Definição: uma permutação do conjunto de inteiros {1, 2,..., n} é um rearranjo destes inteiros em alguma ordem sem omissões ou repetições.

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1 DETERMINANTES INTRODUÇÃO Funções determinnte, são funções reis de um vriável mtricil, o que signific que ssocim um número rel (X) um mtriz qudrd X Sus plicções envolvem crcterizção de mtriz invertível, sber se um sistem dmite ou não solução, obter fórmuls pr o volume de certos sólidos poliédricos Determinnte é um número rel que se ssoci um mtriz qudrd clculdo pel somtóri de todos os produtos possíveis dos n elementos de um mtriz qudrd, de mneir que em cd prcel formd por um produto não h dois elementos pertencentes um mesm linh e/ou colun PERMUTAÇÕES Definição: um permutção do conunto de inteiros {,,, n} é um rerrno destes inteiros em lgum ordem sem omissões ou repetições Exemplo : Existem seis permutções possíveis pr os elementos do conunto {,, 3}, sber: (,, 3) ; (,, 3) ; (3,, ) ; (, 3, ) ; (, 3, ) ; (3,, ) Pr um conunto com elementos há permutções possíveis Pois pr primeir escolh, temos possibiliddes, pr segund posição 3 possibiliddes, n terceir possibiliddes e n qurt pens um Multiplicndo s possibiliddes temos: 3 = Em gerl, existem n(n - )(n - ) = n! permutções distints do conunto {,,, n} Vmos denotr por (,,, n) um permutção rbitrári do conunto {,,, n} Aqui, é o primeiro inteiro n permutção, o segundo, e ssim por dinte Ocorre um inversão num permutção sempre que um inteiro mior precede um menor O número totl de inversões que pode ocorrer num permutção pode ser obtido como segue: () encontre o número de inteiros que são menores que e que estão depois de n permutção; () encontre o número de inteiros que são menores que e que estão depois de n permutção Continue este processo pr 3,, n- A som destes números será o número totl de inversões n permutção Exemplo : A permutção (6,,3,,5,) do conunto {,, 3,, 5, 6} tem 8 inversões: o 6 ntes do, do 3, do, do 5 e do ; o 3 ntes do ; o ntes do ; o 5 ntes do Um permutção é chmd pr se o número totl de inversões é um inteiro pr e é chmd ímpr se o número totl de inversões é ímpr Exemplo 3: Pr s permutções do exemplo, temos seguinte clssificção: (,, 3) pr (,, 3) ímpr (3,, ) pr (, 3, ) ímpr (, 3, ) pr (3,, ) ímpr

2 3 Determinntes um mtriz n x n Definimos o determinnte de A e denotmos det(a) ou simplesmente A por: det( A ) A ( ) n n Onde o somtório é tomdo sobre tods s permutções,,, n do conunto {,,,n} O sinl do termo correspondente à permutção,,, n é + se el for pr e se for ímpr Definição: Se A i Se A é um mtriz de ordem, então tem pens um permutção e nenhum inversão, sendo, portnto, pr Logo det(a) = termos Se A é um mtriz de ordem, então pr obter o det(a), escrevemos os e, e preenchemos os espços vzios com os elementos do conunto de permutções{(),()} Como é um permutção pr, o termo tem sinl +; como o termo é um permutção ímpr, o termo tem o sinl - Portnto, det(a) = - Podemos, tmbém, obter o det(a) relizndo o produto dos elementos d digonl principl d mtriz menos o produto dos elementos d digonl secundári Observe: Secundári Principl A = - De modo nálogo podemos clculr o determinnte de um mtriz de ordem 3 3 Se A 3 então pr clculr det(a), escrevemos os seis termos 3 3 3, 3, 3, 3, 3, 3 Usndo tods s permutções dos elementos do conunto {,, 3} e colocndo o sinl correspondente, + pr um permutção pr e pr um permutção ímpr, obtemos Podemos, tmbém, obter o det(a) d seguinte mneir: repit s dus primeirs coluns de A, some os produtos dos elementos com s flechs direcionds pr direit e subtri os produtos dos elementos com s flechs direcionds pr esquerd Os procedimentos práticos cim descritos não vlem pr mtrizes de ordem n

3 Exemplo : Vmos clculr o determinnte pelo método prático ds mtrizes bixo: 3 A 5 3 det( A ) = (-) = 5 3 B det( B ) 3 = = Aplicr definição pr clculr determinntes de ordens superiores 3 pode ser extremmente trblhoso e requerer um esforço computcionl muito grnde Um determinnte de ordem resolvido diretmente envolveri! = produtos com sinl e um determinnte de ordem envolveri! = 3688 produtos com sinl Mesmo os computdores mis rápidos, que relizm um trilhão de multiplicções por segundo, demorrim cerc de 5 nos pr clculr um determinnte de ordem 5 pel definição O que nos interess, portnto, é desenvolver proprieddes dos determinntes que simplifiquem seu cálculo Proprieddes: Se A um mtriz qudrd i) Se A tem um linh ou um colun de zeros, então det(a) = 3 Exemplo 5: Se A det(a) = - = 3 O determinnte de A é ii) det(a) = det(a T ) Exemplo 6: Se A mtriz do Exemplo Vmos clculr o determinnte d mtriz trnspost de A: det(a T ) = 3 5 = (-) = = det(a) iii) Se A é um mtriz tringulr (superior, inferior ou digonl) de tmnho n x n, então det(a) é o produto ds entrds n digonl principl d mtriz Exemplo 7: Se 3 A Usndo propriedde clculmos: 7 5 det(a) = 3(-)5 = -3

4 iv) Se um mtriz B é obtid de um mtriz A trocndo-se dus linhs (ou coluns) de A, então det(b) = -det(a) 3 Exemplo 8: Se A Temos que det(a) = 6 Vmos permutr segund linh com primeir linh, obtendo mtriz B B 3 Clculndo o novo determinnte encontrmos det(b) = -6 = -det(a) v) Se dus linhs (ou coluns) de A são iguis, então det(a) = Exemplo 9: Vmos clculr o determinnte d mtriz A primeir e terceir coluns são iguis Vmos clculr o det(a) det( A ) 6 = - = 6 Observe que vi) Se B é mtriz resultnte d multiplicção de um linh (ou colun) de A por um esclr k, então det(b) = kdet(a) Exemplo : Se A mtriz do exemplo Vmos multiplicr primeir linh de A por 3, originndo mtriz B O determinnte de B é: 6 9 B = 3 (- 36) = 66 = 3 = 3det(A) vii) Se B é mtriz que result qundo um múltiplo de um linh de A é somdo um outr linh ou qundo um múltiplo de um colun de A é somdo um outr colun, então det(b) = det(a) Exemplo : Se A mtriz do exemplo 8 Vmos multiplicr primeir linh por e somr com terceir linh, obtendo mtriz B O determinnte de B é: 3 B = 8 + = 6 = det(a) viii) O determinnte de um produto de mtrizes é igul o produto de seus determinntes, isto é, det(ab) = det(a)det(b)

5 Exemplo : Sem A 3 e B 5 det(a) = 6 = - det (B) = 8 5 = 3 det(a)det(b) = (-)3 = -6 9 AB det( AB ) = 8 3 = -6 = det(a)det(b) 6 9 ix) Se A é invertível, então det(a) Exemplo 3: Se A mtriz do exemplo Como det(a), então A é invertível Usndo o método prático pr clculr invers de um mtriz de ordem, vmos determinr A - : A Expnsão em Coftores Vmos desenvolver um método pr clculr o determinnte de um mtriz n x n, que reduz o problem o cálculo de determinntes de mtrizes de ordem n Podemos então repetir o processo pr esss mtrizes (n ) x (n ) té obter mtrizes x Definição: Se A = [i] um mtriz n x n Se Mi submtriz (n )x(n ) de A obtid eliminndo-se i-ésim linh e -ésim colun de A O determinnte det(mi) é chmdo determinnte menor de i O coftor Ai de i é definido por i A i ) det( M ) ( i O determinnte de um mtriz A, n x n, pode ser clculdo pel expnsão do coftor com respeito qulquer linh ou colun A expnsão com respeito à i-ésim linh, usndo os coftores Ai é dd por i Ai i Ai A A expnsão do coftor com respeito À -ésim colun é dd por A A in n in A n O sinl positivo ou negtivo no coftor depende d posição de i n mtriz O ftor (-) i + determin o seguinte pdrão de sinis:

6 5 Exemplo : Se A Vmos clculr o det(a) usndo o coftor com respeito à terceir linh d mtriz 3 3 A A A ( ) det A ( ) det A ( A ) 5 5 ( ) ( )