-) X =, dmite infinits soluções, pois seu determinnte principl é nulo. III) Verddeir cosθ senθ cosθ senθ tg = θ sen, seu determinnte será D = cos θ + sen θ = e θ senθ cosθ sec θ mtriz é inversível. Págin 9 de 5

10 Respost d questão 5: ) D tbel, temos que o totl de votos, em um eleição mjoritári simples, de cd um dos horários, foi: A : = 4 B : = 5 C : 8 + = D :. 5 Portnto, o horário vencedor foi o B, com % = 3% 5 b) A mtriz pedid é dd por do totl de votos. P 9 4 A B C D = 3 4 Pesos Desse modo, temos que: A B C D = [ ] [ ] A = = 6 B = = 4 C = = 47 D = = 3 Portnto, C ficou em º lugr com 47 pontos, B ficou em º lugr com 4 pontos, A ficou em 3º lugr com 6 pontos e D ficou em 4º lugr com 3 pontos. Págin de 5

11 Respost d questão 6: x b Considerndo M = e N = z w c d x + cy = x + bz z + cw = cx + dz Fzendo M.N = N.M temos: bx + dy = y + bw bz + dw = cy + dw Considerndo b = e c =, concluímos que y =. Tomndo gor b = q e c qulquer com y =, obtemos z =, então x = w. x Logo, M =, x x Respost d questão 7: [E] Multiplicndo s mtrizes, temos: = = Respost d questão 8: F V F V V ( F ) pois = 6 ( V ) pois ( ).. + ( ) ( ). 4. = 7.. ( F ) no setor serão construíds 8css e nos demis 9 css. ( V ) > ( V ) pois ( ). 3. > ( ). 4. Respost d questão 9: [A], se mi = e mi = mi3 = Sej P = (p ij) 3, definid por pij = b, se mi = e mi = mi3 =, sendo (m ij) 3 3 M. c, se mi3 = e mi = mi = c Se P =, b então p = c, p = e p3 = b. Logo, M =. Respost d questão : +6=8 Respost d questão : = () Flso, B = det( ) = B Págin de 5

12 .+.( senx). senx +.( ) senx () Flso, A.B = =.+ ( ).( senx). senx + ( ).( ) senx e A t = senx senx senx (4) Flso, B A = senx e B = senx senx (8) Verddeiro, det(a.b) = sen x = cos x (6) Verddeiro, detb = - + sen x ( o mior vlor que o qudrdo de um seno é um, logo - + sen x é menor ou igul zero pr todo x) Respost d questão : ) P.Q = = o elemento 3 represent o preço, em reis, que empres cobr pr trnsportr o produto C os dois píses. b) O elemento que represent o custo pr trnsportr o produto A, pel segund empres, é o. c) Pel empres = 36. Pel empres, = 7 ; portnto, empres seri mis vntjos. Respost d questão 3: [E] Det (MN) = Det (M). Det (N) = Det (M) = ou Det (N) =. (Teorem de Binet) Respost d questão 4: ) Os três elementos não nulos deverão ocupr fils diferentes. N primeir linh : 3 possibiliddes N segund linh: possibiliddes N terceir linh possibilidde. Logo termos 3! 3! mtrizes não nuls Número de mtrizes com seis elementos nulos A 9,3 = Logo P = = 4 b) De cordo com lei de formção mtriz é 3 x considerndo su invers y z 3 x. y z b c d e = f b c d e f x x + y 3x + y + z + b 3 + b + c d d + e = 3d + e + f logo Págin de 5

13 A mtriz invers será Respost d questão 5: + 6 = 8 ) (fls) O circuncentro que é equidistntes dos vértices. ) (verddeir) x + = 3 logo x = 5 e 3.t = 5. logo t = 6/5 4) (fls) log log = log (/) = log = ) (fls) -4x y + 3x + y = x = + = ) (verddeir) A -.B t =. = Respost d questão 6: [A] 7 3 (Verddeir) = (Fls) = (Verddeir) eventos complementres. (Fls) π π π cos = cos sen π π cos = sen 4 8 π = sen 8 π sen = 8 Respost d questão 7: [D] Respost d questão 8: [C] D mtriz fornecid obtemos 3 3 = = P P = = P P 3 = 6 = P P 3 Págin 3 de 5

14 Como = 6 +, o triângulo P P P3 é retângulo em P. Sej M o ponto médio do ldo P P 3. Temos que P P3 P M = = =. Respost d questão 9: [B] 4 A = = 4 B = = 4 4 A + 4B = + 4 =. 4 4 Respost d questão : () + (6) = 7 Págin 4 de 5

15 Resumo ds questões selecionds nest tividde Dt de elborção: /9/ às 8: Nome do rquivo: Mtrizes Legend: Q/Prov = número d questão n prov Q/DB = número d questão no bnco de ddos do SuperPro Q/prov Q/DB Mtéri Fonte Tipo Mtemátic...Ufsm/...Múltipl escolh mtemátic...uftm/...múltipl escolh Mtemátic...Uesc/...Múltipl escolh Mtemátic...It/...Múltipl escolh Mtemátic...Fgv/...Anlític Mtemátic...It/...Anlític Mtemátic...Uel/...Múltipl escolh Mtemátic...Ufpb/...Verddeiro/Flso Mtemátic...Uff/...Múltipl escolh mtemátic...ufsc/...somtóri mtemátic...uepg/...somtóri mtemátic...fgv/...anlític Mtemátic...Ibmecrj/...Múltipl escolh Mtemátic...Unicmp/...Anlític Mtemátic...Ufsc/...Somtóri Mtemátic...Ufpr/...Múltipl escolh Mtemátic...Fgv/9...Múltipl escolh Mtemátic...Ibmecrj/9...Múltipl escolh Mtemátic...Ufc/9...Múltipl escolh mtemátic...ufsc/9...anlític Págin 5 de 5