TÓPICOS. Determinantes de 1ª e 2ª ordem. Submatriz. Menor. Cofactor. Expansão em cofactores. Determinante de ordem n. Propriedades dos determinantes.

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1 Note bem: leitur destes pontmentos não dispens de modo lgum leitur tent d bibliogrfi principl d cdeir Chm-se tenção pr importânci do trblho pessol relizr pelo luno resolvendo os problems presentdos n bibliogrfi, sem consult prévi ds soluções proposts, nálise comprtiv entre s sus respost e resposts proposts, e posterior exposição junto do docente de tods s dúvids ssocids. TÓPICOS Determinntes de ª e ª ordem. Submtriz. Menor. Cofctor. Expnsão em cofctores. Determinnte de ordem n. Proprieddes dos erminntes. UL Determinnte de um mtriz tringulr. Operções sobre linhs. Método de condensção.. Determinntes... Determinntes de ª e ª ordem. Dd um mtriz com um único elemento, [ ] como (, definimos o erminnte de Dd um mtriz qudrd,, definimos o erminnte de como Exemplo. Sej mtriz O erminnte de B é ( B ( B ( ( b b b b Prof. Isbel Mtos & José mrl LG - --9

2 D E T E R M I N N T E S L G E B R L I N E R.. Submtriz. Menor. Um submtriz p q de um mtriz m n (com p m e q n, é mtriz formd pelos elementos comuns p linhs e q coluns, não necessrimente consecutivs, d mtriz. Dd um mtriz qudrd n ndefine-se o menor do elemento, e escrevemos, como o erminnte d submtriz ( n ( n de obtid por eliminção d i -ésim linh e d j -ésim colun de. Exemplo. Sej o menor do elemento é j n i in n nj nn, e o menor do elemento é.. Cofctor. Dd um mtriz qudrd n ndefine-se o cofctor (ou complemento lgébrico do elemento, e escrevemos cof(, como cof( ( i j, ou sej, ou (conforme i j sej pr ou ímpr o menor do elemento Prof. Isbel Mtos & José mrl LG - --9

3 D E T E R M I N N T E S L G E B R L I N E R Exemplo. Dd mtriz O cofctor do elemento é cof( ( ( (.. Determinnte de ordem n. Expnsão em cofctores. Um mtriz qudrd n ntem um erminnte igul à som dos produtos dos elementos de um qulquer linh ou colun, pelos seus cofctores. Ou sej, o erminnte de pode ser clculdo em termos d expnsão em cofctores d i - ésim linh, ou d j - ésim colun Exemplo. O erminnte d mtriz n ( cof( j n i ( cof(, recorrendo, por exemplo, à expnsão em cofctores d linh, é n j j j ( cof( cof( cof( cof( cof( ( ( ( ( ( - ( Prof. Isbel Mtos & José mrl LG - --9

4 D E T E R M I N N T E S L G E B R L I N E R Prof. Isbel Mtos & José mrl LG ( ( ( ( ( Podemos clculr o erminnte de um mtriz utilizndo função (. >> [ ; ; ]; >> ( ns 9. Tendo o cuiddo de, n expnsão em cofctores, escolher em cd psso linh ou colun com mior número de zeros, de modo reduzir o esforço de cálculo, temos que o erminnte d mtriz B é ( B >> [ ; ; ; ; ]; >> ( ns (Expnsão em cofctores d colun. (Expnsão em cofctores d linh. (Expnsão em cofctores d linh.

5 D E T E R M I N N T E S L G E B R L I N E R.. Proprieddes dos Determinntes. Sendo e B mtrizes qudrds de ordem n, demonstr-se que: T. ( (. ( B ( ( B (Note bem: em gerl, ( B ( ( B k. ( ((, k N k. Se tem dus linhs ou dus coluns proporcionis, então (.. Se tem um linh ou um colun de zeros, então (.. Um mtriz qudrd é regulr sse (. Se é invertível, e (de. ( k (( ( ((, k Z. Se num linh ou colun d mtriz cd elemento é som de m prcels, então ( é som dos m erminntes que se obtêm substituindo os elementos dess linh ou colun, sucessivmente, pels diverss prcels e mntendo s outrs linhs ou coluns inlterds. Exemplos. tendendo às proprieddes dos erminntes, expressão pode ser simplificd, resultndo ( B T ( B k ( B ( B T ( B( ( ( B ( B ( ( B( ( ( B ( B( B T. tendendo às proprieddes dos erminntes, sendo temos cos( t sen( t cos( t sen( t sen( t cos( t cos( t sen( t ( cos( t sen( t sen( t cos( t cos( t sen( t cos( t sen( t cos( t sen( t sen( t cos( t Prof. Isbel Mtos & José mrl LG - --9

6 D E T E R M I N N T E S L G E B R L I N E R Ddo que primeir mtriz tem dus linhs proporcionis, o seu erminnte é nulo. Temos então cos( t sen( t ( sen( t cos( t cos ( t sen ( t >> syms t >> [cos(t sin(t; *cos(t-*sin(t *sin(t*cos(t]; >> d( d *cos(t^*sin(t^ >> dsimplify(d d.. Determinnte de um Mtriz Tringulr. Operções sobre Linhs. Método de Condensção.. O erminnte de um mtriz tringulr é igul o produto dos elementos d digonl principl.. Se mtriz B se obtém d mtriz trocndo entre si dus linhs ou dus coluns de, então ( ( B. Se mtriz B se obtém d mtriz multiplicndo um linh ou um colun de por um esclr α, então Em prticulr, sendo de ordem n, ( ( B α ( α α (. Se mtriz B se obtém d mtriz somndo um linh ou um colun de um múltiplo esclr de um outr linh ou colun, então n ( ( B Com bse ns operções elementres sobre linhs, é possível trnsformr um mtriz,, num mtriz tringulr, B, cujo erminnte é fácil de clculr e relcionr com o erminnte de. Este método de cálculo do erminnte de um mtriz é designdo por método de condensção. Prof. Isbel Mtos & José mrl LG - --9

7 D E T E R M I N N T E S L G E B R L I N E R Prof. Isbel Mtos & José mrl LG Exemplos 8. O erminnte de mtriz:, recorrendo, por exemplo, à expnsão em cofctores d linh, é ( ( Mis fcilmente, reconhecendo que é um mtriz tringulr, o cálculo do erminnte é imedito prtir do produto dos elementos d digonl principl ( >> [ ; ; ]; >> ( ns

8 D E T E R M I N N T E S L G E B R L I N E R 9. O erminnte d mtriz: B 8 9, recorrendo o método de condensção, é 8 9 ( B 9 ( 8 ( ( ( ( B ( ( ( ( ( ( ( L L L L L L L L L L L L L L L L >> B[ 8; 9; ; ]; >> (B ns Prof. Isbel Mtos & José mrl LG

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