b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp

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1 8.1 Áres Plns Suponh que cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região D é denotd por A(D) e clculd com uxilio d fórmul: A(D) = f(x)dx: 8.1A Clcule áre de um círculo de rio R e d elipse x2 2 + y2 b 2 = 1: (resp. R2 e b) 8.1B Clcule áre d região delimitd pelo eixo x, pels rets x = B; B > 0; e pelo grá co d função y = x 2 exp x 3 2. Est áre tem um limite com B! 1? (resp e B3 ; áre limite 2=3) 8.1C Considere B > 2 e clcule áre sob curv y = h x (ln x) 2i 1, entre s rets x = 2 e x = B. Est áre tem um limite com B! 1? (resp. 1= ln 2 1= ln B); áre limite 1= ln 2) 8.2 Comprimento de Curvs Form Crtesin. Considere um curv no plno xy, que é representd pelo grá co de um função y = f (x) ; x b, contínu com derivd primeir tmbém contínu no intervlo [; b] (um tl função é dit ser de clsse C 1 ). O comprimento L() d curv é clculdo pel integrl: L() = q 1 + f 0 (x) 2 dx: 8.2A Clcule o comprimento de um circunferênci de rio R: (resp. 2R) 8.2B As curvs bixo são dds n form crtesin. Em cd cso clcule o comprimento do rco indicdo (resposts n págin 77)

2 64 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS () y = x 2 + 2x 1; 0 x 1 (b) y = e x ; 0 x 1 (c) y = 1 ln (sen x) ; 6 x 4 (d) y = x x ; 1 x 2 (e) y = x2 3=2 ; 0 x 3 (f) x = y y ; 1 y 3 (g) y = p x (1 x=3) ; 0 x 3 (h) 8x 2 = 27y 3 ; 1 x 8 (i) y = x 3=2 ; 1 x 3 (j) y + 1 4x + x3 3 = 0; 2 x 3 p (k) (y + 1) 2 = (x 4) 3 x 2 ; 5 x 8 (l) y = 2 3 x3=2 ; 0 x 1 FABRICANDO FOLHAS METÁLICAS Um fábric produz, prtir de folhs plns, folhs metálics ondulds como s mostrds n Figur 8.2 bixo. As seções trnsversis desss folhs têm o formto d curv y = sen (3x=20) ; 0 x 20 polegds e s folhs devem ser modulds por um processo que não estique o mteril. Qul deve ser lrgur L d folh originl? De cordo com fórmul do comprimento, deduzimos que folh originl deve medir L = Z 20 0 p cos 2 xdx; sendo = 3=20: O vlor numérico dess integrl será determindo usndo proximção: = 2 cos 2 x. Temos, portnto: Z 20 p Z 20 L = cos 2 xdx ' 0 = Z 20 0 cos 2 xdx = x cos 2 x dx = p 1 + ' , com sen 2x x=20 ' 21:09 polegds. 2 x=0

3 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL 65 Um vlor mis preciso poderi ser obtido com proximção: p 1 + ' : Form Prmétric. Nesse cso curv é descrit por um pr de equções: x = x (t) ; y = y (t) ; t b, onde s funções x (t) e y (t) são de clsse C 1 no intervlo [; b] : O comprimento L() d curv é clculdo, gor, pel integrl: L() = s dx 2 + dt dy 2 dt: dt 8.2C Considere um circunferênci de rio R n form prmetrizd e clcule seu comprimento utilizndo fórmul cim. (resp. 2R) 8.2D PARAMETRIZANDO A ELIPSE Observndo gur o ldo, not-se que s coordends do ponto P (x; y) d elipse são: x = OC e y = DB. Se t represent o ângulo entre o eixo x e o eixo OA, obtenh seguinte prmetrizção pr elipse do Exercício 8.1A: x = cos(t); y = b sen(t); 0 t 2: 8.2E PARAMETRIZANDO A HIPÉRBOLE Observndo Figur B4, deduz que hipérbole x2 y 2 2 b 2 = 1 pode ser prmetrizd d seguinte form: x = sec(t); y = b tg(t); 0 t 2; onde t represent o ângulo entre o eixo x e o eixo OC. 8.2F Clcule o comprimento d hipociclóide de equção x 2=3 + y 2=3 = 2=3 : (resp. 6) 8.2G Clcule distânci percorrid por um prtícul entre os instntes t = 0 e t = 4, se su posição P (x; y) no instnte t vem dd por: x = 1 2 t2 e y = 1 3 (2t + 1)3=2 : (resp.12)

4 66 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 8.2H Em cd cso bixo, clcule o comprimento do rco indicdo: 8 8 < x = t 3 < x = e t cos t () (b) : y = t 2 ; 1 t 3 : y = e t sen t; 0 t < x = 2 (1 sen t) < x = t cos t (c) (d) : : y = 2 (1 cos t) ; 0 t 8 < x = cos 2t (e) : y = sen 2 t; 0 t y = t sen t; 0 t =4 8 < x = 1 2 () t2 + t : y = 1 2 t2 t; 0 t 1: 8.2I Considere curv n form prmétric descrit por: x = t 3 3t; y = t 3 5t 1; t 2 R: Determine ret tngente à curv no ponto correspondente t = 2. Em que pontos ret tngente é: () verticl e (b) horizontl? (resp. 9y 7x + 41 = 0; ret tngente será verticl nos pontos correspondentes t = 1 e horizontl nos pontos correspondebtes t = p 5=3) 8.3 Coordends Polres 8.3A Loclize no plno crtesino os seguintes pontos ddos em coordends polres e, em seguid, determine sus coordends crtesins: () (2; =4) (b) (2; 3=2) (c) (3; =6) (d) (1; =4) (e) (2; 5=6) (f) ( 1; =4) (g) ( 2; 7=6) (f) ( 3; 13=6) 8.3B Determine s coodends polres dos pontos cujs coordends crtesins são: () (1=2; 1=2) (b) (=2; =2) (c) ( p 2=2; p 2=2) (d) (3; 3 p 3) (e) ( 1; 1) (f) (1; p 3) (g) ( p 7; 3) (h) (0; 4) 8.3C Psse pr form polr r = f () s curvs bixo: () xy = 2 (b) x 2 + y 2 3y = 0 (c) 3x 2 + 5y 2 = 15 (d) x + 1 = 0 (e) x 2 y 2 = 1 (f) y 2 4x = 0: 8.3D Psse pr form crtesin F (x; y) = 0 e esboce o grá co de cd curv bixo:

5 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL 67 () r = 2 + sen 2 (b) r = sen 2 (c) r = cos (d) r = cos (e) r = 5 (f) r = cos (g) r = 3 sec (h) r = 1 + p 2 cos (i) r = 2 tn (j) r = (k) r 2 = cos (l) r = 1= (m) r = 4 1 cos (n) r = 2 sen (o) = 2 : 8.3E Sejm (r; ) e (; ') s coordends polres dos pontos P e Q, respectivmente. Use Lei dos co-senos e deduz que distânci entre P e Q pode ser clculd por: dist (P; Q) = p r r cos ( '): Use esse resultdo e deduz que em coordends polres (r; ) equção de um círculo de rio R e centro no ponto (; ') é r r cos ( ') = R 2 : 8.3F Considere curv de equção polr r = sen + cos ; =4 3=4. De dus mneirs identi que curv como um rco de circunferênci: primeiro psse equção pr coordends crtesins; depois use o exercício precedente. 8.3G Deduz que s equções = 0 ; r cos = e r sen = b representm rets e fç um esboço do grá co em cd cso. De form gerl, se N (; ') é o pé d perpendiculr trçd do pólo um ret que não pss pelo pólo, então equção dess ret é: r cos ( ') = ou r = = (A cos + B sen ) ; sendo A = cos ' e b = sen ': 8.3H Determine, cso exist, interseção entre os seguintes pres de curvs: () r = 2 e r = 4 cos (b) r = 1 + cos e r = 1=3 (1 cos ) (c) r 2 = 4 sen 2 e r = 2 p 2 cos (d) = =4 e r = 2 cos COMPRIMENTO E ÁREA (FORMA POLAR) As curvs em coordends polres qui considerds são descrits por um equção do tipo r = f (), sendo função f e su derivd primeir contínus e o ngulo vri no intervlo [ 1 ; 2 ], como sugere Figur 8.5 bixo. Represent-se por L o comprimento do rco entre 1 e 2 e por A (D) áre d região D correspondente. O comprimento L e áre A (D) são clculdos, respectivmente, pels fórmuls: L = Z 2 1 q f () 2 + f 0 () 2 d e A (D) = 1 2 Z 2 1 f () 2 d:

6 68 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 8.3I Clcule o comprimento ds seguintes curvs dds n form polr: () r = 3 cos ; 0 2 (b) r = 2 sec ; 0 3 (c) r = 1 cos ; 0 2 (d) r = =3; 0 2 (e) r = jsen j ; 0 2 (f) r = 3 cos 2 ( 2 ); 0 2 (g) r = 2 ; 0 2 (h) r = sen 3 ( 3 ); 0 2 (i) r = sen + cos ; J Clcule áre d região interior cd curv dd bixo: () r 2 = 2 cos 2 (b) r = (2 cos ) (c) r = 2 sen (d) r = (1 + cos 2) (e) r 2 = 1 cos (f) r 2 = 2 2 cos 2 (=2) 8.3K Em cd cso, esboce região e clcule su áre. () região interior o círculo r = e exterior à crdióide r = (1 cos ). (resp. A = 2 (2 =4)); 5 2 =4); (b) região delimitd pels curvs r = 2; = =4 e = =2: (resp. A = =2); (c) região interior à crdióide r = (1 + sen ) e exterior o círculo r = sen : (resp. A = (d) região comum os círculos r = 2 cos e r = 2 sen : (resp. A = 2 ( 1 + =2) ; (e) região interior à leminisct r 2 = 2 2 cos 2 e exterior o círculo r = : (resp. A = 2 3 (3p 3 ); (f) região interior o círculo r = 3 cos e exterior à crdióide r = (1 + cos ) : (resp. A = 2 ); (g) região delimitd pel rosáce de 4 pétls r = jsen 2j d Fig. 8.7b; (h) região interior o círculo r = cos e exterior à crdióide r = 1 + sen : (resp. A = 1 =4); (i) região interior o círculo r = sen e exterior à crdióide r = 1 cos : (resp. A = 1 =4). ALGUMAS CURVAS ESPECIAIS

7 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL 69 As curvs em coordends polres que precem com mis freqüênci são presentds bixo, com s respectivs equções. Acompnhe gur com os vlores de : 0; =6; =3; ; 3=2; e 2: Leminisct: r 2 = 2 cos 2 Rosáce de 4 pétls: r = jsen 2j Hipociclóide: x = cos 3 t; y = sen 3 t Espirl de Arquimedes: r = Limçon: r = + b sen ; < b Limçon: r = + b sen ; b <

8 70 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS Rosáce de 3 pétls: r = 2 sen 3 Limçon: r = cos Crdióide I: r = (1 + cos ) Crdióide II: r = (1 cos ) Crdióide III: r = (1 + sen ) Crdióide IV: r = (1 sen ) 8.4 Sólidos de Revolução EQUAÇÃO DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO Consideremos um curv no plno xy

9 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL 71 descrit pel relção F (x; y) = 0; qui denomind gertriz, e denotemos por S superfície obtid pel rotção d curv em torno do eixo x. É clro que cd ponto d curv irá descrever um circunferênci de centro no ponto C (x; 0; 0) e superfície S é crcterizd por CP! = CQ! ; onde P é um ponto genérico d superfície S e Q é o ponto de interseção d curv com o plno que pss por P, perpendiculrmente o eixo x (eixo de rotção), como sugere gur bixo. A equção crtesin de S é, portnto: F (x; p y 2 + z 2 ) = 0 No cso em que curv é descrit pel equção y = f (x) equção crtesin ssume form y 2 + z 2 = [f (x)] 2 8.5A Identi que gertriz e o eixo de rotção d superfície de revolução cuj equção é: () z = x 2 + y 2 (b) x = y 2 + z 2 (c) y 2 = x 2 + z 2 (d) x 2 + y 2 + z 2 = 2 (e) x 2 + y 2 = 1 (f) 4x 2 + 9y 2 z 2 = 36: VOLUME DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO MÉTODO DAS FATIAS Vmos estbelecer um fórmul pr o cálculo do volume do sólido gerdo pel rotção de um região D do plno xy em torno do eixo horizontl y = c. Observndo Figur 8.8 bixo, vemos que o volume in nitesiml dv, isto é, o volume d fti de lrgur dx, vem ddo por: dv = [f (x) c] 2 dx c 2 dx: O volume do sólido é, portnto: vol () = R 2 c 2 dx:

10 72 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS No cso em que o eixo de rotção é o eixo x; temos c = 0 e o volume do sólido é clculdo pel fórmul: vol () = f (x) 2 dx MÉTODO DAS CASCAS CILÍNDRICAS Aqui o sólido é gerdo pel rotção d região D em torno do eixo (ret verticl) x = c. O volume in nitesiml dv; nesse cso é: h dv = (x + c + dx) 2 (x + c) 2i f (x) = 2 (x + c) f (x) dx: e o volume de é som desses volumes in nitesimis, isto é: vol () = 2 (x + c) f (x) dx: 8.5B Em cd cso bixo, esboce região D delimitd pls curvs dds e em seguid clcule o volume do sólido gerdo pel rotção d região D em torno do eixo indicdo. () y = x 4 2x 2 ; y = 2x 2 ; x 0; eixo y (b) y = x 2 4x; y = 0; eixo x (c) y = p x; y = 0; x = 4; eixo x = 4 (d) x 2 + y 2 = 1; eixo x = 2 (e) y = p x; y = 0; x = 4; eixo y = 2 (f) y = x; y = 0; x = 2; eixo y (g) y = x 2 ; y = 4 x 2 ; eixo x (h) xy = 1; y = 0; x = 1 e x = 2; eixo x: 8.5C Um região D do plno xy é delimitd pelo triângulo de vértices (0; 0) ; (h; 0) e (h; r), sendo h e r números positivos. Clcule o volume do sólido resultnte d rotção d região D em torno do eixo x(resp. r 2 h=3). E se rotção fosse em torno do eixo y? (resp. 2rh 2 =3)

11 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL D Qul o volume do sólido obtido pel rotção em torno do eixo x d região do plno xy delimitd pel prábol y = x 2 ; pelo eixo x e pels rets y = 2x 1 e y = x + 2? (resp. 17=30) 8.5E Considere curv de equção y 2 = x 3 e s regiões R 1 e R 2 mostrds n Figur Determine o volume do sólido em cd situção seguir: () R 2 gir em torno do eixo x; (b)r 1 gir em torno do eixo y; (c) R 2 gir emtorno do eixo BC; (d) R 1 gir em torno do eixo AC. 8.5F Fz-se um orifício de rio r = 2 p 3 em um sólido esférico de rio R = 4, o eixo do orifício coincidindo com um diâmetro d esfer. Clcule o volume d porção retird do sólido. (resp. 224=3) 8.5G Clcule o volume de um tronco de cone circulr reto de ltur h, rio d bse inferior R e rio d bse superior r: (resp. ) 8.5H Clcule o volume de um clot determind em um esfer de rio r por um plno cuj distânci o centro d esfer é h, h < r: (resp. 2R 3 =3 + h 3 =3 r 2 h) 8.5I Clcule pelos dois métodos (Ftimento e Cscs Cilíndrics) o volume do sólido obtido por rotção em torno do eixo y d região delimitd pel curv y = 2x x 2 e o eixo x: 8.5J Ao girr em torno do eixo y um cert região do plno xy; obteve-se seguinte expressão pr o volume do sólido resultnte: V = 2 Identi que região e clcule o volume V: Z =4 0 (x cos x x sen x) dx:

12 74 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 8.5K A curv de A B é descrit por y = f(x); x b: Identi que o sólido de revolução cujo volume é: () (c) (e) Z b Z b f(x) 2 dx f(x) 2 dx (b) Z d c f 1 (y) 2 dy 1 2 e2 (b c) (d) 2f(x)dx (f) (be 2 d 2 ) Z b 2xf 1 (x)dx f(x) 2 dx: 8.5L Clcule o volume do sólido gerdo pel rotção d região delimitd pels rets y = 0; x = 2 e x = 2y; em torno d ret y = x (sug. use um rotção de eixos). 8.5M Clcule o volume do sólido obtido pel rotção em torno do eixo y do disco delimitdo pel circunferênci (x ) 2 + y 2 = b 2 ; 0 < b <. SÓLIDOS GERAIS O Método ds Ftis pode ser utilizdo no cálculo do volume de um sólido qulquer, qundo se conhece áre ds seções trnsversis perpendiculres o eixo x, por exemplo. De fto: suponhmos que um sólido é limitdo pelos plnos x = e x = b e que A (x) represent áre d seção trnversl no ponto x. O volume dv d fti compreendid entre x e x + dx é clculd por dv = A (x) dx, de modo que o volume do sólido ; que é "som"de todos esses volumes elementres, é clculdo por: vol () = Utilize ess fórmul nos exercícios 8.5M 8.5P. A (x) dx: 8.5N A bse de um sólido é o disco x 2 + y 2 2 e cd seção trnversl do sólido determind por plnos perpendiculres o eixo x é um qudrdo cujo ldo está sobre bse do sólido volume do sólido? Qul o 8.5O A bse de um sólido é região do plno xy limitd pelo eixo x e pel curv y = sen x; 0 x =2. Tod seção pln do sólido perpendiculr o eixo x é um triângulo equilátero com um dos ldos sobre bse do sólido. Clcule o volume do sólido.

13 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL P De um cilindro circulr reto de rio r cort-se um cunh por meio de um plno pssndo por um diâmetro d bse e formndo um ângulo de 45 o com o plno d bse. Clcule o volume d cunh. 8.5Q As seções trnsversis de um sólido por plnos perpendiculres o eixo x são círculos cujos diâmetros estão compreendidos entre s curvs y = x 2 e y = 8 x 2. Sbendo-se que o sólido se encontr entre os plnos perpendiculres o eixo x que pssm pelos pontos de interseção desss curvs, clcule seu volume. ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO Antes de deduzir um fórmul pr áre de um superfície de revolução, vmos clculr de mneir simples s áres de dus superfícies bstnte fmilir: o cilindro e o cone circulr reto. Pr o cilindro de rio R e ltur H, qundo cortdo e berto, su áre lterl é clculd como se ele fosse um retângulo de ltur H e bse 2R, como sugere Figur Pr o cone o procedimento é nálogo. Aqui usremos fórmul básic d áre do setor circulr: A(D) = 1 2Rs, sendo R o rio e s o comprimento do rco, como n gur o ldo. Um cone circulr reto de ltur H, gertriz de comprimento g e rio d bse R pós cortndo e berto se identi c com o setor circulr de rio g e comprimento do rco 2R, como n Figur 8.14 bixo.

14 76 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS Em um situção gerl, supõe-se que S sej obtid por rotção em torno do eixo x, do grá co de um função suve y = f (x) ; x b: Por função suve entende-se um função f que é contínu e tem primeir derivd contínu no intervlo [; b] : A áre in nitesiml ds é proximd pel áre do cilindro de rio f (x) e ltur ds; sendo ds o comprimento do rco sobre o grá co de f, como sugere Figur Temos que ds = 2f (x) ds q e, lembrndo que ds = 1 + f 0 (x) 2 dx, encontrmos por integrção seguinte fórmul pr o cálculo d áre de S : A (S) = 2f (x) ds = 2f (x) 8.5R Clcule áre de um esfer de rio R: (resp. 4R 2 ) q 1 + f 0 (x) 2 dx:

15 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL S Clcule áre d superfície gerd pel rotção d curv y = p x; 1 x 4; em torno h do eixo x: (resp. 4 3 (17=4) 3=2 (5=4) 3=2i ' 30:85) 8.5T Clcule áre do cone gerdo pel rotção do segmento de ret y = 3x + 2; 0 x 3, em torno do eixo x. (resp. 39 p 10) 8.5U A curv 8x = y 4 + 2=y 2 ; 1 y 2, gir em torno do eixo y. Clcule áre d superfície resultnte. (resp. 1179=256) 8.5V Clcule áre do prbolóide y = x 2 + z 2 ; 0 y 4. (resp. 4 3 h 17 4 i 3=2 1 8 ' 36:18)

16 78 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS RESPOSTAS & SUGESTÕES 8.2 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 8.2B () p p ln (2 + p 5)( p 17 4) : " (b) p 1 + e 2 p ln (c) ln (3 + p 2)( p 2 + 1) : (d) 13=12: (e) 21: (f) p 6 (2 + ln 3) : (g) 2 p 3: 2 + e 2 2 p # 1 + e 2 (3 + p : 2)e 2 (h) 680p p : (i) 1 27 (31p p 13): (j) 53=6: (k) (80 p p 13): (l) 5p H h i () 1 27 (85) 3=2 + (13) 3=2 16 : (b) p 2 (e 1) : (c) 2: (d) 2 p : (e) 2 p 5:

17 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL 79 (f) 1 p 2 2 ln(p 2 1): 8.3 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 8.3B () (1= p 2; =4): (b) (:::) : (c) (1; 3=4) : (d) (6; =3): (e) ( p 2; 5=4): (f) (:::) : (g) (2 p 3; =3): (h) (4; =2): 8.3H Os pontos de interseção são presentdos em coordends polres. Vej loclizção no plno xy de cd um deles. () A 1 (2; =3) e A 2 (2; =3) : (b) A 1 (1=2; 2=3) e A 2 (1=2; 4=3): (c) A 1 (0; =2) ; A 2 (0; 3=2) e A 3 (2; =4) (d) A 1 (1 + p 2=2; =4); A 2 (1 p 2=2; 3=4); A3 (1 p 2=2; 5=4) e A4 (1 + p 2=2; 73=4)g: 8.3I () 3=2: (b) 2 p 3: (c) 2 p 2 2:

18 80 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS (d) 24p ln(p =4 + =4): (e) 2: (f) 3 p 2: (g) =2 8=3: (h) 8 (2 3p 3): (i) p 2=2: 8.3J 8.3K

19 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL 81 r = e r = (1 cos ) r = 2 e =4 =2 sen r (1 + sen ) r = 2 cos e r = 2 sen r 2 2 cos 2 (1 + cos ) r 3 cos 8.5 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 8.5B Em cd gur bixo present-se o grá co d região que irá produzir o sólido.

20 82 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas 8.1 Áres Plns Suponh que um cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região

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