B ) 2 = ( x + y ) 2 ( ( ) 2 + 2( )( 31 8 MÓDULO 17. Radiciações e Equações

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3 Ciêncis d Nturez, Mtemátic e sus Tecnologis MATEMÁTICA. Mostre que Rdicições e Equções ( é múltiplo de 4. 5 = x, com x > 0 5 ) = x ( ) + ( )( 8 + ( 8 5 ) = x + 8 MÓDULO (8 5 ) + 5 ) = x = x x = 64 x = 8, pois x > 0 Assim sendo = 8, múltiplo de 4.. ) Escrev A + B como um som de rdicis simples. b) Escrev 5 como um diferenç de r dicis simples. ) A + B = x + y ( A + A + B = x + x. y + y A + B = x + y + 4xy ( 4A) B x = =. 4 Fzendo C = A B tem-se x = B ) = ( x + y ) A + C A C Assim sendo, A + B = +, com C = A B x + y = A y = A x 4xy = B 4x(A x) = B 4x 4Ax + B = 0 4A ± A + C A C x = y = A C A + C x = y = A ± C 4A ± 4 A B 8 b) 5 = 40 = + = = 7 5, pois C = 40 = =

4 . O vlor de k pr que um ds rízes d equção x kx + 8 = 0 sej é: ) 7 b) 9 c) d) 5 e) 9 sendo e b s rízes d equção e fzendo =, com > 0 tem-se 0 = (6 Além disso + b = k. b = 8 = 6 Respost: B = 0) = = 6 = 6 + b = k b = = 6 = 6 b = k = 9 5. Resolver, em, equção ( + b + c)x ( + b + c)x + = 0, sbendo-se que {; b; c}. + b + c s = + b + c = + + b + c P = + b + c =. + b + c V = { ; } + b + c 4. Se e b ( > b) são s rízes d equção x x + = 0, então: ). b = b) + b = c) b = d) + b = 5 e) b = = 9 + C = 9 7 = = + = 6 + x x + = 0 x ( 6 + )x + 6. = 0 V = { 6 ; } = 6 e b =, pois > b. Assim b = ( 6) ( ) = Respost: C obs.: A ± A + C B = + A C MÓDULO 8 Equções. Sejm, b e c números reis não-nulos. Se é riz d equção x + bx + c = 0, ssinle firmção fls: ) + b + c = 0 b) + b + c = bc c) b 4c d) outr riz é c e) um ds nteriores é fls. se é riz, então. + b. + c = 0 + b + c = 0 b + c = (b + c) = ( ) b + bc(b + c) + c + = 0 b + bc( ) + c + = 0 + b + c = bc c c P = x x = c. x = x = > 0 b 4c Respost: D onde C = A B

5 . Resolver, em x, o sistem x + xy + y = 7 x + xy + y = 9 x + xy + y = 7 x + xy + y = 9 (x + y) xy = 7 (x + y) + xy = 9 (x + y) + (x + y) 56 = 0 x + y = 8 ou x + y = 7 Assim sendo tem-se x + xy + y = 9 ) x + y = 7 x + y = 7 xy = (x = e y = 4) ou (x = 4 e y = ) x + xy + y = 9 ) x + y = 8 x + y = 8 xy = 7 x = 8 ± 44 Portnto V = {(; 4); (4; )} 4. As equções x 9x +=0ex 8x ++8 = 0 têm um riz comum. Determinr o conjunto-verd de de cd um dels. sendo riz comum, tem-se: 9 + = 0 } 9 8 = 0 = e = = 0 ª equção: x 9x + 0 = 0 x 4x 5x + 0 = 0 x(x + )(x ) 5(x ) = 0 (x ) (x + x 5) = 0 x = x = 5 x = ª equção: x 8x + 48 = 0 x 4x 4x + 48 = 0 (x ) (x + x 4) = 0 x = x = 6 x = 4 Resposts: V = {; 5; } V = {; 6; 4}. A som e o produto ds rízes positivs d equção (x + x ) 9x + 08x = 0 são respectivmente iguis : ) 8 e b) 0 e 4 c) e 6 d) 8 e 6 e) 6 e 4 (x + x ) 9x + 08x = 0 [(x ) + x] 9x(x ) = 0 fzendo x = y tem-se (y + x) 9xy = 0 y 5xy + 4x = 0 y = x ou y = 4x x = x ou x = 4x x x = 0 ou x 4x = 0 x =, x =, x = 4 ou x = 6 A som e o produto ds rízes positivs são = 0 e 4. 6 = 4 Respost: B MÓDULO 9 Equções. (ITA) Dd equção x + (m + )x + (m + 9)x + 9 = 0, em que m é um constnte rel, considere s seguintes firmções: I. Se m ] 6,6[, então existe pens um riz rel. II. Se m = 6 ou m = + 6, então existe riz com multiplicidde. III. m R, tods s rízes são reis. Então, podemos firmr que é (são) verddeir(s) pe ns ) I b) II c) III d) II e III e) I e II x + (m + ). x + (m + 9). x + 9 = 0 x + mx + x + mx + 9x + 9 = 0 x (x + ) + mx(x + ) + 9 (x+) = 0 (x + ). (x + mx + 9) = 0 m 6 x = ou x =. m ±

6 Assim sendo: ) Pr m 6 < 0 6 < m < 6, equção terá um únic riz rel igul e dus rízes não reis. Dest form firmção (I) é verddeir e firmção (III) é fls. ) Pr m 6 = 0 m = ± 6, equção inicil terá um riz rel simples igul e um riz rel dupl igul ou igul. Portnto, firmção (II) é verddeir. Respost: e x x x x m = x. x Respost: o conjunto de vlores possíveis pr m é {0, 7, 9, 5, 7, 4}. (ITA) Sobre o número x = é correto firmr que ) x ]0, [. b) x é rcionl. c) x é irrcionl. d) x é irrcionl. e) x ]; [. Resolução x = = ( ) + = + = Portnto, x é rcionl. Respost: B 4. Se m e n são rízes reis estritmente positivs d equção x bx + = 0, então é flso firmr que: ) b b) + n m n m n m c) 0 < + < d) (m + n). ( + ) =b 4 e) um ds nteriores é fls. Resolução. (IMe) Sejm x e x s rízes d equção x + (m 5)x + m = 0. Sbendo que x e x são números inteiros, determine o conjunto de vlores possíveis pr m. = ( b) b 4 } b s = m + n = b > 0 P = m. n = m m + n b + = = = b n m. n (m + n). + = b. b = b 4 m n Respost: C x + x = m + 5 x. x = m x + x = x x + 5 x + x + x x = 5 x + x + x x + = 6 (x + ) + x ( + x ) = 6 (x + )(x + ) = 6 sendo x e x números inteiros, podemos ter: 4

7 5. (ITA) O menor inteiro positivo n pr o qul diferenç n n fic menor que 0,0 é ) 499. b) 50. c) 500. d) 600. e) logo, + b c = = 4 =4 Respost: B n n < 0,0 n + 0,0 < n ( n + 0,0) < ( n ) n + 0,0. n + 0,000 < n 0,0 n < 0,000 0,0 n >,000 n >,000 0,0 n > 500, n > 00,0 n > 50,005 o menor inteiro positivo n que stisfz sentenç é, portnto, 50. Respost: B. (ITA) Resolver, em, equção 6 x 5 6. x 5 7 = 0 6 Fzendo x 5 = y teremos x 5 = y e equção 6 x 5 6. x 5 7 = 0 pode ser escrit d form y 6y 7 = 0, com y 0. MÓDULO 0 Equções Como y 6y 7 = 0 y = ou x 5 = 7 x 5 = x 5 = x = 5 y = 7, temos: x = 4 x = 4 ou x = 4 Respost: { 4; 4}. (ITA) Sendo c um número rel ser determindo, decom ponh o polinômio 9x 6x + c, num diferenç de dois cubos (x + ) (x + b). Neste cso, + b c é igul ) 04. b ) 4. c) 4. d) 4. e) 44. Pr que 9x 6x + c = (x + ) (x + b), devemos ter: 9x 6x + c = ( b)x + ( b )x + ( b ) b = 9 b = b = 6 b = b = c b = c = b = 5 c = 7 5

8 . (epusp) Sendo hipotenus, b e c os ctetos de um triângulo retângulo, equção x b x c = 0: ) tem um riz igul e outr entre 0 e ; b) tem rízes imgináris; c) tem um riz igul e outr entre 0 e ; d) não dmite rízes rcionis; e) nenhum ds resposts nteriores = = 0 ( ). + = 0 ( ). = =. se é riz comum, então +. + = 0 = Respost: e Resolução : sendo hipotenus, b e c os ctetos de um triângulo retângulo, tem-se = b + c. é riz d equção, pois b c = b + c b c = 0. A c c outr riz é, que está entr 0 e, pois 0 < <. Resolução : sendo hipotenus, b e c os ctetos de um triângulo retângulo, tem-se = b + c. = ( b ) 4.. ( c) = b c = b 4 + 4(b + c ). c = b b. c + 4. c 4 = (b + c ) b ± (b + c ) b ± (b + c ) x = = =.. = b + (b + c ). (b + c ). = = = =... b (b + c ) c c = =, com < < Pr que vlores de, b e c inteiros o polinômio (x )(x 0) + pode ser ftordo como o produto de (x + b)(x + c)? sendo (x )(x 0) + ftorável em (x + b)(x + c), temos (x )(x 0) + = (x + b)(x + c) pr todo x. Pr x = b, temos ( b )( b 0) + = ( b + b)( b + c) (b + )(b + 0) =. Dest form, ou b + = b + 0 = b + = b + 0 = ( = e b = ) ou ( = 8 e b = 9) Resposts: ( = e b ) ou ( = 8 e b = 9) 4. Determine os vlores de pr que s equções x + x + = 0 e x + x + = 0 tenh pelo menos um riz em comum. Pr = s dus equções são idêntics e, obvimente, possuem rízes comuns. Pr, se for riz comum temos: 6

9 exercícios-tref MóDulo 7. O vlor de é: ) b) 6 c) d) 7 e). A som vle: Resolver, em, equção (x x + 8) 4x + 90x 5x = 0. MóDulo 9. (ITA) Sbendo-se que s soluções d equ ção x x 6 = 0 são rízes d equção x x + b = 0, podese firmr que: ) = e b = 6 b) = 0 e b = 6 c) = e b = 6 d) = 0 e b = 9 e) não existem e b tis que x x + b = 0 contenh s rízes d equção dd. ) 00 b) 9 c) 0 + d) 9 + e) 99. Obter um equção do º gru, de coeficientes intei ros, cujs rízes sejm o qudrdo ds rízes d equção 5x 7x + = 0. MóDulo 8. As rízes d equção x + px + q = 0, u men t ds de um unidde, são rízes d equção x px + pq = 0. Determine p, q e o conjunto-verdde de cd equ ção.. As equções x px + q = 0 e x qx + p = 0, com p q, têm um riz comum. Determine est riz e som p + q. resolução dos exercícios-tref MóDulo 7 ) x x 6 = 0 e x > 0 x = Respost: C 6 + = x 6 + x = x e x > 0 ( ) ) =. = + ( + ) ( ) + ( ) =. = ( + ) ( ) x + x + b. Resolver, em, equção + x x b =, sbendo-se que {; b} * e b. Mostre que o inverso d riz é médi ritmétic dos inversos de e b. MóDulo 0. (epusp) Os trinômios y = x + bx + c tis que + b + c = 0: ) tem em comum o ponto do eixo x; b) tem em comum o ponto do eixo y; c) tem em comum origem; d) não tem ponto em comum; e) Nd disso.. A som dos qudrdos com som dos cubos ds rízes d equção x x + 5 = 0 é: ) 8 b) 9 c) 0 d) 8 e) 9 De form nálog (n n ) =. = n + n (n + n ) (n n ) = n n Assim = = 00 = 9 Respost: B 7

10 ) sendo x e x s rízes d equção 5x 7x + = 0, s rízes d nov equção serão x e x. s = x + x = (x + x ) x. x = 7 5 = ( ). ( )= P = x. x = (x. x ) = ( ) = ( ) um equção nests condições é x 9 x + = 0; outr é 5x 9x + = MóDulo 8 5 ) sendo x e x s rízes d primeir equção, e (x + ) e (x + ) s rízes d segund equção, temse: x + x = p x. x = q (x + ) + (x + ) = p (x + ). (x + ) = pq As equções são x + x = 0 e x x = 0, cujos conjuntos-verdde são, respectivmente, V = { ; 0} e V = {0; } ) sendo riz comum ds equções x px + q = 0 e x qx + p = 0, tem-se: p + q = 0 } q + p = 0 (p q) = q p, pois p q substituindo em um ds equções, tem-se: ( ) q ( ) + p = ) (x x + 8) 4x + 90x 5x = 0 (x x + 8) 4x(x + 8) + 90x = 0. Fzendo x + 8 = y, temos (y x) 4xy + 90x = 0 y 6xy + 9x 4xy + 90x = 0 y 0xy + 99x = 0 y = 9x ou y = x x + 8 = 9x ou x + 8 = x x 9x+ 8 = 0 ou x x + 8 = 0 x =, x =, x = 6 ou x = 9 Respost: V = {; ; 6; 9} 5 5 x + x = p x. x = q = p = p q = 0 q p + = pq = p + q = 4 MóDulo 9 ) x x 6 = 0 x = ou x = x = ou x = s = ( ) + = = 0 P = ( ). = b b = 9 Respost: D x + x + b ) + = x x b (x + ) (x b) + (x + b) (x ) = (x ) (x b) e x 0 e x b 0 x + bx = b e x e x b b + b x = = + b x b + b = cqd. x MóDulo 0 ) Resolução : é riz do trinômio, pois y =. + b. + c = + b + c = 0. c A outr riz é. Assim, o gráficos que representm os trinômios pss pelo ponto (; 0) do eixo x. Respost: A Resolução : sendo + b + c = 0 c = b y = x + bx + c = x + bx b = = (x ) + b(x ) = (x + )(x ) + b(x ) y = (x ). (x + + b) o ponto (; 0) pertence os gráficos dos trinômios, pois y = ( ). (. + + b) = 0, pr quisquer vlores de e b. Respost: A ) sendo x e x s rízes d equção, temos: x + x = e x. x = 5 x + x = (x + x ) x x = (). 5 = x + x = (x + x ). (x x x + x ) = = (). ( 5) = 8 Respost: D 8