Estudo dos Logaritmos

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1 Instituto Municipl de Ensino Superior de Ctnduv SP Curso de Licencitur em Mtemátic 3º no Prátic de Ensino d Mtemátic III Prof. M.Sc. Fbricio Edurdo Ferreir fbricio@ffic.br Situção inicil Estudo dos Logritmos Améric Ltin, populção cresce um tx de 3% o no, proximdmente. Em quntos nos populção d Améric Ltin irá dobrr se tx de crescimento continur mesm? esss condições, podemos orgnizr o seguinte qudro: Tempo Populção início P 0 no P = P 0,03 nos P = (P 0,03),03 = P 0 (,03) 3 nos P 3 = P 0 (,03) 3 x nos P x = P 0 (,03) x Supondo que populção dobrrá pós x nos, temos: P x = P 0 Dí, temos: P 0 (,03) x = P 0 (,03) x = Surge então um questão: como determinr o expoente o qul,03 deve ser elevdo pr resultr em? Definição de ritmo Considere s seguintes questões prévis: ) Qul expoente devemos elevr pr obter 8? x = 8 x = 3 x = 3 b) Qul expoente devemos elevr 3 pr obter /8? 3 x = 8 3x = 3 4 3x = 3 4 x = 4 Ddos os números reis positivos e b, com, se b = c, então o expoente c chm-se ritmo de b n bse, ou sej, b = c b = c com e b positivos e. ess equivlênci, temos: Form rítmic c: ritmo b = c { : bse do ritmo b: ritmndo Form exponencil b: potênci c = b { : bse d potênci c: expoente Observções: ) Vej que, de cordo com s restrições imposts, não são definidos, por exemplo: 3 (-8) Experimente plicr definição nesses csos. ) Qundo bse do ritmo for 0, podemos omití-l. Assim, é o ritmo de n bse 0. Aos ritmos n bse 0 dmos o nome de ritmos decimis ou de Briggs.

2 Condições de existênci de ritmos Sbemos que existênci de um ritmo, como por exemplo, depende ds seguintes condições: i) deve ser um número positivo ( > 0) ii) bse deve ser um número positivo e diferente de ( > 0). > 0 existe qundo e somente qundo { > 0 e Exemplos: Determine os vlores reis de x pr os quis existe: ) (x 3) b) (x 7x + 0) 3 ) Como bse deve ser positiv, temos que: x 3 > 0 x > 3 S = {x R x > 3} b) Anlisndo o sinl d bse, temos que: x 7x + 0 > 0 (x )(x 5) > 0 S = {x R x < ou x > 5} Consequêncis d definição de ritmo º) = 0, pois 0 =, qulquer que sej > 0 e. º) =, pois = pr todo > 0 e. 3º) n = n, pois n = n pr todo > 0 e e pr todo n. 4º) =, como > 0, > 0 e =. 5º) x = y x = y, com x > 0, y > 0, > 0 e. Usndo tábu de ritmos decimis Principis proprieddes d função rítmic Lembremos s principis proprieddes d função rítmic de bse 0: I. 0 x x 0 III. II x x 0 Crcterístic e Mntisss Qulquer que sej o número rel positivo x que consideremos, estrá necessrimente compreendido entre dus potêncis de 0 com expoentes inteiros consecutivos. Exemplos: ) x 0,04 0 x 0 b) c) d) 0 x 0,35 0 x 0 0 x 3,7 0 x 0 x 45,7 0 x 0 3 e) x x 0. Assim, ddo x > 0, existe sempre um número c inteiro tl que: c c c c 0 x 0 0 x 0 c x c Podemos firmr que: x c m em que c Z e 0 m isto é, o ritmo deciml de x é som de um número inteiro c com um número deciml m não negtivo e menor que. O número inteiro c é por definição crcterístic do ritmo de x e o número deciml m ( 0 m ) é por definição mntiss do ritmo deciml de x.

3 Regr d Crcterístic 3 A crcterístic do ritmo deciml de um número x rel positivo será clculd por um ds dus regrs seguintes. ª) Se x > A crcterístic do ritmo deciml de um número x > é igul o número de lgrismos de su prte inteir menos. Exemplos: ritmo,3 c = 0 3,4 c = 04 c = 654,3 c = 3 crcterístic ª) Se 0 < x < A crcterístic do ritmo deciml de um número 0 < x < é o oposto d quntidde de zeros que precedem o primeiro lgrismo significtivo. Exemplos: Mntiss ritmo 0, c = 0,035 c = 0,00405 c = 3 0,00053 c = 4 crcterístic A mntiss é obtid ns tábus (tbels) de ritmos. Em gerl, mntiss é um número irrcionl e por esse motivo s tábus de ritmos são tbels que fornecem os vlores proximdos dos ritmos de números inteiros, gerlmente entre Ao procurrmos mntiss de um ritmo deciml de x, devemos lembrr seguinte propriedde Propriedde d Mntiss A mntiss do ritmo deciml de x não se lter se multiplicrmos x por um potênci de 0 com expoente inteiro. Um conseqüênci importnte dess propriedde é: Os ritmos de dois números cujs representções decimis diferem pens pel posição d vírgul têm mntisss iguis. Dest form os ritmos dos números, 00, 000, 0,, 0,00 tem todos mesm mntiss 0,300, ms s crcterístics são respectivmente 0,, 3, e 3. Aplicções d tbel de ritmos decimis ª) Clculr 3,4. A crcterístic do ritmo é e mntiss é 0,3696, que é mesm do número 34. Temos então: 3,4 0,3696,3696 ª) Clculr 0,04. A crcterístic do ritmo é e mntiss é 0,6349, que é mesm do número 40. Temos então: 0,04 0,6349,37675 (form negtiv) Entretnto, é usul escrevermos + 0,6349 sob form, 6349 (form mist ou preprd), em que figur explicitmente mntiss do ritmo e crcterístic fic substituíd pel notção. 3ª) Clculr nti, Com mntiss 0,79585 encontrmos n tábu o número 64, ms como crcterístic do ritmo é, então ele possui dus ordens inteirs (devemos somr nos ntiritmos positivos). Então temos: 6,4,79585

4 4 4ª) Clculr nti,376. Antes de tudo devemos trnsformr o ritmo n form negtiv pr form mist ou preprd, pois n tábu mntiss é sempre positiv. Ess trnsformção é obtid subtrindo de su prte inteir e dicionndo à su prte deciml, o que evidentemente não lter o número negtivo. Assim temos:,376 0,376 0,376 0,68389,68389 x,376,68389 Com mntiss 0,68389 encontrmos n tábu o número 45, ms como crcterístic do ritmo é, temos dois zeros ntes do primeiro lgrismo significtivo: 0,045,68389 Interpolção Liner Hverão csos em que o vlor desejdo de um ritmo não se encontr n tábu de ritmos utilizd. estes csos utilizremos um processo chmdo de interpolção liner. É notável lembrr que função rítmic não é liner ms tl procedimento nos result num bo proximção. ª) Clculr 34,3. um tbel de encontrremos os vlores pr 34 =, e 35 =,4983. Representndo crtesinmente como um função liner temos o seguinte esboço: x y = x x = 34 y = 34 =, x = 34,3 y = 34,3 =? x3 = 35 y3 = 35 =,4983 Pr determinrmos o vlor de y, consideremos os triângulos AEB e AFD. Como eles são semelhntes, temos: DF BE AF AE d 0,0038 0,3 d 0, Portnto 34,3 34 d, ,000443, ª) Clculr nti 3, A mntiss 0,49504 não prece num tbel de , porém está compreendid entre s mntisss 0,47973 e 0,5040. Representndo crtesinmente como um função liner temos o seguinte esboço: x y = x x = 770 y = 770 = 3,47973 x =? y = x = 3,49504 x3 = 780 y3 = 780 = 3,5040

5 5 Pr determinrmos o vlor de x, consideremos os triângulos AFD e AEB. Como eles são semelhntes, temos: AF AE DF BE d 0 0,0053 0,00447 d 0,053 0, ,56640 Portnto x 770 d 770 6, , Coritmo Denomin-se coritmo de um número ( > 0) num bse ( > 0 e 0) o oposto do ritmo do número n bse ou o ritmo do inverso de n bse. co = ou co = Exercícios. Usndo s fmilires leis dos expoentes, demonstre s seguintes proprieddes úteis dos ritmos: ) mn m n b) m / n m n r c) m r m s d) m m s /. Mostre que: ) b b b) b b c) b b / (Mudnç de bse) 3. Determine s crcterístics, no sistem deciml, de: 7 0, e 0, Clcule, utilizndo tbel de mntisss: ) 30 c) 5,7 b) 5,4 d) 0,74 e) 0, Clcule, utilizndo tbel de mntisss: ) nti 3,8768 b) nti,8035 c) nti 0,975 d) nti, 545 e) nti 3, 6693 f) nti, 7

6 6. Clcule, utilizndo tbel de mntisss: ) nti,0899 b) nti 3,47 7. Observe o cálculo de 3. c) nti 0,4473 d) nti, Agor, clcule utilizndo tbel de mntisss do pêndice: 0,477,585 0,300 ) 3 b) 5 c) 5 3 d) 5 6 e) Em Químic, define-se o ph de um solução como ritmo deciml (bse 0) do inverso d respectiv concentrção de H3O + (íon hidroxônio). O cérebro humno contém um líquido cuj concentrção de H3O + é 4,8 0 8 mol/l (em médi). Qul será o ph desse líquido? OBSERVAÇÃO Existem clculdors com tecl ln, que permitem clculr os ritmos nturis dos números reis positivos. Os ritmos nturis tem bse e, ou sej, ln x = e x (ritmo nturl de x). O número e, bse dos ritmos nturis, é crcterizdo pelo fto de que seu ritmo nturl é igul, ou sej, ln e =. O número e é irrcionl. Um vlor dess importnte constnte é e =, Os ritmos nturis, de bse e, são muito importntes ns plicções. 9. Sbemos que o número de bctéris de um cultur, depois de um tempo t, é ddo por = 0 e rt, em que 0 é o número inicil (qundo t = 0) e r é tx de crescimento reltivo. Em qunto tempo o número de bctéris dobrrá se tx de crescimento contínuo é de 5% por minuto? 0. Em quntos nos 500 g de um substânci rdiotiv, que se desintegr um tx de 3% o no, se reduzirão 00 g? Use Q = Q 0 e rt, em que Q é mss d substânci, r é tx e t é o tempo em nos.. Améric Ltin, populção cresce um tx de 3% o no, proximdmente. Em quntos nos populção d Améric Ltin irá dobrr se tx de crescimento continur mesm?. (Fuvest SP) A intensidde I de um terremoto, medid n escl Richter, é um número que vri de I = 0 té I = 8,9 pr o mior terremoto conhecido. I é ddo pel fórmul: I = 3 0 n qul E é energi liberd no terremoto em quilowtt-hor e E 0 = kwh. ) Qul é energi liberd num terremoto de intensidde 8 n escl Richter? b) Aumentndo de um unidde intensidde do terremoto, por qunto fic multiplicd energi liberd? E E 0