Definição 1 O determinante de uma matriz quadrada A de ordem 2 é por definição a aplicação. det

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1 5 DETERMINANTES 5 Definição e Proprieddes Definição O erminnte de um mtriz qudrd A de ordem é por definição plicção ( ) : M IR IR A Eemplo : 5 A ( A ) ( ) ( ) Definição O erminnte de um mtriz qudrd A de ordem é por definição plicção : ( ) M IR IR A ( A ) ( A ) + ( A ) onde A ij é mtriz otid de A por eliminção d linh i e colun j

2 Eemplo : ( ) ( ) Definição O erminnte de um mtriz qudrd A de ordem n é por definição plicção ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : n n n n n M IR IR A A A A A L onde ij A é mtriz otid de A por eliminção d linh i e colun j Eemplo : ( ) ( ) ( ) + Eercício : Clcule

3 Proprieddes dos Determinntes: Se A é um mtriz qudrd com pelo menos um colun ou um linh nuls, então ( A ) T Pr qulquer mtriz qudrd A, temos que ( A ) O erminnte de um mtriz tringulr (inferior ou superior) é igul o produto dos elementos d digonl principl O erminnte d mtriz identidde é igul um Se B é um mtriz qudrd otid de A por meio de troc de dus linhs (ou dus coluns) entre si, então ( B) Se B é mtriz qudrd que se otém de A multiplicndo-se um su linh (ou colun) por α IR, então ( B) α Se B é mtriz qudrd que se otém de A sustituindo-se um su linh (ou colun) pel que del se otém dicionndo-lhe um múltiplo esclr de outr, então ( B) Se B é mtriz qudrd que se otém d som d linh i (colun j) d mtriz A ' com linh i (colun j) d mtriz linhs (coluns) ds mtrizes ( B ) ( A' ) + ( A'' ) A ', A '', sendo s restntes A '' e B iguis, então Not: Em gerl, pr A B M ( IR),, temos: n n ( A B) + ( B) + ( αa) α ; de fcto, α n α

4 Eercício : Clcule os seguintes erminntes, utilizndo pens s proprieddes: c d c c d : c : c d c c d Eercício : Sem clculr o vlor dos erminntes, demonstre iguldde: Técnics Pr o Cálculo de Determinntes 5 Regr de Srrus O erminnte de um mtriz de terceir ordem pode ser clculdo utilizndo um regr conhecid por Regr de Srrus Os "termos positivos" de um mtriz A de terceir ordem otêm-se multiplicndo os elementos d digonl principl e multiplicndo os vértices dos triângulos que se podem construir de se prlel à digonl principl:

5 Assim, segundo o esquem de cim, os "termos positivos" são:,, Os "termos negtivos" d mtriz A otêm-se multiplicndo os elementos d digonl secundári e multiplicndo os vértices dos triângulos que se podem construir de se prlel à digonl secundári: Assim, segundo o esquem de cim, os "termos negtivos" são:,, Sutrindo som dos termos negtivos à som dos termos positivos, otemos o vlor do erminnte de A Ou sej, + + 5

6 Eemplo : ( + + ) ( ) 6 Eercício 5: Clcule os seguintes erminntes, usndo regr de Srrus: 5: 5: 5 Eliminção de Guss Consiste em trnsformr um mtriz qudrd de ordem n num mtriz tringulr plicndo lgums ds proprieddes enuncids nteriormente Eemplo 5: L L L L L L + 6

7 Eercício 6: Clcule usndo eliminção de Guss 5 Fórmul de Lplce Por definição o erminnte é clculdo usndo o desenvolvimento segundo primeir linh Este, no entnto, pode ser clculdo usndo o desenvolvimento segundo qulquer linh i ou qulquer colun j do seguinte modo: Fórmul de Lplce segundo linh i: i+ i+ i+ n ( ) ( A ) + ( ) ( A ) + L + ( ) ( A ) i i i i in in Fórmul de Lplce segundo colun j: + j + j n+ j ( ) ( A ) + ( ) ( A ) + L+ ( ) ( A ) j j j j nj nj onde A ij é mtriz de ordem n otid de A por eliminção d linh i e i j d colun j e os sinis ( ) + podem ser otidos d seguinte mtriz de sinis: + + M + M + + M L L L 7

8 Eercício 7: Clcule o vlor do 7: segundo ª linh; 7: segundo ª colun 5 Menores, Menores Complementres e Complementos Algéricos Definição Dd um mtriz A, qudrd de ordem n, chm-se sumtriz qudrd de A de ordem m à mtriz formd pelos elementos comuns m linhs e m coluns ( m n) Chm-se menor de ordem m o erminnte de um sumtriz de ordem m Dois menores dizem-se complementres sempre que em cd um deles estão representds s linhs e s coluns que não figurm no outro Chm-se complemento lgérico de um menor o produto do seu menor complementr por ( ) s onde s é som ds ordens ds linhs e ds coluns envolvids no menor complementr Um menor de A diz-se principl se su digonl é totlmente constituíd por elementos d digonl principl de A Not: Pr formção do epoente s podemos usr s coluns e s linhs envolvids no menor em vez do menor complementr 8

9 Eemplo 6: Pr A temos Menor: ; Menor complementr: ; Complemento lgérico: ( ) Menor: ; Menor complementr: ; Complemento lgérico: ( ) Menor: ; Menor complementr: ; Complemento lgérico: ( ) 5 9

10 5 Invers de um Mtriz 5: Definição e proprieddes Definição 5 Um mtriz qudrd A de ordem n, diz-se invertível, se eistir um mtriz B de ordem n tl que AB BA I A mtriz B chm-se invers de A e represent-se por B A A, isto é, Eemplo 7: Clcule invers de A usndo definição Resolução: AX I Então, usndo o lgoritmo de Guss, vem: L L L L Logo A

11 Eemplo 8: A não é invertível, pois não é possível resolver o sistem AX I Teorem Sej A um mtriz qudrd de ordem n, então A é invertível sse cr n (sse A é não singulr), isto é, pós eliminção de Guss, mtriz em escd de linhs não tem nenhum zero n digonl principl Proprieddes: Sejm A e B mtrizes não singulres de ordem n Então A é únic ( A ) A T ( A ) ( A ) T ( AB) B A Se A e B são mtrizes qudrds tis que AB I, então tmém BA I e, consequentemente, B A Se A e B são dus mtrizes qudrds, então ( AB) ( B) e consequentemente, se A é invertível, ( A ) ( ) Um mtriz qudrd A de ordem n é invertível sse A é não singulr sse cr n sse

12 Eercício 8: Suponh que de ordem n Prove que B m B P AP sendo A, B e P mtrizes qudrds m P A P, m Z Eercício 9: Sejm A e B mtrizes de ordem n invertíveis Mostre que A + B A ( A + B) B 5: Método d Adjunt pr o cálculo d mtriz invers Definição 6 Chm-se djunt de A, à mtriz que se otém de T A por sustituição de cd elemento, pelo respectivo complemento lgérico A djunt de A denot-se por Adj Eercício : Clcule mtriz djunt ds mtrizes seguintes : A : A Est definição permite o cálculo d invers de um mtriz do seguinte modo: A A T Adj A Adj Not: Só podemos clculr invers de A se

13 Eercício : Clcule invers de cd um ds mtrizes usndo mtriz djunt : A : A Resolução de Sistems de Equções Lineres: Regr de Crmer Consideremos o sistem de equções lineres: A Suponhmos que, então eiste invers A de A, logo A AA A I A A Adj ( A ) ( A ) ( A ) ( A ) ( ) ( ) ( ) ( A ) ( A ) ( A ) + + A ( ) + A A A + + ( ) ( ) A + A A ( ) ( ) ( ) ( ) A + A A ( ) ( ) + ( ) A A A

14 onde A ij é mtriz otid de A por eliminção d linh i e colun j Dqui result: ; ; Est propriedde pode ser generlizd trvés d seguinte regr: Regr de Crmer : Sej A um mtriz qudrd de ordem n não singulr, então o sistem onde colun A tem um únic solução dd por j ( C ) j C j é mtriz que se otém de A sustituindo colun j pel mtriz Eercício : Use regr de Crmer pr resolver os sistems: : + y 8 + y 7 + y z : + 5 y z y + z

15 56 Eercícios Clcule os seguintes erminntes: () ; () ; (c) Clcule os seguintes erminntes, usndo regr de Srrus: () ; () ; (c) 5 Clcule o seguinte erminnte, usndo eliminção de Guss Clcule os seguinte erminntes, (i) usndo eliminção de Guss; (ii) usndo fórmul de Lplce () (d) ; () ; (c) c d ; (e) 5 ;

16 5 Clcule, d form que chr mis conveniente (pode evidentemente misturr s técnics prendids) os seguinte erminntes: () (c) ; () ; (d) ; 6 Sendo A n n, qul é relção com A de : () (A)? () (A)? (c) (A )? 7 Se A é um mtriz invertível de ordem n, mostre que (A ) (A) 8 Reltivmente cd um ds mtrizes seguintes, use erminntes pr encontrr os vlores dos prâmetros pr os quis mtriz é invertível α β () α β ; () λ α α + β αβ ; (c) α β β λ λ α α + β α + αβ 9 Dus mtrizes A e B dizem-se semelhntes se eistir T invertível tl que A TBT Prove que se A e B forem semelhntes então A B Clcule o erminnte

17 Mostre que mtriz A vlor de 5 + é não singulr, independentemente do considere função f(), com e números reis distintos () Mostre que f() é um função qudrátic, isto é, é dd por um polinómio de gru em () Eplique porque é que f() f() Conclu que f() k( )( ) pr um cert constnte k Clcule k (c) Pr que vlores de é que est mtriz é invertível? A mtriz B foi otid prtir d mtriz A (X), trvés ds seguintes operções elementres: L, L L e L L + L () Sendo que (A), clcule (B) () Se C π 5, clcule (BC B T ) Resolv s seguintes equções: + () + () 5 (c) + c c + + c 5 Clcule mtriz djunt de: () () (c) 5

18 6 Considere s mtrizes A e B () Mostre que Adj(A) A T () Verifique que Adj(B) B 7 Considere s mtrizes A, B e C () Determine djunt de cd um ds mtrizes () Clcule o erminnte de cd um ds mtrizes e su invers 8 Considere equção mtricil AXB ( I), onde A e B representm mtrizes invertíveis e I represent mtriz identidde () Eplicite X () Sendo que A 5 e B, clcule: i Adj(A) ii X 9 Resolv os seguintes sistems usndo regr de Crmer: + () () (c)

19 Considere s mtrizes A α α e β, com α, β IR () Discut o sistem A em função dos prâmetros α e β () Determine os vlores do prâmetro α pr os quis mtriz é invertível (c) Considere α e β i Determine, usndo o método d djunt, mtriz invers de A ( (A ) A T ii Clcule, usndo s proprieddes dos erminntes, iii Resolv o sistem A, usndo regr de Crmer ) 5

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