Gabarito - Matemática Grupo G

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1 1 QUESTÃO: (1,0 ponto) Avlidor Revisor Um resturnte cobr, no lmoço, té s 16 h, o preço fixo de R$ 1,00 por pesso. Após s 16h, esse vlor ci pr R$ 1,00. Em determindo di, 0 pessos lmoçrm no resturnte, sendo x o número de pessos que lmoçrm té s 16 h. Sbendo que o custo de um lmoço é R$ 8,00 por pesso e o lucro obtido pelo resturnte nquele di foi mior que R$ 0,00 e menor que R$ 300,00, determine o menor e o mior vlores possíveis de x. Sendo x o n o de pessos que lmoçrm té s 16:00 hors, tem-se que o lucro L em função de x é ddo pel seguinte expressão: L = Receit Custo Custo = 0.8 Receit = 1x + 1.(0 x) L = L(x) = x Logo: 0 < x < < 3x < < x < Assim, o menor vlor possível pr x é 17 e o mior vlor possível pr x é 33.

2 QUESTÃO: (1,0 ponto) Avlidor Revisor Quinze (1) pessos, sendo homens de lturs diferentes e 10 mulheres tmbém de lturs diferentes, devem ser disposts em fil, obedecendo o critério: homens em ordem crescente de ltur e mulheres em ordem decrescente de ltur. De quntos modos diferentes esss 1 pessos podem ser disposts nest fil? Ordenmos os homens em lugres dos 1 e s 10 mulheres ocuprão os 10 lugres restntes. Pr isto, bst considerrmos s possibiliddes de que os homens estejm n fil. Tem-se: 1! ! C = = = !(1 )! ! 3

3 3 QUESTÃO: (1, ponto) Avlidor Revisor (i) Determine o conjunto-solução, em R, de cd equção dd seguir: log x = log x (ii) x = x (iii) ( x ) =x (iv) ( x +1 ) x+1 =1 (i) (ii) R * + R (iii) R+ (iv) {-1,0} 4

4 4 QUESTÃO: (1, ponto) Avlidor Revisor Um dos problems mis ntigos d históri d Mtemátic encontr-se enuncido no célebre Ppiro de Rhind (~ de C.) que é trnscrito seguir, convenientemente dptdo: Entre cinco pessos form reprtids cem medids de trigo, de tl modo que segund recebeu, mis do que primeir, tnto qunto terceir recebeu mis do que segund; d mesm form, qurt recebeu mis do que terceir tnto qunto terceir recebeu mis do que segund; ssim como, quint recebeu mis do que qurt tnto qunto qurt recebeu mis do que terceir. Além disso, som ds quntiddes que s três últims receberm é igul sete vezes som ds quntiddes que s dus primeirs receberm. Qunto qurt pesso recebeu? Sej x quntidde que primeir pesso recebeu e r quntidde que segund pesso recebeu mis do que primeir. Assim, 1 pesso x pesso x + r 3 pesso x+ r 4 pesso x+ 3r pesso x+ 4r Logo, pelos ddos do problem, temos s seguintes equções: x + ( x+ r) + ( x + ) r + ( x + 3) r + ( x + 4) r = 100 ( x + ) r + ( x + 3) r + ( x + 4) r = 7( x + x + r) x r 0 (1) x 10r = + = 11x 3x + 9r = 14x + 7r 11x = r r = () Substituindo () em (1), obtemos: 11x 0 11 x +. = 0 1x = 0 x = = r =. = Assim, à qurt pesso coube x + 3r = + 3. = medids de trigo

5 QUESTÃO: (1, ponto) Avlidor Revisor Um prte do esboço do gráfico de um função polinomil f é dd n figur: y 4,,0 0 1 x Sbe-se que função f possui somente três rízes: riz x = e outrs dus que são reis e simétrics. Determine: ) expressão polinomil que define f. b) o(s) intervlo(s) em que f é positiv. ) A expressão de f é dd por: f(x)=(x-)(x-b)(x+b). Usndo s informções do gráfico, obtemos s seguintes equções: 9 9 = f = b b = b = b i 4 = = + = (0) (-)(- )( ) () f(1) (-1)(1- b)(1 b) -(1- b ) ( ii) Substitutindo (ii) em (i), obtemos: = = -= Substituindo este vlor em (i), obtemos: = b b=9 b=3 4 4 ou b=-3. Logo, f(x)= 1 (x-)(x-3)(x+3) 4 b) Construímos o qudro de sinis d função f:. 3 3 x x Logo, f é positiv em ] 3,[ ]3, + [ x f

6 6 QUESTÃO: (1, ponto) Avlidor Revisor N figur seguir estão representds s rets r e s, perpendiculres entre si: Determine equção d prábol que pss pelos pontos A, M e B. Note que equção d ret r é dd por Como ret s é perpendiculr à ret r, temos 1 0 = ( ) + p p = 1. Assim, equção d ret r é dd por 4 y = x+ 4, isto é y = x ms = =. Por outro ldo, (-,0) s. Logo, m 1 y = x + 1. Pr encontrr o ponto M, resolve-se o seguinte sistem: y + x = x = 3 x = y = M =, y x 1 = A equção de um prábol que pss pelos pontos A e B é dd por y = (x+)(x-). Como o que se pede é equção d prábol que pss tmbém por M, temos: = + = = 64 8 Logo, equção d prábol pedid é y = ( x + )( x ) 8. r 7

7 7 QUESTÃO: (1,0 ponto) Avlidor Revisor Um mostr, de um determindo minério, de mss M 1 contém 7% de ferro. Um outr mostr de mss M contém 8% de ferro. Sbendo que M 1 = 0,4 M, determine o percentul de ferro contido n mistur ds dus mostrs. Quntidde de ferro contid n primeir mostr: 0,7 M 1. Quntidde de ferro contid n outr mostr: 0,8 M. Quntidde de ferro contid n mistur: 0,7 M 1 + 0,8 M = (0,7)(0,4) M + 0,8 M = 0,868 M. Percentul de ferro contido n mistur 0,868 M 0,868M = = 0,6 M + M 1,4M 1 Logo, há 6% de ferro contido n mostr.. 8

8 8 QUESTÃO: (1,0 ponto) Avlidor Revisor Sejm f e g funções reis de um vriável rel dds por 3x+4, se x 1 f(x)= x+, se x<1 Pede-se: ) g [f()] b) f -1 [g(0)] e g(x)= x-, se x 3 x +1, se x>3 ) f() = 3.+4 = 10 g[f()] = g(10) = = 101. b) g(0) =.0 = - f - 1 [g(0)] = f - 1 (-). Assim, queremos encontrr x tl que f(x) = -. Temos, 3x + 4= 3x = 9 x = 3 (no serve) 7 x + = x = 7 x = < 1 Logo, ( ) f = 1 7 9

9 ESPAÇO RESERVADO PARA RASCUNHO Gbrito - Mtemátic Grupo G 30

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