Linhas 1 2 Colunas 1 2. (*) Linhas 1 2 (**) Colunas 2 1.

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1 Resumos ds uls teórics Cp Cpítulo 5 Determinntes Definição Consideremos mtriz do tipo x A Formemos todos os produtos de pres de elementos de A, tis que em nenhum deles se repitm fctores pertencentes à mesm linh ou à mesm colun Obtemos os dois produtos: e No primeiro produto temos seguinte ssocição entre linhs e coluns: Linhs Coluns (*) No segundo produto temos: Linhs (**) Coluns Designemos por permutção no conjunto {,,, n} tod função biunívoc que plic o conjunto {,,, n} sobre si mesmo ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

2 Resumos ds uls teórics Cp Exemplo A função p : {,,, } {,,, } tl que p() =, p() =, p() =, p() =, é um permutção no conjunto {,,, } Podemos representr est trnsformção por p Chmemos inversão no conjunto {,,, n}, cd permutção que troc pens dois elementos contíguos do conjunto Exemplo A permutção g, é um inversão no conjunto {,,, } Um permutção diz-se pr (ímpr) se é obtid por meio de um número pr (ímpr) de inversões Nos csos (*) e (**) d págin nterior, podemos considerr s permutções que correspondem às trnsformções biunívocs do conjunto {,} ds linhs d mtriz, no conjunto {,} ds sus coluns: permutção correspondente os produtos (*) é pr; permutção correspondente os produtos (**) é ímpr; ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

3 Resumos ds uls teórics Cp Somemos gor os produtos obtidos, ntecedendo os que correspondem às permutções ímpres do sinl - O resultdo obtido diz-se determinnte d mtriz A, e escreve-se det (A) ou A : det (A) = - Exemplo 6 A A 6 ( ) Consideremos gor um mtriz do tipo x : A Formemos todos os produtos de três elementos de A, tis que em nenhum deles se repitm fctores pertencentes à mesm linh ou à mesm colun Obtemos os seis produtos seguintes: Linhs Coluns pr ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

4 Resumos ds uls teórics Cp Linhs Coluns ímpr Linhs Coluns ímpr Linhs Coluns pr Linhs Coluns ímpr Linhs Coluns pr ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

5 Resumos ds uls teórics Cp Somndo estes produtos, depois de fectr com sinl - os que correspondem permutções ímpres, obtemos o determinnte d mtriz A: det (A) = = ( - ) - ( - - ) + ( - ) = Observ-se o seguinte: - o determinnte que multiplic, é o determinnte d mtriz que se obtém de A, eliminndo dest linh e colun ; este determinnte diz-se menor do elemento : O menor de é ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

6 Resumos ds uls teórics Cp O menor de é - o produto (-) i+j menor ssocido cd elemento ij d mtriz, diz-se cofctor desse elemento e escreve-se cof ( ij ) Obtém-se o resultdo seguinte pr o cálculo do determinnte de um mtriz do tipo n x n Teorem (de Lplce) Sej A um mtriz do tipo n x n Sej r o número de um linh qulquer de A e s o número de um colun qulquer de A Então det( A) n ricof ( ri ) iscof ( is ) i n i O segundo membro diz-se expnsão do det (A) por menores de elementos d r-ésim linh de AO terceiro membro diz-se expnsão do det (A) por menores de elementos d s-ésim colun de A Exemplo Clculr det (A) usndo, Elementos d º linh de A b Elementos d º linh de A c Elementos d ª colun de A ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

7 Resumos ds uls teórics Cp A 5 6 Solução det(a) ( ) (6 ) (5 ) (5 6) 5 b det(a) (6 ( )5) 5 c 5 6 det(a) 5 6 (5 6) ( )( ( )) (6 ( )5) 5 ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

8 Resumos ds uls teórics Cp Proprieddes dos Determinntes Ns proprieddes bixo enuncids, A é um mtriz do tipo n x n det (A) = det (A T ) (verifique este resultdo pr o cso de um mtriz do tipo x ) Sej B mtriz que se obtém de A trocndo dus fils do mesmo tipo (linhs ou coluns) Temos det(b) = - det (A) Se dus fils de A são iguis, então det (A) = Se um fil d mtriz A é multiplicd por um esclr r, então o determinnte d mtriz resultnte é rdet (A) 5 Sejm F i e F j dus fils de A (mbs linhs ou mbs coluns) e r um esclr A substituição Fi Fi rf j não lter o vlor do determinnte 6 O determinnte de um mtriz tringulr é igul o produto dos elementos d digonl principl Prov (esboço) (o que se segue não são demonstrções rigoross, ms pens rgumentos que sugerem vercidde ds proprieddes enuncids) Sej mtriz ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

9 Resumos ds uls teórics Cp A Troquemos s linhs e : B No cálculo dos determinntes dests mtrizes, o termo (permutção pr) de det (A), corresponde o termo =, (permutção ímpr) de det (B) Est troc de pridde, que corresponde um troc de sinl, verific-se pr todos os termos de det (B) Sejm s seguintes dus linhs iguis de um mtriz qudrd: Cd termo do determinnte tem um elemento de cd um dests linhs, em coluns diferentes Sej, por exemplo, o termo com o fctor : ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

10 Resumos ds uls teórics Cp Esse termo tem um pridde diferente do termo que envolve o fctor : Temos = - 5 Isto é, pr cd termo n expressão do determinnte existe outro de igul módulo e sinl (pridde) contrário, que o nul Cd termo do determinnte de um mtriz tem um e um só elemento de cd fil (colun ou linh) Então, multiplicndo por r um dd linh ou colun d mtriz, estmos multiplicr por r cd termo do determinnte, e portnto estmos multiplicr por r o próprio determinnte A nov linh L i d mtriz fic: r r r i j i j in jn Designemos por B mtriz resultnte Podemos desenvolver o determinnte de B usndo os menores ssocidos os elementos d nov linh L i : ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

11 Resumos ds uls teórics Cp det (B) ( r )cof( ) ( r )cof( ) ( r )cof( ) i j i i j i in jn in cof( ) cof( ) cof( ) i i i i in in r jcof( i) jcof( i) jncof( in) A primeir prcel do segundo membro, corresponde det(a) A segund prcel corresponde o determinnte de um mtriz com dus linhs iguis, L i e L j Pel propriedde est segund expressão é igul zero 6 Consideremos mtriz tringulr superior A n n nn Temos: det( A) n n nn nn nn ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

12 Resumos ds uls teórics Cp Um Processo Mis Expedito Pr Clculr um Determinnte O processo de cálculo de um determinnte trás presentdo (teorem de Lplce), tem lgum importânci teóric (no cálculo com funções de váris vriáveis, ou no cálculo de um produto externo de que flremos mis dinte - por exemplo), ms é demsidmente moroso qundo s mtrizes têm um número de fils grnde As proprieddes,, 5 e 6, sugerem o seguinte método, mis expedito pr relizr este cálculo Cálculo do Determinnte de um Mtriz A do tipo n x n Reduzir mtriz à form tringulr utilizndo operções elementres sobre linhs ou sobre coluns, e tendendo o seguinte: - n troc de dus fils, multiplicr por - mtriz resultnte; - n multiplicção de um fil por um esclr r, multiplicr por /r mtriz resultnte Obtém-se um expressão ch, em que c é um expressão rel e H um mtriz tringulr det (A) = cdet (H) Exemplo Clculr o determinnte seguinte ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

13 Resumos ds uls teórics Cp ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes Solução = = = = = = 8 = 8 ) ( = L L L L L L L L L 8 L L L L L L L L L

14 Resumos ds uls teórics Cp = ( ) = - 68 Exercício Utilize o lgoritmo pr o cálculo de um determinnte trás presentdo, pr demonstrr o resultdo seguinte: Um mtriz qudrd A é invertível se e somente se deta Algums Aplicções dos Determinntes A Resolução de Sistems de Equções Lineres Pelo Método de Crmer Teorem (regr de Crmer) Consideremos o sistem liner Ax = b, em que A = ( ij ) é um mtriz do tipo n x n, invertível, e x x x n, b b b n O sistem tem um únic solução, dd por x k det (B k), det (A) k,,n, ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

15 Resumos ds uls teórics Cp sendo B k mtriz obtid de A, substituindo colun k de A pelo vector b Exemplo Utilizr regr de Crmer pr resolver o sistem 5x x x x x x x x Solução Temos 5 det( A) 5 det( B ) det( B ) 5 det( B ) Então x x x ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

16 Resumos ds uls teórics Cp B Mtriz Adjunt Definição Considere-se mtriz A = ( ij ), do tipo n x n Sej B = (b ij ) mtriz cujos elementos são os cofctores dos elementos de A, ie, b ij = cof( ij ) A mtriz B T design-se por mtriz djunt de A, e escreve-se dj (A) Exemplo Determinr djunt d mtriz A = 5 Solução Sej b ij o cofctor de ij Temos b b b 5 b Mtriz dos cofctores de A B 5 ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

17 Resumos ds uls teórics Cp Mtriz djunt de A T 5 dj (A) B Teorem Consideremos mtriz A = ( ij ), do tipo n x n, tl que A Então A é invertível e A det A dj A det Exercício Solução Determine, se existir, invers d mtriz A do exemplo nterior A mtriz invers de A existe se for det A det A 5 5 A mtriz é invertível Usndo mtriz djunt clculd no exercício nterior, Temos ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes

18 Resumos ds uls teórics Cp ESTiG/IPB Deprtmento de Mtemátic Mário Abrntes dj(a) A det A Verificção do resultdo 5 5 AA