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1 FUNC ~ OES REAIS DE VARI AVEL REAL Clculo Integrl AMI ESTSetubl-DMAT 15 de Dezembro de 2012 AMI (ESTSetubl-DMAT) LIC ~AO de Dezembro de / 14

2 Integrl de Riemnn Denic~o: Sej [, b] um intervlo com b >. 1 Um prtic~o 1 de [, b] e um conjunto de pontos P = fx 0, x 1,..., x n g tl que = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b. 2 A norm d prtic~o P = fx 0, x 1,..., x n g e o numero (que e sempre mior ou igul zero), kpk = mx xj 1jn x j 1. 3 Um renmento d prtic~o P = fx 0, x 1,..., x n g e um prtic~o Q de [, b] tl que P Q. Nest situc~o diz-se que Q e mis n do que P. Exemplo: Sejm I = [0, 1], P = f0, 0.1, 0.3, 0.5, 1g e Q = P [ f0.7g. P e Q s~o dus prtic~oes de I tis que kpk = 0.5 e kqk = 0.3. Q e um renmento d prtic~o P pois P Q. Nturlmente Q e mis n do que P. 1 ou decomposic~o de vertices P. AMI (ESTSetubl-DMAT) LIC ~AO de Dezembro de / 14

3 Integrl de Riemnn Denic~o: Sej [, b] um intervlo fechdo e limitdo, P = fx 0, x 1,..., x n g um prtic~o de [, b] e f : [, b]! R um func~o limitd. Chm-se som de Riemnn de f reltivmente prtic~o P o numero S (f, P) = n j=1 f (t j ) (x j x j 1 ), em que t j 2 [x j 1, x j ], com 1 j n. Exemplo: Clculemos um som de Riemnn de f (x) = p x em [0, 2] reltivmente prtic~o P = f0, 1, 2g utilizndo regr do ponto medio: S p x, P q = 1 i 3 =0 i Grcmente: y x Interpretc~o geometric: Vlor proximdo d re limitd superiormente pelo grco d func~o e o eixo dos xx no intervlo [0, 2]. AMI (ESTSetubl-DMAT) LIC ~AO de Dezembro de / 14

4 Exerccio 1 Considere func~o rel de vrivel rel denid por f (x) = p x. ) Represente, interprete geometricmente e clcule um som de Riemnn d func~o f em [0, 2] considerndo s seguintes prtic~oes: i) P = f0, 1, 2g; Res.: Respost no exemplo nterior. ii) Q = P [ f0.5, 0.75, 1.75g. Res.: A nov prtic~o e Q = f0, 0.5, 0.75, 1, 1.75, 2g. Utilizndo regr do ponto medio nov som de Riemnn ser S p x, Q = q q q q q A representc~o geometric c o cuiddo do estudnte. b) Comente os resultdos nteriores. Res.: A medid que o renmento d prtic~o ument o vlor d re clculd e mis proximdo do seu verddeiro vlor que e proximdmente AMI (ESTSetubl-DMAT) LIC ~AO de Dezembro de / 14

5 Integrl de Riemnn Denic~o (Converg^enci de um som de Riemnn): Sej f : [, b]! R um func~o limitd. Diz-se que som de Riemnn de f converge pr o numero I (f ) qundo kpk! 0 se pr todo δ > 0 existe um prtic~o P δ de [, b] tl que n P δ P ) f (t j ) (x j x j 1 ) I (f ) < δ j=1 pr tods s prtic~oes P = fx 0, x 1,..., x n g de [, b] e escolhs de t j 2 [x j 1, x j ], 1 j n. Nests circunst^ncis escreve-se I (f ) = n lim kpk!0 j=1 f (t j ) (x j x j 1 ). Exemplo: Sej func~o f (x) = x 2 e o intervlo [0, 1]. Mostre que 2 I (f ) = lim kpk!0 n j=1 f (t j ) (x j x j 1 ) = lim n!+ 2n j 1 j=1 2 n 2 = n 1 3. Note que n j=1 j 2 = (n+1)n(2n+1) 6. AMI (ESTSetubl-DMAT) LIC ~AO de Dezembro de / 14

6 Integrl de Riemnn Denic~o: Sej [, b] um intervlo com b >. Diz-se que f : [, b]! R e integrvel Riemnn em [, b] se f e limitd em [, b] e se o limite I (f ) = n lim kpk!0 j=1 existe. Nests circunst^ncis escreve-se I (f ) = f (t j ) (x j x j 1 ), f (x) dx, e diz-se que R b f (x) dx e o integrl denido de f entre e b. Exemplo: Sej func~o f (x) = x 2 e o intervlo [0, 1]. Clcule R 1 f 0 (x) dx. OBS.: O integrl de Riemnn de um func~o positiv entre e b pode interpretr-se geometricmente como re d regi~o do plno limitd superiormente pelo grco de f, inferiormente pelo eixo dos xx e lterlmente pels rects x = e x = b. AMI (ESTSetubl-DMAT) LIC ~AO de Dezembro de / 14

7 Integrl de Riemnn Teorem: As func~oes constntes f (x) = k, s~o integrveis Riemnn em intervlos fechdos e limitdos [, b] e R b f (x) dx = k (b ). Teorem: As func~oes contnus em intervlos fechdos e limitdos [, b], s~o integrveis Riemnn. Teorem: Sejm f e g integrveis em [, b] e α 2 R, ent~o f + g e αf s~o integrveis em [, b] e e (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx (αf (x)) dx = α f (x) dx. Exemplo: Clcule R 1 0 x 2 + 4x 3 dx. AMI (ESTSetubl-DMAT) LIC ~AO de Dezembro de / 14

8 Integrl de Riemnn Teorem: Sejm f e g integrveis em [, b] e f (x) g (x) pr todo x 2 [, b], ent~o f (x) dx Em prticulr se m f (x) M, g (x) dx. m (b ) f (x) dx M (b ). Teorem: Sej f integrvel em [, b], ent~o jf j e integrvel em [, b],e f (x) dx jf (x)j dx. Exemplo: Mostre que 1 e R 1 0 e x2 dx 1. AMI (ESTSetubl-DMAT) LIC ~AO de Dezembro de / 14

9 Integrl de Riemnn Teorem: Se f e integrvel em [, b] ent~o R c f c (x) dx = 0 pr todo o c 2 [, b]. Teorem: Se f e integrvel em [, b] ent~o f e integrvel em todo o subintervlo [c, d] de [, b] e pr todo o c 2 [, b]. f (x) dx = Z c f (x) dx + f (x) dx, c Teorem: Sej f integrvel em [, b], ent~o Z b f (x) dx = f (x) dx. Exemplo: Clcule R 2 0 f (x) dx com f (x) = x 2 se x < 1 1 se x 1. AMI (ESTSetubl-DMAT) LIC ~AO de Dezembro de / 14

10 Exerccio 2 Sem clculr o integrl, mostre que 0 Res.: Em primeiro lugr observemos que 0 ln x, 8x 2 [1, 5] ) 0 desigulddes. Z 5 1 Z 5 1 ln xdx 4 ln 5. ln xdx, o que demonstr primeir ds AMI (ESTSetubl-DMAT) LIC ~AO de Dezembro de / 14

11 Exerccio 2 Res.(cont.): Reltivmente segund desiguldde consideremos seguinte gur que represent re (sombred mrelo) de vlor Z 5 ln xdx inscrit num rect^ngulo. Conclumos imeditmente que 1 Z 5 1 ln xdx (5 desiguldde. 1) ln 5 = 4 ln 5, o que demonstr segund y x AMI (ESTSetubl-DMAT) LIC ~AO de Dezembro de / 14

12 Integrl de Riemnn Teorem: Sej f e contnu em [, b], ent~o existe um numero c 2 [, b] tl que f (x) dx = f (c) (b ). Denic~o: Sej f um func~o integrvel em [, b], ent~o o vlor medio de f no intervlo ddo e R b f (x) dx. (b ) AMI (ESTSetubl-DMAT) LIC ~AO de Dezembro de / 14

13 Exerccio 3 Considere o seguinte integrl Z 2 0 (2x + 5)dx. ) Esboce um regi~o cuj re sej dd pelo integrl e clcule o seu vlor. Res.: O integrl represent re (sombred mrelo) do trpezio limitdo superiormente pelo grco d func~o y = 2x + 5 e inferiormente pelo eixo dos xx n regi~o do intervlo [0, 2] : y y=2x+5 5 O vlor do integrl ser: Z 2 (2x + 5)dx = = 14. AMI (ESTSetubl-DMAT) 0 LIC ~AO de Dezembro de / 14 x

14 Exerccio 3b Considere o seguinte integrl Z 2 0 (2x + 5)dx. b) Determine, se possvel, o ponto do intervlo de integrc~o onde func~o tinge o seu vlor medio. Res.: Pelo Teorem do vlor medio sbemos que Z 2 0 (2x + 5)dx = f (c) (2 0) ) 14 = (2c + 5) (2 0) ) c = 1. O ponto em que func~o integrnd tinge o seu vlor medio e c = 1. AMI (ESTSetubl-DMAT) LIC ~AO de Dezembro de / 14

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