, onde i é a linha e j é a coluna que o elemento ocupa na matriz.

Transcrição

1 SÉRE: 2 AULA - MATRZES NOTA: FEVERERO Jneiro/Fevereiro 6 1 O PERÍODO PROF A ALESSANDRA MATTOS Muits vezes pr designr com clrez certs situções, é necessário um grupo ordendo de número de linhs(i) e coluns (j), formndo o que chmmos de Mtriz As tbels que encontrmos dirimente em jornis e revists são tipos de Mtrizes serem estudds neste período DEFNÇÃO Sejm M e N dois números inteiros miores ou iguis 1 Denomin-se mtriz um tbel retngulr formd m n números reis, dispostos em M linhs e N coluns Cd elemento ocup um posição que é indicd pr ij, onde i é linh e j é colun que o elemento ocup n mtriz Notção: A m1 m2 1n 2n mn REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRZ As mtrizes são indicds de três forms: usndo-se prênteses ( ), colchetes [ ] ou brrs dupls c b d ou c b d ou c b d REPRESENTAÇÃO GENÉRCA Pr representr o elemento usmos um letr com dois índices: o 1º indic que linh (i) e o 2º que colun (j) o elemento ocup O elemento genérico é indicdo por ij A ou (ij)3x3 REPRESENTAÇÃO SMPLFCADA Podemos escrever A ( ij D D (d ij ) 2x3 Aul Mtrizes wwwlenumeroscom Profª Alessndr Mttos 1 5

2 SÉRE: 2 MATRZES PARTCULARES Ø Mtriz Linh: é mtriz formd por um únic linh A [ b c] (mtriz linh 1 x 3) Ø Mtriz Colun: é mtriz formd por um únic colun Ø b B c (mtriz colun 3 x 1) Mtriz Qudrd: é mtriz em que o número de linhs é igul o número de coluns (m n) O m ou n é denomind ordem d mtriz Ø Mtriz Digonl: é tod mtriz qudrd em que os elementos não pertencentes à diogonl principl são iguis (zero) A 4 2 Genericmente: A ( ij ) mxn; ij, se i j Ø Mtriz dentidde (n) : é um tipo de mtriz digonl em que todos os elementos d digonl principl são iguis 1 e os outros iguis Ø Mtriz Nul ( mxn ): é quel cujos elementos são todos iguis zero A ( ij tl que ij 1 i m e 1 j n Aul Mtrizes A mtriz nul de ordem 2 é indicd por wwwlenumeroscom Profª Alessndr Mttos 2 5

3 SÉRE: 2 Ø Mtriz Trnspost (A t ): trnspor um mtriz signific trnsformr tudo que é linh em colun e vice-vers A t ( ij tl que ij ji PROPREDADES A B A t B t (A t ) t A (A + B) t A t + B t V (A B) t B t A t Ø Mtriz Simétric: é um mtriz qudrd de ordem n É simétric qundo A t A Ø Mtriz Opost: denominmos mtriz opost de A ( ij mtriz obtid prtir de A Trocndo-se o sinl de todos os seus elementos Notção: A Ø Mtriz Anti-Simétric: é um mtriz qudrd de ordem n É nti-simétric qundo A t -A ij - ji e isto implic ii GUALDADE DE MATRZES Dus mtrizes A e B do mesmo tipo m x n são iguis se, e somente se, todos os elementos que ocupm mesm posição são idênticos Aul Mtrizes Se A 1 b, B c 1 3 e A B, então os vlores de b e c são wwwlenumeroscom Profª Alessndr Mttos 3 5

4 SÉRE: 2 OPERAÇÃO COM MATRZES Ø Adição de Mtrizes Dds s mtrizes A ( ij e B (b ij, chmmos de som ds mtrizes A e B mtriz que c ij ij + b ij pr todo 1 i m e todo 1 j n C (c ij tl Ø Proprieddes Se A, B e C são mtrizes do mesmo tipo (m x n), vlem s seguintes proprieddes: (A + B) + C A + (B + C) ssocitiv A + B B + A comuttiv A + + A A elemento neutro V A + ( A) ( A) + A elemento oposto Onde é mtriz nul m x n Ø Subtrção de Mtrizes Dds s mtrizes A ( ij e B (b ij, chmmos de diferenç entre s mtrizes A e B som de A com opost de B Ø Multiplicção de um número rel por um mtriz Ddo um número rel x e um mtriz A do tipo m x n, o produto de x por A é um mtriz do tipo m x n, obtid pel multiplicção de cd elemento de A por x Aul Mtrizes Notção: B x A b ij k ij ( 1) 3 3 Ø Proprieddes Sendo A e B mtrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y números reis quisquer, vlem s seguintes proprieddes: x (y A) (x y) A (ssocitiv) wwwlenumeroscom Profª Alessndr Mttos 4 5

5 SÉRE: 2 x (A + B) x A + x B (distributiv de um número rel) (x + y) A x A + y A (distributiv em relção à som de números reis) V x A A, pr x 1 (elemento neutro) Ø Multiplicção de Mtrizes O produto de um mtriz por outr não pode ser determindo trvés do produto de seus respectivos elementos Especificmente ness operção, não podemos proceder do mesmo modo como fizemos té gor, já que multiplicção de mtrizes não é nálog à multiplicção de números reis Assim o produto ds mtrizes A ( ij e B (b ij é mtriz C (c ij onde cd elemento C ij é obtido d som dos produtos dos elementos correspondentes d i-ésim linh de A pelos elementos d j-ésim colun de B Not : A B m x n n x p C m x p Ø Proprieddes d Multiplicção (A B) C A (B C) ssocitiv A (B + C) A B + A C distributiv à esquerd (B + C) A B A + C A distributiv à direit V A n n A A elemento neutro Ø Proprieddes mportntes Sendo O mxn um mtriz nul, A B O mxn não implic, necessrimente, que A O mxn ou B O mxn A B B A em gerl não vle comuttiv Sendo A B A C B C em gerl não vle propriedde do cncelmento EXERCÍCOS DO LVRO PÁGS Aul Mtrizes wwwlenumeroscom Profª Alessndr Mttos 5 5