Cálculo Numérico Módulo III Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I

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1 Cálculo Numérico Módulo III Resolução Numéric de Sistems Lineres Prte I Prof: Reinldo Hs

2 Sistems Lineres Form Gerl... n n b... n n b onde: ij n n coeficientes i incógnits b i termos independentes... nn n b n

3 Sistems Lineres Eemplo , 4, -5, 4,, -5,, 4 e 5 coeficientes, e incógnits 5, e - termos independentes

4 4 Sistems Lineres Form Mtricil n qul: 4 A = b nn n n n n n A n b b b b n

5 5 Sistems Lineres Eemplo Form Gerl Form Mtricil

6 Sistems Lineres Clssificção I Impossível Não possui solução Eemplo 9 6

7 Sistems Lineres Clssificção II Possível Possui ou mis soluções Determindo Solução únic Eemplo

8 Sistems Lineres Clssificção III Possível Possui ou mis soluções Indetermindo Mis de um solução Eemplo

9 Sistems Lineres Clssificção IV Possível Possui ou mis soluções Homogêneo Vetor b= (= sempre eiste solução) Eemplo 6 9

10 Sistems Lineres Sistems Tringulres: Possibilidde de resolução de form Diret Inferior A n n n nn

11 Sistems Lineres Sistems Tringulres: Possibilidde de resolução de form Retrotiv Superior A n n n nn

12 Solução Retrotiv Eemplo 7: Ddo o sistem: Primeiro psso pr su resolução:

13 Solução Retrotiv Eemplo 7: Segundo psso: Terceiro psso:

14 Solução Retrotiv Eemplo 7: Último psso: ( ) 5 4 4

15 Métodos Numéricos Diretos Solução pode ser encontrd prtir de um número finito de pssos Método de Guss Método d Eliminção de Jordn Ftorção LU 5

16 Métodos Numéricos Itertivos Solução prtir de um seqüênci de proimções pr o vlor do vetor solução, té que sej obtido um vlor que stisfç à precisão pré-estbelecid Método de Jcobi Método de Guss Seidel 6

17 Método de Guss Propósito Trnsformção do sistem liner ser resolvido em um sistem liner tringulr; Resolução do sistem liner tringulr de form retrotiv. 7

18 Método de Guss Trnsformção do Sistem Liner Troc d ordem ds linhs; Multiplicção de um ds equções por um número rel não nulo; Substituição de um ds equções por um combinção liner del mesm com outr equção. 8

19 Método de Guss Pssos do Método de Guss Construção d mtriz umentd Ab Ab n n n n n nn b b b n 9

20 Método de Guss Pssos do Método de Guss Psso : Eliminr os coeficientes de presentes ns linhs,,...,n - sendo =, =... = n = - sendo chmdo de pivô d colun Substituir linh, L, pel combinção liner L m L, n qul : m

21 Método de Guss Pssos do Método de Guss Substituir linh, L, pel combinção liner: L L m L, n qul : m

22 Método de Guss Pssos do Método de Guss Continur substituição té linh n; Cso lgum elemento pp =, chr outr linh k onde kp e trocr tis linhs. Cso linh k não eist, o sistem liner não possui solução.

23 Método de Guss Pssos do Método de Guss Eliminr os coeficientes de ns linhs, 4,..., n (fzer = 4 =...= n = ); Eliminr os coeficientes de ns linhs 4, 5,..., n (fzer 4 = 5 =...= n = ) e ssim sucessivmente.

24 Método de Guss Eemplo 8: Resolver o sistem: 4 4 Mtriz umentd Ab Ab

25 Método de Guss Eemplo 8: Fz-se: L L m L, m Assim: L L

26 Método de Guss Eemplo 8: Fz-se: L L m L, m Assim: L L

27 Método de Guss Eemplo 8: Obtém-se mtriz: Ab

28 Método de Guss Eemplo 8: Substituindo linh por: L L m L, m Têm-se: L L

29 Método de Guss Eemplo 8: A mtriz [Ab] fic ssim com os seguintes vlores: Ab

30 Método de Guss Eemplo 8: Us-se solução retrotiv:

31 Método de Guss Eemplo 9: Resolver o sistem.,5 4,,7 5,4, 5,7, 4,5 7,8,7 8,9 Representndo o sistem pel mtriz umentd: [ AB ],5 4,,7 5,4, 5,7, 4,5 7,8,7 8,9

32 Método de Guss Eemplo 9: Escolhendo primeir linh como pivô, obtém-se: L L m L 4,, 4,5,7 (4,/,5),5 5,4, L L L L (,7/,5),8 4, 4,74 m L,7 5,7,5 5,4,,86 6, 9, 7,8 8,9

33 Método de Guss Eemplo 9: Representndo o sistem pel mtriz umentd: [AB],5 5,4,8 4,, 4,74,86 6, 9,

34 Método de Guss Eemplo 9: Escolhendo gor segund linh como pivô, têm-se: L L 4,,86 9, 4,/,8,8 4,74 6, L L m L,46,9888 4

35 Método de Guss Eemplo 9: Obtêm-se seguinte mtriz mplid: [AB],5 5,4,8, 4,74,46 6,,9888 5

36 Método de Guss Eemplo 9: O que termin com tringulção:,5 5,4,,8 4,74 6,,46,9888 6

37 Método de Guss Eemplo 9: Com solução: = -,9888/,46=-,98 =[ -6, - (-4,74)(-,9)]/(-,8) =,7 = [ - 5,4(,7) -,(-,9)]/,5 =,5 7

38 Método do Pivotemento Prcil Semelhnte o método de Guss; Minimiz mplificção de erros de rredondmento durnte s eliminções; Consiste em escolher o elemento de mior módulo em cd colun pr ser o pivô. 8

39 Método do Pivotemento Prcil Eemplo : Resolver o sistem com precisão de 4 css decimis,5 4,,7 5,4, 5,7, 4,5 7,8,7 8,9 9

40 Método do Pivotemento Prcil Eemplo : Mtriz umentd originl deve ser justd:,5 4,,7 5,4, 5,7, 4,5 7,8,7 8,9 4,,5,7, 5,4 5,7 4,5, 7,8,7 8,9 4

41 Método do Pivotemento Prcil Eemplo : Sistem inlterdo, elemento pivô 4,. Encontrr s novs linhs: L L m L [,5 5,4, ] (,5/4,) [4,, 4,5,7] L L L m L [,7 5,7 7,8 8,9] (,7/4,) [4,, 4,5,7] L [ 4,5786,699 5,84] [ 4,4 4,97,786] 4

42 Método do Pivotemento Prcil Eemplo : A mtriz mplid fic d form: 4,, 4,5786 4,4 4,5,699 4,97,7 5,84,786 Como o elemento 4,5786 já é o pivô d ª colun, tem-se: L L m L (4,4/4,5786) L [,46,9886] [ 4,4 4,97,786] [ 4,5786,699 5,84] 4

43 Método do Pivotemento Prcil Eemplo : A mtriz mplid fic n form: 4,, 4,5786 4,5,699,46,7 5,84 -,9886 4

44 Método do Pivotemento Prcil Eemplo : A solução do sistem tringulr que resultou desss operções é: = -,9886/,46 = -,99 = [5,84-,699(-,99)]/(4,5786) =,7 = [,7-,(,7)- 4,5(-,99)]/4, =,5 44

45 Método do Pivotemento Prcil Eemplo 9: Eemplo (com pivotemento): = -,98 = -,99 =,7 =,7 =,5 =,5 Solução encontrd no Mtlb: = -, =, =,

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